110 地方特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

110 年・地方特考・三等・機械工程
試題代碼 機械設計

第 一 題25 分

畸變能（Distortion energy, DE）及最大剪應力（Maximum shear stress）失效理論常用於分析延性材料承受靜態負荷下損壞的降伏理論。

已知由 AISI 1045 熱軋鋼加工製造的軸，受到靜態負荷作用下，結構臨界點的主應力狀態為 0 MPa0\ \mathrm{MPa}、250 MPa250\ \mathrm{MPa} 及 −50 MPa-50\ \mathrm{MPa}。請回答下列問題：

(一) 在考慮安全因數下，請分別寫出畸變能及最大剪應力失效理論的設計公式，並說明相關參數的物理意義。（10 分）

(二) 若已知軸的降伏強度 Sy=310 MPaS_y=310\ \mathrm{MPa}，試分別利用畸變能及最大剪應力失效理論，就上述主應力狀態估算該軸的安全因數。（15 分）

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核心觀念

本題考查延性材料在靜態負荷下的兩種降伏失效理論：

  1. 畸變能理論（Distortion Energy Theory, DE），又稱 von Mises 降伏理論。
  2. 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, Tresca 理論）。

AISI 1045 熱軋鋼屬於延性材料，適合使用上述理論分析。主應力必須先排序為：

σ1≥σ2≥σ3\sigma_1\geq \sigma_2\geq \sigma_3

本題主應力為：

σ1=250 MPa,σ2=0 MPa,σ3=−50 MPa\sigma_1=250\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=0\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_3=-50\ \mathrm{MPa}

（一）考慮安全因數之設計公式

1. 畸變能失效理論

畸變能理論以 von Mises 等效應力 σe\sigma_e 判斷材料是否降伏：

σe=(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)22\sigma_e= \sqrt{ \frac{ (\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2 }{2} }

考慮安全因數 nn 時，設計條件為：

σe≤Syn\sigma_e\leq \frac{S_y}{n}

因此安全因數可寫為：

n=Syσen=\frac{S_y}{\sigma_e}

其中：

  • σ1,σ2,σ3\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3：三個主應力。
  • σe\sigma_e：von Mises 等效應力，代表複雜應力狀態對材料降伏的等效作用。
  • SyS_y：材料降伏強度。
  • nn：安全因數，表示材料降伏強度相對於實際等效應力的倍數。

畸變能理論只考慮主應力差異所造成的形狀改變能，對均勻的靜水壓應力不敏感。

2. 最大剪應力失效理論

最大剪應力為：

τmax⁡=σmax⁡−σmin⁡2=σ1−σ32\tau_{\max} = \frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}

延性材料在單軸拉伸試驗中開始降伏時：

τy=Sy2\tau_y=\frac{S_y}{2}

因此考慮安全因數後，設計條件為：

τmax⁡≤Sy2n\tau_{\max}\leq \frac{S_y}{2n}

安全因數為：

n=Sy/2τmax⁡n=\frac{S_y/2}{\tau_{\max}}

代入 τmax⁡=(σ1−σ3)/2\tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_3)/2，可得：

n=Syσ1−σ3n=\frac{S_y}{\sigma_1-\sigma_3}

其中：

  • τmax⁡\tau_{\max}：實際應力狀態中的最大剪應力。
  • τy\tau_y：材料降伏時的剪應力。
  • SyS_y：單軸拉伸降伏強度。
  • nn：安全因數。

最大剪應力理論通常比畸變能理論保守，因為它只取最大主應力差作為降伏判定依據。

（二）安全因數計算

1. 畸變能理論

由主應力：

σ1=250 MPa,σ2=0 MPa,σ3=−50 MPa\sigma_1=250\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=0\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_3=-50\ \mathrm{MPa}

各主應力差為：

σ1−σ2=250 MPa\sigma_1-\sigma_2=250\ \mathrm{MPa} σ2−σ3=50 MPa\sigma_2-\sigma_3=50\ \mathrm{MPa} σ3−σ1=−300 MPa\sigma_3-\sigma_1=-300\ \mathrm{MPa}

