111 地方特考三等 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量理想氣體在剛性密閉容器內的定容加熱過程（Constant Volume Process / Isochoric Process），涵蓋熱力學第一定律與第二定律的核心狀態量計算。解題需運用以下觀念與公式：

1. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Equation of State）： $P V = m R T \quad \text{或} \quad P v = R T$ 其中通用氣體常數 $\bar{R} = 8.314\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}$，特定氣體常數 $R = \dfrac{\bar{R}}{M}$（$M$ 為分子量）。
2. 定容過程特性（Rigid Tank $\implies V_1 = V_2 = \text{常數}$）： 當質量與體積固定時，壓力與絕對溫度成正比： $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$
3. 氣體比熱關係式（Specific Heats of Ideal Gas）： $c_p - c_v = R, \quad k = \frac{c_p}{c_v} \implies c_v = \frac{R}{k - 1}, \quad c_p = \frac{k R}{k - 1}$
4. 熱力性質變化量定義：

• 內能變化量：$\Delta U = m c_v (T_2 - T_1)$（比內能變化量 $\Delta u = c_v \Delta T$）
• 焓變化量：$\Delta H = m c_p (T_2 - T_1) = k \Delta U$（比焓變化量 $\Delta h = c_p \Delta T$）
• 熵變化量： $\Delta s = c_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right)$ 因定容過程 $v_2 = v_1$，第二項為零，故： $\Delta S = m c_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$

解題方法

步驟一：物性參數與狀態點換算

1. 絕對溫度換算： $T_1 = 15 + 273.15 = 288.15\ \mathrm{K}$ $T_2 = 146 + 273.15 = 419.15\ \mathrm{K}$ $\Delta T = T_2 - T_1 = 419.15 - 288.15 = 131\ \mathrm{K}$

2. 氣體常數 $R$： $R = \frac{\bar{R}}{M} = \frac{8.314\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}}{28\ \mathrm{kg/kmol}} \approx 0.29693\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

3. 定容比熱 $c_v$ 與定壓比熱 $c_p$： $c_v = \frac{R}{k - 1} = \frac{0.29693}{1.41 - 1} = \frac{0.29693}{0.41} \approx 0.72422\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ $c_p = k \cdot c_v = 1.41 \times 0.72422 \approx 1.02115\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

4. 系統內氮氣質量 $m$： 初態壓力 $P_1 = 1.013\ \mathrm{bar} = 101.3\ \mathrm{kPa}$，體積 $V = 0.2\ \mathrm{m^3}$： $m = \frac{P_1 V}{R T_1} = \frac{101.3\ \mathrm{kPa} \times 0.2\ \mathrm{m^3}}{0.29693\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 288.15\ \mathrm{K}} = \frac{20.26}{85.560} \approx 0.23679\ \mathrm{kg}$

步驟二：計算終態壓力 $P_2$

剛性容器內體積保持不變（$V_1 = V_2$）： $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} \implies P_2 = P_1 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)$

核心觀念

本題考查經典熱力學（Classical Thermodynamics）中能量交互作用的核心基本概念：

1. 熱（Heat, $Q$）的熱力學嚴格定義：因「溫度差」（Temperature difference）而跨越系統邊界傳遞的能量形式。
2. 功（Work, $W$）的熱力學嚴格定義：凡跨越系統邊界的能量傳遞，若其在外界所造成的整體效應可完全等效於「使重物在外力場中升降（lifting of a weight）」者，即為功。
3. 熱與功的相似性：涉及系統邊界特性（Boundary phenomena）、過程量與路徑相依性（Path functions）、不完全微分（Inexact differentials）之數學特質，以及能量轉換之計量單位。

