113 地方特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

113 年・地方特考・三等・機械工程
試題代碼 機械設計

第 一 題20 分

如圖一所示，有一圓棒固定在牆上。圓棒長度為 3L m3L\ \mathrm{m}、半徑為 R mR\ \mathrm{m}，材料具有降伏強度 S N/m2S\ \mathrm{N/m^2}。

在 Z=2LZ=2L 處受到一朝負 YY 方向的外力 F NF\ \mathrm{N}，並在 Z=3LZ=3L 處受到一扭矩 T N⋅mT\ \mathrm{N\cdot m}。試求元素 AA 受到的 von Mises 應力為何？

此外，根據最大畸變能模型（Maximum Distortion Energy Model），則元素 AA 的安全係數是多少？作答時需要標註單位。

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核心觀念

本題考查圓棒受橫向集中力與扭矩作用時：

  1. 橫向力造成固定端彎曲正應力。
  2. 扭矩造成圓棒外表面的扭轉剪應力。
  3. 以 von Mises 應力合併正應力與剪應力。
  4. 依最大畸變能模型求安全係數：
n=Sσvmn=\frac{S}{\sigma_{\mathrm{vm}}}

圖中元素 AA 位於固定端圓棒的外表面，且為彎曲之外纖維，故 ∣yA∣=R|y_A|=R。

解題方法

1. 固定端彎矩

外力 FF 作用於 Z=2LZ=2L 處，因此固定端的彎矩大小為

M=F(2L)=2FL N⋅mM=F(2L)=2FL\ \mathrm{N\cdot m}

圓棒截面的面積慣性矩為

I=πR44 m4I=\frac{\pi R^4}{4}\ \mathrm{m^4}

元素 AA 的彎曲正應力大小：

∣σz∣=MyAI=(2FL)RπR4/4|\sigma_z| =\frac{My_A}{I} =\frac{(2FL)R}{\pi R^4/4}

因此

∣σz∣=8FLπR3 N/m2|\sigma_z| =\frac{8FL}{\pi R^3}\ \mathrm{N/m^2}

正負號取決於元素 AA 位於受拉側或受壓側，但不影響 von Mises 應力。

2. 扭轉剪應力

扭矩 TT 沿圓棒傳遞至固定端。實心圓截面的極慣性矩為

J=πR42 m4J=\frac{\pi R^4}{2}\ \mathrm{m^4}

元素 AA 位於外表面，故 r=Rr=R，扭轉剪應力為

τzθ=TRJ=TRπR4/2\tau_{z\theta} =\frac{TR}{J} =\frac{TR}{\pi R^4/2}

所以

τzθ=2TπR3 N/m2\tau_{z\theta} =\frac{2T}{\pi R^3}\ \mathrm{N/m^2}

3. von Mises 應力

元素 AA 主要承受縱向彎曲正應力 σz\sigma_z 與扭轉剪應力 τzθ\tau_{z\theta}。因此

σvm=σz2+3τzθ2\sigma_{\mathrm{vm}} =\sqrt{\sigma_z^2+3\tau_{z\theta}^2}

代入上述結果：

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第 二 題20 分

有一材料的極限拉伸強度為 750 MPa750\ \mathrm{MPa}、疲勞耐久限為 340 MPa340\ \mathrm{MPa}、降伏強度為 510 MPa510\ \mathrm{MPa}。

此材料在一特定方向上受到動態正向應力（平均為 100 MPa100\ \mathrm{MPa}、振幅為 120 MPa120\ \mathrm{MPa}），請根據 Modified Goodman 模型（由 Yield Line 及 Goodman 兩個模型組成）評估此材料的疲勞安全係數。作答時需要標註單位。

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核心觀念

本題考查動態正向應力下的疲勞安全係數。應力分為平均應力 σm\sigma_m 與應力振幅 σa\sigma_a，並以 Modified Goodman 模型評估疲勞破壞；另須用降伏線檢查最大瞬時應力是否先達降伏。

已知：

  • 極限拉伸強度：Sut=750 MPaS_{ut}=750\ \mathrm{MPa}
  • 疲勞耐久限：Se=340 MPaS_e=340\ \mathrm{MPa}
  • 降伏強度：Sy=510 MPaS_y=510\ \mathrm{MPa}
  • 平均應力：σm=100 MPa\sigma_m=100\ \mathrm{MPa}
  • 應力振幅：σa=120 MPa\sigma_a=120\ \mathrm{MPa}

解題方法

先計算最大瞬時應力，求降伏線安全係數：

σmax⁡=σm+σa=100+120=220 MPa\sigma_{\max}=\sigma_m+\sigma_a=100+120=220\ \mathrm{MPa} ny=Syσmax⁡=510220=2.32n_y=\frac{S_y}{\sigma_{\max}} =\frac{510}{220} =2.32
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第 三 題35 分

有一截面為圓形的螺旋彈簧，其兩端受到軸向外力 F NF\ \mathrm{N}，彈簧外徑為 D mD\ \mathrm{m}，圓形彈簧線直徑為 d md\ \mathrm{m}。

試求彈簧在截面上受到的剪應力。請忽略曲率及應力集中所需要的修正，僅需考慮橫向剪應力及扭轉剪應力的和。作答時需要標註單位。

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核心觀念

圓線螺旋彈簧受軸向力 FF 時，彈簧線截面同時承受：

  1. 扭轉剪應力：軸向力對彈簧線中心軸產生扭矩。
  2. 橫向剪應力：軸向力直接作用於彈簧線截面。

題目指定忽略曲率與應力集中修正，因此將兩種剪應力直接相加。

解題方法

令彈簧平均直徑為 DmD_m。彈簧外徑與線徑的幾何關係為

Dm=D−d.D_m=D-d.

