111 地方特考三等 機械工程 機械製造學（包括機械材料） 考古題詳解

題目缺漏資訊說明：題幹缺漏初始橫斷面積與第 (一) 小題題旨，依題幹敘述前後文與考題脈絡，設定冷作前橫斷面積為 $A_0$，第 (一) 小題合理假設為求解「冷作後的橫斷面積 $A$（以 $A_0$ 表示）」並補充「冷作後的工程應變 $e$」。

核心觀念

1. 冷作百分比（Percent Cold Work, $\%CW$）定義： 金屬塑性加工中，冷作程度通常以橫斷面積的減少百分比表示： $\%CW = \frac{A_0 - A}{A_0} \times 100\%$ 其中 $A_0$ 為原始橫斷面積，$A$ 為冷作後的橫斷面積。

2. 塑性變形體積守恆原理： 金屬在塑性變形過程中體積維持不變（$A_0 L_0 = A L$），因此長度比與面積比互為倒數： $\frac{L}{L_0} = \frac{A_0}{A} = \frac{1}{1 - CW}$

3. 實際應變（真應變, $\varepsilon$）與冷作量關係： $\varepsilon = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right) = \ln\left(\frac{A_0}{A}\right) = \ln\left(\frac{1}{1 - CW}\right)$

4. 霍洛蒙方程式（Hollomon's Equation）與應變硬化： $\sigma = K \varepsilon^n$ 金屬材料經冷作塑性變形後產生加工硬化（加工應變為 $\varepsilon$）。卸載後再度受拉時，其新的降伏強度即等於先前冷作變形所達到的流動應力（Flow Stress）。

5. 最大冷作百分比的判定準則：

• 均勻變形極限（頸縮點）：依據孔西德爾準則（Considère's criterion），拉伸產生局部頸縮時的實際應變恰等於應變硬化指數，即 $\varepsilon = n$。
• 斷裂破壞極限：以材料達到斷裂時的破壞應變 $\varepsilon_f$ 作為上限。

解題方法

(一) 冷作後的橫斷面積與工程應變

由冷作百分比定義： $\%CW = \frac{A_0 - A}{A_0} \times 100\% = 15\%$ 可得面積比值為： $\frac{A}{A_0} = 1 - 0.15 = 0.85 \implies A = 0.85 A_0$ 即冷作後的橫斷面積縮小為初始橫斷面積的 $85\%$（若給定 $A_0$，則 $A = 0.85 A_0$）。

若本小題詢問冷作後的工程應變 $e$，利用體積不變原理： $e = \frac{L - L_0}{L_0} = \frac{A_0}{A} - 1 = \frac{1}{0.85} - 1 \approx 0.1765 = 17.65\%$

(二) 冷作後的實際應變

由塑性變形體積守恆及實際應變定義： $\varepsilon = \ln\left(\frac{A_0}{A}\right) = \ln\left(\frac{1}{1 - CW}\right)$ 代入 $CW = 0.15$： $\varepsilon = \ln\left(\frac{1}{0.85}\right) = \ln(1.1765) \approx 0.1625$

(三) 冷作後的降伏強度

金屬材料冷作後卸載，材料內部累積了 $\varepsilon = 0.1625$ 的塑性應變。

核心觀念

本題評量電腦數值控制（CNC）工具機進給伺服系統的運動學計算與感測回饋原理，涵蓋以下核心公式與定義：

1. 螺紋幾何關係（螺距與導程）：

• 螺距（Pitch, $p$）：相鄰兩螺紋峰之間的軸向距離。
• 導程（Lead, $L$）：螺桿旋轉 $1$ 圈時，螺帽（床台）所行進的軸向直線距離。
• 關係式：$L = n \times p$ 其中 $n$ 為螺紋線數（頭數）。本題為雙螺紋（$n = 2$）。

2. 傳動系統機構學：

• 線位移與轉角關係：$s = N_{ls} \times L$（$s$ 為床台移動距離，$N_{ls}$ 為導螺桿轉數）
• 傳動減速比：$N_m = R_g \times N_{ls}$（$R_g$ 為齒輪減速比，$N_m$ 為馬達轉數）

3. 回饋控制與脈衝信號：

• 脈衝總數：$P = N_{encoder} \times C$（$N_{encoder}$ 為編碼器轉數，$C$ 為每轉脈衝數解析度）
• 脈衝頻率：$f_p = \frac{P}{t} = \frac{n_{ls} \times C}{60}$（$t$ 為移動時間，$n_{ls}$ 為導螺桿每分鐘轉速，單位為 $\mathrm{rpm}$）

4. 進給速率與轉速關係：

• 床台進給速率：$v = n_{ls} \times L$
• 伺服馬達轉速：$n_m = R_g \times n_{ls}$

解題方法

已知條件整理

• 導螺桿螺距 $p = 5.0\ \mathrm{mm}$，線數 $n = 2$（雙螺紋）
• 減速比 $R_g = 16$（馬達轉 $16$ 圈，導螺桿轉 $1$ 圈）
• 光學編碼器解析度 $C = 200\ \mathrm{pulses/rev}$（直接連接於導螺桿軸）
• 進給速率 $v = 500\ \mathrm{mm/min}$
• 移動距離 $s = 100\ \mathrm{mm}$