因此 von Mises 等效應力為：

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第 二 題25 分

已知直徑 D=25 mmD=25\ \mathrm{mm} 的實心鋼軸，同時受到變動彎矩 MM 及變動扭矩 TT 的作用：

  • 彎矩：Mmin⁡=15 N⋅mM_{\min}=15\ \mathrm{N\cdot m}，Mmax⁡=125 N⋅mM_{\max}=125\ \mathrm{N\cdot m}
  • 扭矩：Tmin⁡=10 N⋅mT_{\min}=10\ \mathrm{N\cdot m}，Tmax⁡=80 N⋅mT_{\max}=80\ \mathrm{N\cdot m}

已知該軸材料的抗拉強度 Su=700 MPaS_u=700\ \mathrm{MPa}，修正疲勞限（modified endurance limit）Se=210 MPaS_e=210\ \mathrm{MPa}。請回答下列問題：

(一) 計算作用在該軸的平均彎矩、交變彎矩、平均扭矩、交變扭矩，以及平均彎應力、交變彎應力、平均扭轉剪應力、交變扭轉剪應力。（15 分）

(二) 利用畸變能（DE）失效理論結合修正古德曼（Goodman）疲勞失效準則，求該軸受到組合變動負載下防範疲勞損壞的安全因數。（10 分）

提示：DE-Goodman 準則公式為

σaSe+σmSu=1n\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_u}=\frac{1}{n}

其中，σa\sigma_a 為等效交變應力，σm\sigma_m 為等效中值（或平均）應力，nn 為安全因數。

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核心觀念

本題考查變動彎矩與變動扭矩所造成的疲勞應力，以及畸變能（Distortion Energy, DE；亦稱 von Mises）理論與修正古德曼準則的組合應用。

對於直徑為 dd 的實心圓軸：

  • 外表面彎曲正應力：

σ=32Mπd3\sigma=\frac{32M}{\pi d^3}

  • 外表面扭轉剪應力：

τ=16Tπd3\tau=\frac{16T}{\pi d^3}

變動負載的平均值與交變值定義為：

Xm=Xmax⁡+Xmin⁡2X_m=\frac{X_{\max}+X_{\min}}{2}

Xa=Xmax⁡−Xmin⁡2X_a=\frac{X_{\max}-X_{\min}}{2}

其中下標 mm 代表平均值，aa 代表交變值。

解題方法

（一）平均負載、交變負載及各項應力

已知：

d=25 mmd=25\ \mathrm{mm}

為配合應力公式，彎矩與扭矩須換算為 N⋅mm\mathrm{N\cdot mm}：

1 N⋅m=1000 N⋅mm1\ \mathrm{N\cdot m}=1000\ \mathrm{N\cdot mm}

1. 平均彎矩與交變彎矩

Mm=Mmax⁡+Mmin⁡2=125+152=70 N⋅mM_m=\frac{M_{\max}+M_{\min}}{2} =\frac{125+15}{2} =70\ \mathrm{N\cdot m} Ma=Mmax⁡−Mmin⁡2=125−152=55 N⋅mM_a=\frac{M_{\max}-M_{\min}}{2} =\frac{125-15}{2} =55\ \mathrm{N\cdot m}

因此：

Mm=70 000 N⋅mmM_m=70\,000\ \mathrm{N\cdot mm}

Ma=55 000 N⋅mmM_a=55\,000\ \mathrm{N\cdot mm}

2. 平均扭矩與交變扭矩

Tm=Tmax⁡+Tmin⁡2=80+102=45 N⋅mT_m=\frac{T_{\max}+T_{\min}}{2} =\frac{80+10}{2} =45\ \mathrm{N\cdot m} Ta=Tmax⁡−Tmin⁡2=80−102=35 N⋅mT_a=\frac{T_{\max}-T_{\min}}{2} =\frac{80-10}{2} =35\ \mathrm{N\cdot m}

因此：

Tm=45 000 N⋅mmT_m=45\,000\ \mathrm{N\cdot mm}

Ta=35 000 N⋅mmT_a=35\,000\ \mathrm{N\cdot mm}

3. 平均彎應力與交變彎應力

先計算：

d3=253=15 625 mm3d^3=25^3=15\,625\ \mathrm{mm^3}

平均彎應力為：

σm=32Mmπd3=32(70 000)π(15 625)\sigma_m=\frac{32M_m}{\pi d^3} =\frac{32(70\,000)}{\pi(15\,625)}

σm≈45.6 MPa\boxed{\sigma_m\approx45.6\ \mathrm{MPa}}

交變彎應力為：

σa=32Maπd3=32(55 000)π(15 625)\sigma_a=\frac{32M_a}{\pi d^3} =\frac{32(55\,000)}{\pi(15\,625)}