解題方法

本題為標準的觀念申論題，答題切入點應分為三大部分，層次分明地展開：

1. 熱的定義：闡明驅動力（溫度差）與存在條件（必須跨越系統邊界）。
2. 功的定義：以熱力學標準力學等效判準（重物升降效應）說明，涵蓋邊界功（$PdV$ 功）、軸功、電功等。
3. 兩者相似之處：從「邊界特徵」、「過程特質」、「數學本質」、「系統狀態關聯」與「能量守恆量綱」五大面向進行系統化對比歸納。

選項分析

本題為申論問答題，題旨包含三大核心論述重點，各點評分要義與內容分析如下：

1. 「熱」的定義剖析：

• 熱並非物質，也不是系統自身「所擁有」的性質。熱純粹是處於能量傳遞狀態下的形式。
• 充分且必要條件為「溫度差」：若系統與周遭環境沒有溫差，即使有能量傳遞，亦不能稱之為熱。

2. 「功」的定義剖析：

• 熱力學對功的判定比純力學（力乘上位移）更為廣義。只要能量穿越邊界時，其作用在外界可等效還原為抵抗外力推動質量（如帶動發電機、提升重物），即定義為功。
• 其特徵為「非溫差驅動」的邊界能量傳遞。

3. 「相似處」之核心特徵分析：

• 皆為邊界現象（Boundary Phenomena）：兩者僅在穿越控制體積或封閉系統的邊界時被觀測與辨識；系統內部僅能儲存「內能（Internal Energy）」或「總能（Total Energy）」，不能儲存「熱」或「功」。
• 皆為過程量（Process Quantities / Transient Phenomena）：兩者僅在狀態變化的「過程中」存在；若系統處於靜止平衡狀態，則無熱或功可言。
• 皆為路徑函數（Path Functions）：兩者之數值取決於變化過程中所經歷的具體路徑（$P$-$v$ 圖或 $T$-$s$ 圖上的曲線），而非僅由初態與終態決定。
• 數學上皆為不完全微分（Inexact Differentials）：微小量分別記為 $\delta Q$ 與 $\delta W$（不可寫成 $dQ$ 與 $dW$），微量積分為總量 $\int_1^2 \delta Q = Q_{12}$ 與 $\int_1^2 \delta W = W_{12}$，不可寫作狀態差 $\Delta Q = Q_2 - Q_1$。
• 能量因次與守恆等價性：兩者具有相同的物理量綱（單位皆為焦耳 $\text{J}$ 或千焦 $\text{kJ}$），在熱力學第一定律 $\Delta U = Q - W$ 中皆為改變系統儲存能量之手段。

核心觀念

本題評量開放系統（控制體積，Control Volume）之熱力學第一定律與**穩態穩流能量方程式（Steady-Flow Energy Equation, SFEE）**的應用。

1. 穩態穩流能量方程式（SFEE）： 對於單一入口與單一出口的控制體積，穩態能量平衡方程式為： $\dot{Q} - \dot{W}_{cv} = \dot{m} \left[ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) \right]$
2. 理想氣體之焓差（Enthalpy Change）： 在常比熱假設下，理想氣體的比焓差僅為溫度的函數： $\Delta h = h_2 - h_1 = C_p (T_2 - T_1)$
3. 壓縮機之合理工程假設：

• 穩態流動（Steady flow）。
• 壓縮過程通常高速完成，與外界熱交換極小，視為絕熱（$\dot{Q} \approx 0$）。
• 忽略進出口高度差所造成的位能變化（$\Delta \text{PE} \approx 0$）。
• 空氣直接自大氣吸入，進口截面積相對於內部流道較大，其進口流速極小可忽略（$V_1 \approx 0$）。

解題方法

步驟一：列出控制體積能量守恆式

選定離心式壓縮機為控制體積。依據工程假設（$\dot{Q} = 0$、$\Delta \text{PE} = 0$、$V_1 = 0$），系統對外作功功率 $\dot{W}_{cv} = -\dot{W}_{in}$（$\dot{W}_{in}$ 為外界輸入驅動壓縮機之功率）：