(一) 馬達的轉動圈數

1. 求導螺桿導程 $L$： $L = n \times p = 2 \times 5.0\ \mathrm{mm} = 10.0\ \mathrm{mm/rev}$
2. 求床台移動 $100\ \mathrm{mm}$ 所需之導螺桿轉動圈數 $N_{ls}$： $N_{ls} = \frac{s}{L} = \frac{100\ \mathrm{mm}}{10.0\ \mathrm{mm/rev}} = 10\ \text{圈 (rev)}$
3. 求伺服馬達轉動圈數 $N_m$： 馬達與導螺桿轉速比為 $16 : 1$，故： $N_m = N_{ls} \times R_g = 10 \times 16 = 160\ \text{圈 (rev)}$

(二) 控制系統接收到的脈衝計數

光學編碼器直接安裝於導螺桿上，導螺桿轉動 $1$ 圈產生 $200$ 個脈衝。 在移動全程中，導螺桿轉動 $N_{ls} = 10\ \text{圈}$，因此接收到的總脈衝數 $P$ 為： $P = N_{ls} \times C = 10\ \text{rev} \times 200\ \mathrm{pulses/rev} = 2000\ \text{個脈衝 (pulses)}$

(三) 脈衝的頻率

脈衝頻率代表單位時間（每秒）內光學編碼器輸出的脈衝數。

1. 求床台移動所需時間 $t$： $t = \frac{s}{v} = \frac{100\ \mathrm{mm}}{500\ \mathrm{mm/min}} = 0.2\ \mathrm{min} = 0.2 \times 60\ \mathrm{s} = 12\ \mathrm{s}$

核心觀念

正弦桿利用「直角三角形的對邊與斜邊比值」設定角度。兩滾輪中心距為 $L$，兩端的高度差為量塊高度 $H$，因此：

題目給的滾輪直徑為 $30.0\ \mathrm{mm}$。兩端滾輪直徑相同，因此滾輪中心的高度差仍等於量塊堆疊高度，直徑不影響角度計算。

解題方法與計算

（一）正弦桿量測裝置示意圖

 工件底面
 ─────────────────
 ╱ 正弦桿
 ╱ A
 ╱
 ○────────────────○
 滾輪 滾輪
 │<───── L ─────>│
 │
 ┌────┴────┐
 │高度塊規 │ ↑
 └─────────┘ │ H
────────────────────────────────────────┴── 精密平台

$A$ 為工件角度，$L$ 為正弦桿兩滾輪中心距，$H$ 為高度塊規堆疊高度。

（二）最小角度的高度塊規高度

規格下限為：

高度塊規增量為 $0.0025\ \mathrm{mm}$，取最接近的可組合高度：

（三）最大角度的高度塊規高度

規格上限為：

核心觀念

本題結合了「傳統機械加工切削運動學」與「電腦數值控制（CNC）伺服進給傳動系統」，評量重點涵蓋以下三個核心領域：

1. 銑削切削運動學公式：

• 切削速度 $V$、刀具直徑 $D$ 與主軸轉速 $N$ 之關係： $V = \pi D N$
• 銑削進給速度 $f_r$（Feed rate）由每齒進給量（切屑負載 $f_t$）、刀具齒數 $n_t$ 與主軸轉速 $N$ 共同決定： $f_r = f_t \times n_t \times N$

2. 銑削加工時間計算：

• 切削行程 $L$ 與進給速度 $f_r$ 之關係： $T_m = \frac{L}{f_r}$

3. 伺服進給機構與光學編碼器回授原理：

• 導螺桿將馬達旋轉運動轉換為工作台直線運動，導螺桿每轉直線移動量為導程（單線螺桿等於螺距 $p$）。當伺服馬達與螺桿為直接連結（傳動比 $i=1$）時： $f_r = N_m \times p \implies N_m = \frac{f_r}{p}$
• 光學編碼器之脈衝產生頻率 $f_p$（單位：$\mathrm{Hz}$ 或 $\mathrm{pulses/s}$）為馬達每秒轉數乘以每轉發出之脈衝數 $n_p$： $f_p = \frac{N_m}{60} \times n_p$

解題方法

(一) 主軸轉速計算

已知條件：

• 切削速度 $V = 1.25\ \mathrm{m/s} = 1.25 \times 60 = 75\ \mathrm{m/min}$
• 銑刀直徑 $D = 20.0\ \mathrm{mm} = 0.02\ \mathrm{m}$

依切削速度定義公式： $V = \pi D N$

將數值代入推導主軸轉速 $N$： $N = \frac{V}{\pi D} = \frac{75}{\pi \times 0.02} = \frac{3750}{\pi} \approx 1193.66\ \mathrm{rpm}\ (\text{rev/min})$

若以每秒轉數（$\mathrm{rev/s}$）表示： $N = \frac{1.25}{\pi \times 0.02} = \frac{62.5}{\pi} \approx 19.89\ \mathrm{rev/s}$

(二) 進給速度計算

已知條件：

• 刀具齒數 $n_t = 4$ 齒
• 每齒切屑負載 $f_t = 0.05\ \mathrm{mm/tooth}$
• 每轉進給量 $f = f_t \times n_t = 0.05 \times 4 = 0.20\ \mathrm{mm/rev}$

依工作台進給速度公式： $f_r = f_t \times n_t \times N$

代入數值： $f_r = 0.20\ \mathrm{mm/rev} \times \frac{3750}{\pi}\ \mathrm{rev/min} = \frac{750}{\pi} \approx 238.73\ \mathrm{mm/min}$

若以公厘每秒（$\mathrm{mm/s}$）表示： $f_r = \frac{238.73}{60} \approx 3.98\ \mathrm{mm/s}$

(三) 銑削所需時間計算

已知條件：

• 總行程 $L = 300\ \mathrm{mm}$

銑削加工時間 $T_m$ 公式為： $T_m = \frac{L}{f_r}$

代入數值：