核心觀念

卡車增加的功率需求，等於卡車為了運載故障轎車，額外對轎車所做的功率。忽略摩擦力、空氣阻力與滾動摩擦後，只需考慮：

1. 等速水平行駛：轎車沒有加速度，且沒有位能變化。
2. 上坡等速行駛：卡車須克服轎車的重力分力。
3. 水平加速行駛：卡車須提供轎車增加動能所需的功。

常用公式為：

$$P=\frac{W}{t}$$

上坡時：

$$P=Fv$$

加速時：

$$W=\Delta KE=\frac{1}{2}mv^2$$

其中轎車質量為：

$$m=1500\ \text{kg}$$

取重力加速度：

$$g=9.81\ \text{m/s}^2$$

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（一）等速度在水平路面行駛

水平路面等速度行駛時：

• 加速度 $a=0$，因此不需要額外加速力。
• 垂直方向沒有位移，因此轎車重力不做功。
• 題目已忽略所有摩擦與阻力。

故額外牽引力為：

$$F_{\text{extra}}=ma=0$$

增加的功率需求為：

$$P_{\text{extra}}=F_{\text{extra}}v=0$$

因此：

$$\boxed{P_{\text{extra}}=0\ \text{W}}$$

---

（二）時速 $60\ \text{km/h}$、以 $30^\circ$ 角上坡等速行駛

速度換算

$$v=60\times \frac{1000}{3600} =16.667\ \text{m/s}$$

轎車沿斜坡方向受到的重力分力為：

$$F_g=mg\sin 30^\circ$$

因為是等速度行駛，卡車額外提供的牽引力恰好平衡此重力分力：

$$F_{\text{extra}}=mg\sin30^\circ$$

因此增加的功率為：

$$\begin{aligned} P_{\text{extra}} &=F_{\text{extra}}v\\ &=mgv\sin30^\circ\\ &=(1500)(9.81)(16.667)(0.5) \end{aligned}$$ $$P_{\text{extra}}\approx 122625\ \text{W}$$

換算為千瓦：

$$\boxed{P_{\text{extra}}\approx 122.6\ \text{kW}}$$

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（三）水平路面上，$10$ 秒由靜止加速至 $100\ \text{km/h}$

速度換算

$$v_f=100\times\frac{1000}{3600} =27.778\ \text{m/s}$$

核心觀念

本題考查：

1. 非定常流動系統（unsteady-flow system）質量守恆
2. 理想氣體狀態方程
3. 絕熱活塞汽缸的第一定律
4. 封閉系統與流入氣體的熵平衡
5. 活塞可自由移動，故汽缸內壓力視為維持初始壓力不變。

已知：

$$m_1=0.7\text{ kg},\quad V_1=0.25\text{ m}^3,\quad T_1=20^\circ\text{C}=293.15\text{ K}$$ $$V_2=1.5V_1=0.375\text{ m}^3,\quad T_2=35^\circ\text{C}=308.15\text{ K}$$

進氣狀態：

$$P_{\mathrm{in}}=500\text{ kPa},\quad T_{\mathrm{in}}=70^\circ\text{C}=343.15\text{ K}$$

且

$$R=0.287\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$ $$c_v=c_p-R=1.005-0.287=0.718\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

---

（一）進入活塞系統的質量

由初始狀態求汽缸內壓力：

$$P_1=\frac{m_1RT_1}{V_1}$$ $$P_1=\frac{(0.7)(0.287)(293.15)}{0.25} =235.6\text{ kPa}$$

活塞可自由移動，因此取：

$$P_2=P_1=235.6\text{ kPa}$$

由最終狀態的理想氣體方程式：

$$m_2=\frac{P_2V_2}{RT_2}$$ $$m_2 =\frac{(235.6)(0.375)}{(0.287)(308.15)} \approx 0.999\text{ kg}$$

質量守恆：

$$m_{\mathrm{in}}=m_2-m_1$$ $$m_{\mathrm{in}}=0.999-0.700 \approx 0.299\text{ kg}$$