$\dot{W}_{in} = \dot{m} \left[ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2}{2} \right]$

步驟二：計算空氣之焓變化量（$\Delta h$）

已知等壓比熱 $C_p = 1.004\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，進口溫度 $T_1 = 300\ \mathrm{K}$，出口溫度 $T_2 = 460\ \mathrm{K}$：

$\Delta h = h_2 - h_1 = C_p (T_2 - T_1) = 1.004 \times (460 - 300) = 1.004 \times 160 = 160.64\ \mathrm{kJ/kg}$

核心觀念

1. 熱房負荷與能量平衡（熱力學第一定律） 若要維持房間處於恆溫（穩態，$26\,^\circ\mathrm{C}$），冷氣機從房間抽出的熱率（即冷凍負荷 $\dot{Q}_L$）必須等於進入房間的總熱傳率與內部熱產生率之和： $\dot{Q}_L = \dot{Q}_{\text{gain}} + \dot{Q}_{\text{gen}}$

2. 逆卡諾循環與極限效能（熱力學第二定律） 在兩定溫熱庫之間運作的冷凍機或冷氣機，其性能係數（Coefficient of Performance, $\mathrm{COP}_{\mathrm{R}}$）受卡諾定理限制。當系統為完全可逆循環（逆卡諾循環，Reversed Carnot Cycle）時，可達到理論上的最大性能係數 $\mathrm{COP}_{\mathrm{R, max}}$： $\mathrm{COP}_{\mathrm{R, max}} = \frac{T_L}{T_H - T_L}$ （注意：式中溫度 $T_L$ 與 $T_H$ 必須使用絕對溫度 $\mathrm{K}$）

3. 最低輸入功率 性能係數定義為所獲得的冷房效益與所需輸入功率的比值：$\mathrm{COP}_{\mathrm{R}} = \frac{\dot{Q}_L}{\dot{W}_{\mathrm{in}}}$。 因此，當冷氣機運轉於理論最大性能係數時，所需驅動功率最小： $\dot{W}_{\mathrm{in, min}} = \frac{\dot{Q}_L}{\mathrm{COP}_{\mathrm{R, max}}}$

解題方法

步驟一：計算冷氣機所需的排熱負荷（冷房負荷 $\dot{Q}_L$）

房間維持恆溫，熱量平衡關係為： $\dot{Q}_L = \dot{Q}_{\text{傳熱}} + \dot{Q}_{\text{內生熱}} = 750\ \mathrm{kJ/min} + 750\ \mathrm{kJ/min} = 1500\ \mathrm{kJ/min}$

將單位換算為標準功率單位（$\mathrm{kW} = \mathrm{kJ/s}$）： $\dot{Q}_L = \frac{1500\ \mathrm{kJ/min}}{60\ \mathrm{s/min}} = 25\ \mathrm{kW}$

步驟二：換算高、低溫熱庫之絕對溫度

• 低溫熱庫（室內）：$T_L = 26\,^\circ\mathrm{C} = 26 + 273 = 299\ \mathrm{K}$（若取 $273.15$，則為 $299.15\ \mathrm{K}$）
• 高溫熱庫（室外）：$T_H = 33\,^\circ\mathrm{C} = 33 + 273 = 306\ \mathrm{K}$（若取 $273.15$，則為 $306.15\ \mathrm{K}$）
• 高低溫差：$\Delta T = T_H - T_L = 306 - 299 = 7\ \mathrm{K}$

核心觀念

本題為蒸汽動力廠（Steam Power Plant）熱力學循環的經典觀念題，主要考查以下重點：

1. 卡諾循環（Carnot Cycle）的工程局限性：卡諾循環雖具備相同工作溫度區間下的最高理論熱效率，但在蒸汽兩相區實務運轉時，存在氣化膨脹乾度過低、高溫受限於臨界點，以及兩相流體壓縮（氣蝕與功耗過大）等無法克服的工程限制。
2. 朗肯循環（Rankine Cycle）的熱力學過程與組件配置：了解朗肯循環如何透過「完全凝結為飽和液體」解決壓縮機工程難題，並掌握由泵浦、鍋爐、汽輪機與冷凝器構成的四個理想穩態流動過程（Steady-flow processes）。