彈簧線截面為直徑 dd 的圓形，其極慣性矩與截面積分別為

J=πd432,A=πd24.J=\frac{\pi d^4}{32},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4}.

軸向力對彈簧線中心造成的扭矩為

T=FDm2.T=F\frac{D_m}{2}.

扭轉剪應力在截面外緣達最大值：

τt=TcJ=(FDm/2)(d/2)πd4/32=8FDmπd3.\tau_t=\frac{Tc}{J} =\frac{\left(FD_m/2\right)(d/2)}{\pi d^4/32} =\frac{8FD_m}{\pi d^3}.

圓形截面承受橫向剪力 FF 時，最大橫向剪應力為

τs=4F3A=4F3(πd2/4)=16F3πd2.\tau_s=\frac{4F}{3A} =\frac{4F}{3(\pi d^2/4)} =\frac{16F}{3\pi d^2}.

依題意相加，並代入 Dm=D−dD_m=D-d：

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第 四 題25 分

有一皮帶輪系統（包含一扁型皮帶、兩個皮帶輪），相關幾何尺寸如圖二所示。皮帶具有 0.5 kg/m0.5\ \mathrm{kg/m} 的單位質量，且有 Fi=190 NF_i=190\ \mathrm{N} 的初始張力。

有一 10 kW10\ \mathrm{kW} 馬達以 2000 RPM2000\ \mathrm{RPM} 驅動左邊的小皮帶輪，假設馬達扭力 100%100\% 施在皮帶輪的帶動上。

試求：

(一) 皮帶輪中心到中心的距離 CC。

(二) 小皮帶輪的皮帶接觸角 θd\theta_d。

(三) 小皮帶輪上皮帶內的離心力 FCF_C。

(四) 皮帶張力 F1F_1 及 F2F_2。

計算時需考慮初始張力、離心力及馬達扭力。作答時需要標註單位。

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核心觀念

本題考查扁型皮帶之：

  • 皮帶輪中心距
  • 開式皮帶之小皮帶輪接觸角
  • 皮帶高速運轉時的離心張力
  • 初始張力、有效張力與馬達扭力的關係

已知：

r=0.3 m,R=0.45 mr=0.3\ \mathrm{m},\qquad R=0.45\ \mathrm{m} m=0.5 kg/m,Fi=190 Nm=0.5\ \mathrm{kg/m},\qquad F_i=190\ \mathrm{N} P=10 000 W,N=2000 rpmP=10\,000\ \mathrm{W},\qquad N=2000\ \mathrm{rpm}

圖中兩皮帶輪中心的水平距離為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，垂直距離為 0.5 m0.5\ \mathrm{m}。

解題方法

（一）中心距 CC

由圖形幾何關係：

C=(1.5)2+(0.5)2C=\sqrt{(1.5)^2+(0.5)^2} C=2.5=1.581 mC=\sqrt{2.5}=1.581\ \mathrm{m}

因此：

C=1.581 m\boxed{C=1.581\ \mathrm{m}}

（二）小皮帶輪接觸角 θd\theta_d

開式皮帶的幾何關係為：

θd=π−2sin⁡−1(R−rC)\theta_d=\pi-2\sin^{-1}\left(\frac{R-r}{C}\right)

代入：

θd=π−2sin⁡−1(0.45−0.301.581)\theta_d =\pi-2\sin^{-1}\left(\frac{0.45-0.30}{1.581}\right) θd=π−2sin⁡−1(0.09487)\theta_d =\pi-2\sin^{-1}(0.09487) θd=2.951 rad\theta_d=2.951\ \mathrm{rad}

換算為角度：

θd=2.951(180∘π)=169.1∘\theta_d=2.951\left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) =169.1^\circ

所以：

θd=2.951 rad=169.1∘\boxed{\theta_d=2.951\ \mathrm{rad}=169.1^\circ}

（三）小皮帶輪上的離心力 FCF_C

皮帶速度為：

v=2πrN60v=\frac{2\pi rN}{60} v=2π(0.3)(2000)60=62.832 m/sv=\frac{2\pi(0.3)(2000)}{60} =62.832\ \mathrm{m/s}

皮帶單位長度質量為 mm，離心張力為：

FC=mv2F_C=mv^2

因此：

FC=0.5(62.832)2F_C=0.5(62.832)^2 FC=1973.9 NF_C=1973.9\ \mathrm{N}

所以：

FC=1.974×103 N\boxed{F_C=1.974\times10^3\ \mathrm{N}}

（四）皮帶張力 F1F_1 及 F2F_2

馬達所提供的扭力為：

T=PωT=\frac{P}{\omega}

其中：

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