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（二）活塞汽缸系統所做的功

方法一：邊界功

汽缸壓力為定值，因此：

$$W=P(V_2-V_1)$$ $$W=(235.6)(0.375-0.25)$$ $$\boxed{W\approx29.4\text{ kJ}}$$

功為正，表示汽缸內氣體對外做功。

方法二：非定常流動能量方程式

絕熱且忽略動能、位能變化：

$$U_2-U_1=m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}}-W$$

因此：

$$W=m_{\mathrm{in}}c_pT_{\mathrm{in}} -\left(m_2c_vT_2-m_1c_vT_1\right)$$

代入數值：

$$W\approx (0.299)(1.005)(343.15) -\left[(0.999)(0.718)(308.15) -(0.7)(0.718)(293.15)\right]$$ $$W\approx29.4\text{ kJ}$$

核心觀念

本題考查熱力學基本關係式與 Maxwell 互易關係，藉由熱狀態方程 $p=p(v,T)$ 連結量熱狀態方程 $u=u(v,T)$、$h=h(p,T)$。

對簡單可壓縮系統，單位質量基本關係式為

$$du=Tds-p\,dv$$

焓定義為

$$h=u+pv$$

並利用 Helmholtz 自由能

$$f=u-Ts$$

推導出 Maxwell 關係：

$$\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v$$

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（一）推導 $\left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)_T

=T\left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v-p$

1. 將熵表示為 $s=s(v,T)$

因為熵可視為體積與溫度的函數，

$$ds= \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v dT+ \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T dv$$

代入基本關係式 $du=Tds-p\,dv$：

$$du = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v dT + \left[ T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T-p \right]dv$$

另一方面，由 $u=u(v,T)$，

$$du= \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v dT+ \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T dv$$

比較 $dv$ 的係數，可得

$$\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T = T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T-p$$

2. 推導 Maxwell 互易關係

由 Helmholtz 自由能定義：

$$f=u-Ts$$

微分得

$$df=du-Tds-sdT$$

代入 $du=Tds-p\,dv$：

$$df=-s\,dT-p\,dv$$

因此

$$\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_v=-s, \qquad \left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_T=-p$$

因 $f$ 為狀態函數，其混合二階偏導數相等：

$$\frac{\partial}{\partial v} \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_v = \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_T$$

故

$$-\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T = -\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v$$

即

$$\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v$$

代回前式：

核心觀念

本題綜合考查：

• 朗肯循環效率改善方法及汽輪機排氣乾度。
• 卡諾循環與實際蒸汽動力循環的差異。
• 複合式循環的熱能階級利用。
• 回熱與汽電共生的定義及目的。
• 級聯合冷凍系統的構造、優缺點。

常用公式如下：

$$\eta_{\mathrm{th}}=\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_{\mathrm{in}}} =1-\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}}$$

汽輪機等熵膨脹時：

$$s_1=s_2$$

若出口位於濕蒸汽區，乾度為：

$$x=\frac{s-s_f}{s_{fg}}$$

其中 $s_f$ 為飽和液熵，$s_{fg}=s_g-s_f$。

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（一）提升朗肯循環效率的方法及對蒸汽乾度的影響

解題方法

提升朗肯循環效率的基本方向有二：

1. 提高平均吸熱溫度。
2. 降低平均放熱溫度。

常見方法包括提高鍋爐壓力、提高過熱溫度、採用再熱循環、降低冷凝器壓力及採用回熱循環。本題只需寫出任兩種，以下以「過熱」及「再熱」說明。

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方法一：提高蒸汽過熱溫度

將鍋爐出口蒸汽由飽和蒸汽加熱成較高溫度的過熱蒸汽，使汽輪機入口溫度提高。

作用

• 提高平均吸熱溫度。
• 增加汽輪機膨脹焓降，提升汽輪機輸出功。
• 在相同冷凝器壓力下，膨脹終點的含濕量降低，故排氣乾度提高。
• 降低汽輪機末級葉片遭液滴沖蝕的危險。

$T$-$s$ 圖示意

T
│ 3′ 過熱溫度較高
│ ─────●
│ 3 ───● │
│ / │ │ 等熵膨脹
│ / │ ● 4′
│ / ● 4
│ / 飽和穹頂
│ /________________________ s