解題方法

本題為問答申論題，答題架構應分為兩大主軸清晰論述： 第一部分說明「為何蒸汽動力廠無法採用卡諾循環」的具體工程困難； 第二部分明確指出「朗肯循環」及其「四個熱力學過程與對應組件、能量方程式」。

一、蒸汽動力廠不以蒸汽卡諾循環運行的原因

若蒸汽動力系統依卡諾循環運行（於 $T-s$ 圖的兩相雙相區內由兩個等溫過程與兩個等熵過程組成），在實際工程運轉時會面臨以下嚴重困難：

1. 等溫加熱過程受限於臨界溫度與材料強度： 若等溫吸熱過程限定在濕蒸汽區（等壓即等溫），其最高溫度將受限於水的臨界溫度（$T_{cr} = 373.95^\circ\text{C}$，臨界壓力 $P_{cr} = 22.06\text{ MPa}$）。若要提高最高溫度至過熱區以提高循環熱效率，等溫吸熱過程就必須伴隨劇烈的降壓過程（非定壓過程），這在實務上的鍋爐或蒸汽產生器管路中極難控制且無法實現高傳熱量。
2. 汽輪機出口乾度過低，造成葉片嚴重侵蝕： 在卡諾循環中，等熵膨脹過程多半自飽和蒸汽線開始，膨脹至冷凝壓力時，排汽的乾度（Quality, $x$）通常會降至 $80\%$ 至 $85\%$ 以下。過多的凝結水滴在高速衝擊汽輪機（Turbine）動葉片時，會造成嚴重的沖蝕（Erosion）與點蝕損耗，大幅縮短葉片壽命並降低渦輪機等熵效率。
3. 兩相流體壓縮機的設計困難與氣蝕問題： 卡諾循環要求在冷凝器中僅部分凝結，隨後利用壓縮機將高比容的汽液兩相混合物等熵壓縮至飽和液體狀態。在工程實務上：

• 兩相流體壓縮極易使葉片產生氣蝕現象（Cavitation），流體流動極不穩定。
• 混合物比容大，導致壓縮機所需消耗的功（Back work ratio）大幅增加，壓縮機體積龐大且等熵效率極低。

二、蒸汽動力廠運行的基本循環名稱、過程與組件

為克服卡諾循環的實務困難，蒸汽動力廠運行的基本理想循環為朗肯循環（Rankine Cycle）。

朗肯循環由四個連續的穩態流動過程組成，各過程及其對應的機械組件如下（以狀態點 $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ 依序說明）：

1. 過程 $1 \rightarrow 2$：等熵壓縮過程（Isentropic Compression）

• 相關組件：泵浦（Water Pump / 給水泵）
• 過程說明：來自冷凝器的低壓飽和液體水（狀態 1，乾度 $x_1 = 0$）進入泵浦，經由可逆絕熱（等熵）壓縮，壓力由冷凝壓力 $P_1$ 提升至鍋爐操作壓力 $P_2$，成為壓縮液態水（狀態 2）。
• 能量轉換：輸入功為 $w_{p,in} = h_2 - h_1 \approx v_1(P_2 - P_1)$。

2. 過程 $2 \rightarrow 3$：等壓加熱過程（Isobaric Heat Addition）

• 相關組件：鍋爐（Boiler / 蒸汽產生器）
• 過程說明：高壓壓縮液體進入鍋爐，在定壓（$P_2 = P_3$）下吸收燃燒燃料所釋放之熱量。水先加熱至飽和液體、在兩相區汽化為飽和蒸汽，並進一步加熱至高溫的過熱蒸汽（狀態 3）。