σa≈35.8 MPa\boxed{\sigma_a\approx35.8\ \mathrm{MPa}}

4. 平均扭轉剪應力與交變扭轉剪應力

平均扭轉剪應力為：

τm=16Tmπd3=16(45 000)π(15 625)\tau_m=\frac{16T_m}{\pi d^3} =\frac{16(45\,000)}{\pi(15\,625)}

τm≈14.7 MPa\boxed{\tau_m\approx14.7\ \mathrm{MPa}}

交變扭轉剪應力為：

τa=16Taπd3=16(35 000)π(15 625)\tau_a=\frac{16T_a}{\pi d^3} =\frac{16(35\,000)}{\pi(15\,625)}

τa≈11.4 MPa\boxed{\tau_a\approx11.4\ \mathrm{MPa}}

（二）DE-Goodman 疲勞安全因數

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第 三 題25 分

【題組共用題幹】

如圖所示為一齒輪箱輸入軸的負載自由體圖。AA 和 BB 的位置分別安裝 02 系列深槽滾珠軸承（deep-groove ball bearing）來支撐該輸入軸，其支撐方式類似簡支樑。請回答下列問題。

圖示資訊：

  • 支撐點：AA、BB
  • 軸向標示：yy 軸、zz 軸
  • 支撐反力：RAyR_{Ay}、RAzR_{Az}、RByR_{By}、RBzR_{Bz}
  • 外力：75 N75\ \mathrm{N}、206 N206\ \mathrm{N}
  • 扭矩：T=2.06 N⋅mT=2.06\ \mathrm{N\cdot m}
  • 圖示距離：66 mm66\ \mathrm{mm}、84 mm84\ \mathrm{mm}

(一) 根據該自由體圖，計算作用在軸支撐 AA 及 BB 處的支撐力 RAyR_{Ay}、RAzR_{Az}、RByR_{By} 及 RBzR_{Bz}。（10 分）

(二) 已知該軸的直徑為 12 mm12\ \mathrm{mm}，操作轉速 1725 rpm1725\ \mathrm{rpm}。假設忽略推力方向的負載，軸承受到穩定負載作用且為內環旋轉。若輸入軸左端 AA 處軸承的基本動態額定負載 C=6.89 kNC=6.89\ \mathrm{kN}，求該軸承預期的額定壽命 L10L_{10} 應為多少小時？（15 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 軸承支撐軸的靜力平衡。
  2. 將 yy、zz 兩個互相垂直平面分開計算支撐反力。
  3. 深槽滾珠軸承的基本額定壽命公式。
  4. 球軸承壽命指數為 p=3p=3。

軸承間距為

AB=66+84=150 mmAB=66+84=150\ \text{mm}

扭矩 T=2.06 N⋅mT=2.06\ \text{N}\cdot\text{m} 不影響本題的橫向支撐反力；且題目明確忽略推力方向負載，因此軸承壽命只需考慮徑向負載。

（一）計算軸承支撐反力

1. yy 方向受力

75 N75\ \text{N} 作用於距離 AA 點 66 mm66\ \text{mm} 處。

對 AA 點取力矩：

RBy(150)−75(66)=0R_{By}(150)-75(66)=0

因此

RBy=75(66)150=33.0 NR_{By}=\frac{75(66)}{150}=33.0\ \text{N}

由垂直方向力平衡：

RAy+RBy−75=0R_{Ay}+R_{By}-75=0 RAy=75−33=42.0 NR_{Ay}=75-33=42.0\ \text{N}

所以

RAy=42.0 N\boxed{R_{Ay}=42.0\ \text{N}} RBy=33.0 N\boxed{R_{By}=33.0\ \text{N}}

兩者方向皆向上，以平衡圖示向下的 75 N75\ \text{N}。

2. zz 方向受力

206 N206\ \text{N} 作用於距離 AA 點 66 mm66\ \text{mm} 處。

對 AA 點取力矩：

RBz(150)−206(66)=0R_{Bz}(150)-206(66)=0

因此

RBz=206(66)150=90.64 NR_{Bz}=\frac{206(66)}{150}=90.64\ \text{N}

由 zz 方向力平衡：

RAz+RBz−206=0R_{Az}+R_{Bz}-206=0 RAz=206−90.64=115.36 NR_{Az}=206-90.64=115.36\ \text{N}