$3\rightarrow4$ 為原過熱程度，$3'\rightarrow4'$ 為提高過熱溫度後的膨脹。因膨脹起點熵值增加，出口通常具有較高乾度，即：

$$x_{4'}>x_4$$

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方法二：採用再熱循環

蒸汽先在高壓汽輪機膨脹至中間壓力，再送回鍋爐再熱器升溫，最後進入低壓汽輪機繼續膨脹。

作用

• 增加高溫吸熱量，提升平均吸熱溫度。
• 增加汽輪機總輸出功。
• 最重要的效果是使低壓汽輪機末端蒸汽乾度提高。
• 減少低壓汽輪機末級液滴沖蝕。

$T$-$s$ 圖示意

T
│ 3
│ ●
│ │
│ ● 4 高壓膨脹
│ │
│ 5 ───●──── 6 再熱
│ │
│ ● 7 低壓膨脹
│
│ 飽和液線 飽和蒸汽線
│ /￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣\
│ / \
│________/___________________________\_____ s

實際流程為：

$$3\rightarrow4:\text{高壓汽輪機等熵膨脹}$$ $$4\rightarrow5:\text{再熱}$$ $$5\rightarrow7:\text{低壓汽輪機膨脹}$$

若沒有再熱，蒸汽會直接由 $3$ 膨脹至低壓端，出口乾度較低；加入再熱後，第二段膨脹起點熵值增加，故出口乾度提高：

$$x_7>x_{7,\mathrm{without\ reheat}}$$

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解題技巧與常見陷阱

• 「提高鍋爐壓力」雖可提高理想循環效率，但在最高溫度固定時，汽輪機排氣乾度可能降低，必須配合再熱。
• 「降低冷凝器壓力」可提升效率及汽輪機膨脹功，但會使膨脹至更低壓力，排氣含濕量增加。
• 因此，若題目特別要求說明乾度影響，最穩妥的作答方法是選擇「提高過熱溫度」及「再熱循環」。

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（二）卡諾循環不適合實際蒸汽發電廠的理由

核心觀念

卡諾循環由兩個等溫過程及兩個等熵過程組成：

1. 高溫等溫吸熱。
2. 等熵膨脹。
3. 低溫等溫放熱。
4. 等熵壓縮。

其熱效率為：

$$\eta_{\mathrm{Carnot}} =1-\frac{T_L}{T_H}$$

在相同最高、最低溫度下，卡諾循環效率最高，但「理論效率最高」不代表「工程上容易實現」。

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不適合的主要理由

1. 需要壓縮濕蒸汽，實際上難以實現

卡諾蒸汽循環在低溫等溫放熱後，工質通常為飽和液體；接著等熵壓縮時，會逐漸進入兩相濕蒸汽區。液體與蒸汽混合物的壓縮需要處理大量液體及氣體兩相流，無法使用一般小型、可靠的液體泵完成。

實際朗肯循環將冷凝器出口工質保持為液體，再以水泵加壓：

$$W_p\approx v_f(P_b-P_c)$$

因液體比體積 $v_f$ 很小，泵功遠小於壓縮濕蒸汽所需的功。

2. 等溫吸熱過程難以完整利用鍋爐熱源

卡諾循環要求在固定高溫 $T_H$ 下完成全部吸熱。實際鍋爐的燃燒氣體溫度由高至低變化，給水、汽化及過熱過程的溫度也隨之改變，無法使所有吸熱都在同一溫度進行。

3. 汽輪機出口可能過度濕潤

為了獲得較大的膨脹功，卡諾循環常須使蒸汽膨脹至很低壓力，出口容易進入濕蒸汽區，造成：

• 葉片液滴沖蝕。
• 流動損失增加。
• 汽輪機效率降低。
• 運轉可靠度下降。

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$T$-$s$ 圖比較

卡諾循環

T
│ 2 ───────── 3 高溫等溫吸熱
│ │ │
│ │ │
│ 1 ───────── 4 低溫等溫放熱
│
│ 1→2：等熵壓縮
│ 3→4：等熵膨脹
└──────────────────────── s

