113 地方特考三等 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查封閉系統在定壓加熱時的熱量、邊界功與焓變。空氣視為理想氣體，且比熱為定值。溫度變化為

$$\Delta T=T_2-T_1=550-285=265\ \mathrm{K}$$

定壓過程中，封閉系統的熱量與焓變相等：

$$Q_{1\to2}=\Delta H=mC_p\Delta T$$

活塞所作的邊界功為

$$W_{1\to2}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV=mR\Delta T$$

其中空氣氣體常數由 $R=C_p-C_v$ 求得。

解題方法

先由比熱差求空氣氣體常數：

$$R=C_p-C_v=1.004-0.7176 =0.2864\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

（一）加入的熱量

定壓加熱時，加入的熱量等於焓增加：

$$Q_{1\to2}=mC_p\Delta T =(0.05)(1.004)(265) =13.303\ \mathrm{kJ}$$

因此加入的熱量為 $13.303\ \mathrm{kJ}$。

（二）完成的功

壓力恆定，且理想氣體在定壓過程中有 $P\Delta V=mR\Delta T$，故

核心觀念

本題考查理想氣體的等溫過程、理想氣體內能性質，以及封閉系統的熱力學第一定律。

• 理想氣體的內能只與溫度有關，因此等溫時 $\Delta U=0$。
• 理想氣體狀態方程式為 $PV=mRT$。
• 封閉系統採「輸入系統的熱量為正、系統對外作功為正」的符號慣例時，熱力學第一定律為 $\Delta U=Q-W$。

題目文字「最後壓力為原來的一倍」有歧義。依一般命題語意，以下按「最後壓力為初始壓力的兩倍」計算，即 $P_2=2P_1$。

解題方法

（一）內能變化

理想氣體內能只隨溫度改變。本題為等溫過程，故 $T_2=T_1$：

$$\Delta U=m c_v(T_2-T_1)=0$$

因此氣體內能變化為 $0\ \mathrm{kJ}$。

（二）最後體積

由理想氣體狀態方程式：

$$V_2=\frac{mRT_2}{P_2}$$

代入 $m=0.3\ \mathrm{kg}$、$R=2.1\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$、$T_2=280\ \mathrm{K}$，並取 $P_2=2\ \mathrm{atm}=202.65\ \mathrm{kPa}$。由於 $1\ \mathrm{kJ}=1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}$：

$$V_2=\frac{(0.3)(2.1)(280)}{202.65} =0.871\ \mathrm{m^3}$$

（三）過程中的功

定壓過程的邊界功為 $W=P(V_2-V_1)$。但理想氣體等溫且質量固定時，$PV=mRT$ 為定值，因此若壓力改變，體積必須反向改變；這與定壓過程不能同時成立。

核心觀念

本題考查理想氣體的多變過程關係式，以及穩定流動能量方程式。空氣視為理想氣體，忽略動能與位能變化；題目未提供軸功以外的機械損失資料，故渦輪功率由穩定流動能量方程式計算。

採用以下關係式：

$$pv=RT,\qquad pv^n=\text{常數}$$

由此可得多變過程的壓力、比容與溫度關係：

$$\frac{v_2}{v_1}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/n}$$ $$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}$$

穩定流動能量方程式（以渦輪對外輸出功為正）為：

$$\dot Q-\dot W_s=\dot m(h_2-h_1)$$

對理想氣體，$h_2-h_1=C_p(T_2-T_1)$。

解題方法

已知

$$\dot m=5{,}000\ \mathrm{kg/min} =\frac{5{,}000}{60} =83.333\ \mathrm{kg/s}$$ $$p_1=425\ \mathrm{kPa},\quad p_2=101\ \mathrm{kPa},\quad T_1=1{,}400\ \mathrm{K},\quad n=1.45$$

(一) 出入口比容變化比例

由多變過程式 $pv^n=\text{常數}$：

$$\frac{v_2}{v_1} =\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/n} =\left(\frac{425}{101}\right)^{1/1.45} \approx 2.635$$

因此，出口比容約為入口的 $2.635$ 倍；若以「比容增加量／入口比容」表示，則增加約 $1.635$ 倍，即增加 $163.5\%$。

(二) 出口溫度

理想氣體搭配多變過程關係式：

$$\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}$$

代入數值：

$$T_2 =1{,}400 \left(\frac{101}{425}\right)^{(1.45-1)/1.45} \approx 1{,}058.7\ \mathrm{K}$$

(三) 空氣總焓變化率

先求單位質量的焓變：

$$h_2-h_1=C_p(T_2-T_1) =1.0047(1{,}058.7-1{,}400) \approx -342.8\ \mathrm{kJ/kg}$$

總焓變化率為：

$$\dot H_2-\dot H_1 =\dot m(h_2-h_1) =83.333(-342.8) \approx -28{,}567\ \mathrm{kW}$$

負號表示空氣流經渦輪機時焓降低；焓降低率約為 $28.57\ \mathrm{MW}$。

(四) 渦輪機功率

題目未提供熱交換率，因此不能只由狀態變化直接求出渦輪功率；需結合第五小題的熱交換率。依此多變過程模型，對固定質量的簡單可壓縮系統，有：

$$\delta q=du+p\,dv$$

核心觀念

卡諾循環由兩段可逆等溫過程與兩段可逆等熵過程組成。空氣視為理想氣體，取氣體常數 $R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。

循環的熱效率只由高、低溫熱源溫度決定：

$$\eta=1-\frac{T_L}{T_H}$$

第一過程是 $T_H=900\ \mathrm{K}$ 下的等溫加熱，理想氣體內能變化為零，因此：

$$Q_{12}=W_{12}=mRT_H\ln\frac{V_2}{V_1}$$

狀態 1 的體積由理想氣體方程式求得：

$$P_1V_1=mRT_H$$

解題方法

（一）一開始空氣的體積

已知 $P_1=9\times10^3\ \mathrm{kPa}$、$T_1=900\ \mathrm{K}$、$m=0.1\ \mathrm{kg}$，代入理想氣體方程式：

$$V_1=\frac{mRT_1}{P_1} =\frac{(0.1)(0.287)(900)}{9\times10^3} =0.00287\ \mathrm{m^3}$$

（二）第一個加熱過程結束後的體積

等溫加熱時，加入熱量等於氣體所作的功：

$$Q_{12}=mRT_H\ln\frac{V_2}{V_1}$$

代入 $Q_{12}=5\ \mathrm{kJ}$：

$$\ln\frac{V_2}{V_1} =\frac{5}{(0.1)(0.287)(900)} =0.1932$$

核心觀念

本題考定壓可逆加熱下的理想氣體能量與熵變，以及熱量的可用能（火用）和不可用能。

定壓過程的熱量為

$$Q=mC_p(T_2-T_1)$$

理想氣體在定壓過程的熵變為

$$\Delta S=mC_p\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$$

若熱量由溫度隨過程改變的系統可逆地傳出，環境溫度為 $T_0$，該熱量的可用能為

$$X_Q=\int\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\,\delta Q$$

不可用能則為

$$I=Q-X_Q=T_0\Delta S_{\mathrm{gen}}$$

解題方法

（一）加熱後的溫度

由定壓熱量關係：

$$T_2=T_1+\frac{Q}{mC_p} =500+\frac{400}{0.3(1.0047)} =1827.94\ \mathrm{K}$$

（二）熵增加量

$$\Delta S =mC_p\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) =0.3(1.0047)\ln\left(\frac{1827.94}{500}\right) =0.3911\ \mathrm{kJ/K}$$

（三）加入熱量的可用能