所以

RAz=115.36 N\boxed{R_{Az}=115.36\ \text{N}} RBz=90.64 N\boxed{R_{Bz}=90.64\ \text{N}}

兩者方向均與圖示 206 N206\ \text{N} 的作用方向相反。

（二）軸承 AA 的額定壽命

1. 軸承 AA 的等效徑向負載

因為 yy、zz 方向互相垂直，軸承 AA 所受徑向負載為

PA=RAy2+RAz2P_A=\sqrt{R_{Ay}^2+R_{Az}^2}

代入數值：

PA=(42.0)2+(115.36)2P_A=\sqrt{(42.0)^2+(115.36)^2}
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第 四 題25 分

【題組共用題幹】

如圖所示為一飛機起落架結構，其輪胎受到 43 kN43\ \mathrm{kN} 垂直力及 12 kN12\ \mathrm{kN} 水平力的作用。已知 AA 和 BB 處銷的最大允許剪應力 τall=97 MPa\tau_{\mathrm{all}}=97\ \mathrm{MPa}，且銷可承受雙剪應力，試求 AA 和 BB 處銷避免剪力失效的直徑分別為何？（25 分）

圖示資訊：

  • 結構標示點：AA、BB、CC、DD
  • 圖示尺寸：40 cm40\ \mathrm{cm}、10 cm10\ \mathrm{cm}、40 cm40\ \mathrm{cm}、40 cm40\ \mathrm{cm}
  • 水平力：12 kN12\ \mathrm{kN}
  • 垂直力：43 kN43\ \mathrm{kN}
  • 單位：cm\mathrm{cm}
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核心觀念

本題考查：

  1. 平面剛體的靜力平衡。
  2. 二力構件的受力特性：桿件 BCBC 兩端僅受銷接力，因此其內力必沿 BCBC 方向。
  3. 銷之雙剪切應力設計。

銷承受雙剪時，剪應力為

τ=V2(πd24)=2Vπd2\tau=\frac{V}{2\left(\frac{\pi d^2}{4}\right)} =\frac{2V}{\pi d^2}

因此銷徑為

d=2Vπτalld=\sqrt{\frac{2V}{\pi\tau_{\mathrm{all}}}}

其中 VV 為銷所承受的合力。

解題方法

取垂直構件 ADAD 為自由體圖。由圖得：

  • AA 到 CC 的垂直距離為 40 cm40\ \mathrm{cm}
  • CC 到 DD 的垂直距離為 40 cm40\ \mathrm{cm}
  • AA 到 CC 的水平距離為 10 cm10\ \mathrm{cm}
  • AA 到 BB 的水平距離為 40 cm40\ \mathrm{cm}

故桿件 BCBC 的水平差為

40−10=30 cm40-10=30\ \mathrm{cm}

垂直差為 40 cm40\ \mathrm{cm}，所以為 3030-4040-5050 三角形。設桿件 BCBC 的軸力為 PP，則其分力為

Px=3050P=35PP_x=\frac{30}{50}P=\frac{3}{5}P Py=4050P=45PP_y=\frac{40}{50}P=\frac{4}{5}P

1. 求桿件 BCBC 的軸力

以 AA 點取力矩。輪胎在 DD 點所受的 12 kN12\ \mathrm{kN} 水平力，對 AA 點產生順時針力矩：

MD=12(80)=960 kN⋅cmM_D=12(80)=960\ \mathrm{kN\cdot cm}

桿件 BCBC 在 CC 點的水平、垂直分力對 AA 點產生逆時針力矩：

MC=10(45P)+40(35P)M_C =10\left(\frac{4}{5}P\right) +40\left(\frac{3}{5}P\right)

由 ∑MA=0\sum M_A=0：

10(45P)+40(35P)−12(80)=010\left(\frac{4}{5}P\right) +40\left(\frac{3}{5}P\right) -12(80)=0 8P+24P=9608P+24P=960 P=30 kNP=30\ \mathrm{kN}

因此桿件 BCBC 的軸力為 30 kN30\ \mathrm{kN}，銷 BB 所承受的力也是

VB=30 kNV_B=30\ \mathrm{kN}

2. 求銷 AA 的反力

桿件 BCBC 對 ADAD 在 CC 點施加的力分量為

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