其中 $1\rightarrow2$ 的等熵壓縮會進入兩相區，這是實際設備最主要的困難。

實際朗肯循環

T
│ 3
│ ●
│ │ 等熵膨脹
│ ● 4
│ 2 ──────┘
│ │
│ ● 1
│
└──────────────────────── s

朗肯循環以 $1\rightarrow2$ 的液體泵送取代卡諾循環的濕蒸汽壓縮，雖然理論效率低於卡諾循環，但設備簡單、泵功小且容易實現。

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解題技巧

回答本小題應同時寫出：

• 卡諾循環效率雖高，但工程上不可行。
• 最大問題是「濕蒸汽壓縮」。
• 朗肯循環以「液體泵送」取代濕蒸汽壓縮。
• 卡諾循環還有鍋爐等溫吸熱困難及排氣過濕問題。

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（三）複合式循環發電系統

定義

複合式循環是將兩種不同型式的熱力循環串聯，使高溫循環的排氣熱量供低溫循環使用，以提高燃料熱能的整體利用率。

發電廠最常見的是燃氣—蒸汽複合循環：

• 上層循環：燃氣輪機的布雷頓循環。
• 下層循環：蒸汽輪機的朗肯循環。

燃氣輪機排出的高溫廢氣進入熱回收蒸汽產生器，產生蒸汽供蒸汽輪機發電。

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$T$-$s$ 圖示意

核心觀念

本題考查：

1. 壓力表讀值與絕對壓力的換算。
2. 飽和水兩相混合物的乾度與比體積、比內能關係。
3. 剛性容器的體積守恆。
4. 有蒸汽逸出的控制體能量守恆。

題圖所示操作壓力為 $150\ \text{kPa}$，且大氣壓力為 $100\ \text{kPa}$，因此飽和水性質表應使用絕對壓力

$$P=150+100=250\ \text{kPa}$$

由表得：

$$T_{\text{sat}}=127.41^\circ\text{C}$$ $$v_f=0.001067,\quad v_g=0.71873\ \text{m}^3/\text{kg}$$ $$u_f=535.08,\quad u_{fg}=2001.8\ \text{kJ/kg}$$ $$h_g=2716.5\ \text{kJ/kg}$$

壓力鍋為剛性容器，體積為

$$V=6\ \text{L}=0.006\ \text{m}^3$$

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（一）操作狀態的溫度、乾度與內能

初始總質量為 $m_1=1.5\ \text{kg}$，故平均比體積為

$$v_1=\frac{V}{m_1} =\frac{0.006}{1.5} =0.004\ \text{m}^3/\text{kg}$$

因為

$$v_f<v_1<v_g$$

所以鍋內為飽和液氣混合物，乾度為

$$x_1=\frac{v_1-v_f}{v_g-v_f}$$

代入 $250\ \text{kPa}$ 的表值：

$$x_1 =\frac{0.004-0.001067}{0.71873-0.001067} \approx 0.00409$$

因此操作狀態的比內能為

$$u_1=u_f+x_1u_{fg}$$ $$u_1 =535.08+(0.00409)(2001.8) \approx 543.26\ \text{kJ/kg}$$

所以：

$$\boxed{T_1=127.41^\circ\text{C}}$$ $$\boxed{x_1\approx0.00409}$$ $$\boxed{u_1\approx543.26\ \text{kJ/kg}}$$

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（二）加熱後剩餘水質量與乾度的關係式

加熱過程中壓力維持在 $250\ \text{kPa}$，且壓力鍋為剛性容器，因此加熱後仍有

$$V=m_2v_2$$

在飽和兩相區域，

$$v_2=v_f+x_2(v_g-v_f)$$

故

$$0.006 =m_2\left[0.001067+x_2(0.71873-0.001067)\right]$$

因此

$$\boxed{ m_2= \frac{0.006} {0.001067+0.717663x_2} }$$

其中 $m_2$ 的單位為 $\text{kg}$。

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（三）加熱後剩餘水的內能與乾度關係式

飽和液氣混合物的比內能關係為

$$u_2=u_f+x_2u_{fg}$$

代入表值：