110 地方特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

110 年・地方特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題25 分

如圖一所示，兩液壓缸（Hydraulic Cylinder）AEAE 和 DGDG 用來控制機械人手臂 ABCABC 的位置。如圖一所示的位置 AEAE 和 DGDG 是平行的，當 P=160 NP = 160\text{ N} 和 Q=80 NQ = 80\text{ N} 時，決定各液壓缸所施加的力。（25 分）

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核心觀念

本題考查：

  • 液壓缸為二力構件，所施力必沿液壓缸軸線。
  • 剛體平衡條件： ∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0
  • 以力矩方程消去鉸鏈反力。
  • 由圖可知 AE∥DGAE\parallel DG，且 400300=43\frac{400}{300}=\frac{4}{3} 因此液壓缸軸線方向的單位向量為 (35,45)\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)

解題方法

一、求液壓缸 AEAE 的力量

先取上方手臂 ABCABC 為自由體圖。

設液壓缸 AEAE 對手臂在 AA 點施力為 FAEF_{AE}。由於液壓缸方向為 3:4:53:4:5，其垂直分量為

FAE,y=45FAEF_{AE,y}=\frac{4}{5}F_{AE}

取 BB 點為力矩中心：

  • AA 與 BB 的水平距離為 150 mm150\text{ mm}
  • BB 與 CC 的水平距離為 600 mm600\text{ mm}
  • 水平力 QQ 的作用線通過 BB，對 BB 點力矩為零
  • P=160 NP=160\text{ N} 向下作用於 CC

因此，

∑MB=0\sum M_B=0 −150FAE,y−600(160)=0-150F_{AE,y}-600(160)=0

代入 FAE,y=45FAEF_{AE,y}=\frac45F_{AE}：

−150(45FAE)−96000=0-150\left(\frac45F_{AE}\right)-96000=0 120FAE=96000120F_{AE}=96000 FAE=800 NF_{AE}=800\text{ N}

方向上，液壓缸對手臂在 AA 點的作用力為向左下方：

F⃗A=800(−35,−45)=(−480,−640) N\vec F_A =800\left(-\frac35,-\frac45\right) =(-480,-640)\text{ N}

二、求 BB 點鉸鏈力

對手臂 ABCABC 使用力平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 −480+Bx−80=0-480+B_x-80=0 Bx=560 NB_x=560\text{ N}

再由垂直方向平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 −640+By−160=0-640+B_y-160=0 By=800 NB_y=800\text{ N}

所以手臂對下方連桿在 BB 點的作用力為反方向：

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第 二 題25 分

如圖二所示，一半徑 60 mm60\text{ mm} 的鼓（Drum）依附在一半徑 120 mm120\text{ mm} 的盤（Disk）上。盤和鼓的總質量為 6 kg6\text{ kg} 且兩者組合的旋轉半徑（Radius of Gyration）為 90 mm90\text{ mm}。一繩索以一力 P=20 NP = 20\text{ N} 施加於 GG 點。已知盤是旋轉但不滑行（Rolls without Sliding），決定： (一) 盤的角加速度和 GG 點的加速度。（10 分） (二) 相配此運動所需最小靜摩擦系數值。（15 分）

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核心觀念

本題考查剛體平面運動中的：

  • 質心平移運動：∑Fx=maG\sum F_x=ma_G
  • 繞質心轉動：∑MG=IGα\sum M_G=I_G\alpha
  • 迴轉半徑定義：IG=mkG2I_G=mk_G^2
  • 純滾動約束：aG=R∣α∣a_G=R\lvert\alpha\rvert
  • 靜摩擦力大小：Fs≤μsNF_s\leq \mu_s N

盤與鼓視為一個整體，接觸地面處之外力只有水平拉力 PP、地面摩擦力 FsF_s、支持力 NN 與重力 WW。

解題方法

取向右為正，取逆時針角加速度為正。因拉力作用於質心 GG，對 GG 不產生力矩；使物體向右滾動時，角加速度為順時針。

盤外半徑為

R=120 mm=0.12 mR=120\text{ mm}=0.12\text{ m}

總質量

m=6 kgm=6\text{ kg}

迴轉半徑

kG=90 mm=0.09 mk_G=90\text{ mm}=0.09\text{ m}

因此整體對 GG 點的質量慣性矩為

IG=mkG2=6(0.09)2=0.0486 kg⋅m2I_G=mk_G^2 =6(0.09)^2 =0.0486\text{ kg}\cdot\text{m}^2

(一) 盤的角加速度與 GG 點加速度

由純滾動條件：

aG=−Rαa_G=-R\alpha

其中負號表示物體向右加速時為順時針轉動。

對質心列水平力平衡。由於摩擦力提供順時針力矩，摩擦力方向向左，故：

P−Fs=maGP-F_s=ma_G

對 GG 點列轉動方程：

FsR=IG∣α∣F_sR=I_G\lvert\alpha\rvert

又因

∣α∣=aGR\lvert\alpha\rvert=\frac{a_G}{R}

所以

Fs=IGR2aGF_s=\frac{I_G}{R^2}a_G

代入平移方程：

P−IGR2aG=maGP-\frac{I_G}{R^2}a_G=ma_G

整理得

aG=Pm+IGR2a_G=\frac{P}{m+\dfrac{I_G}{R^2}}

代入數值：

aG=206+0.0486(0.12)2=206+3.375=2.133 m/s2a_G =\frac{20}{6+\dfrac{0.0486}{(0.12)^2}} =\frac{20}{6+3.375} =2.133\text{ m/s}^2

因此

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第 三 題25 分

圖三所示之懸臂梁的斷面係由兩片各為 150 mm×15 mm150\text{ mm} \times 15\text{ mm} 的鋼板所焊接而成。若可容許彎曲應力為 170 MPa170\text{ MPa} 及可容許剪切應力為 95 MPa95\text{ MPa}， (一) 畫出梁之剪力圖及彎矩圖。（5 分） (二) 決定梁可安全承載的最大 PP 值。（20 分）

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核心觀念

本題考查懸臂梁之：

  1. 集中載重下的剪力圖與彎矩圖。
  2. T 形斷面形心與截面二次矩。
  3. 彎曲正應力公式 σ=McI\sigma=\frac{Mc}{I}
  4. 梁之剪應力公式 τ=VQIb\tau=\frac{VQ}{Ib}
  5. 由容許彎曲應力與容許剪應力分別求最大載重，取較小值作為安全承載力。

假設兩片鋼板焊接良好，可視為完整 T 形斷面。由圖可知，翼板寬 150 mm150\text{ mm}、厚 15 mm15\text{ mm}；腹板厚 15 mm15\text{ mm}、高度 150 mm150\text{ mm}，因此總高度為 165 mm165\text{ mm}。

（一）剪力圖與彎矩圖

令固定端為 x=0x=0，右端為 x=4 mx=4\text{ m}，兩個集中力 PP 分別作用於 x=2 mx=2\text{ m} 與 x=4 mx=4\text{ m}。

支承反力

固定端垂直反力為

RA=2PR_A=2P

固定端彎矩為

MA=P(2)+P(4)=6PM_A=P(2)+P(4)=6P

剪力圖

由右端向左分析：

  • 2<x<42<x<4：
V=−PV=-P
  • 0<x<20<x<2：
V=−2PV=-2P

因此剪力圖為階梯形：

  • 自由端至 x=2 mx=2\text{ m}：剪力為 −P-P
  • x=2 mx=2\text{ m} 處因集中力 PP 向下，剪力下降 PP
  • x=0x=0 至 x=2 mx=2\text{ m}：剪力為 −2P-2P
  • 固定端由支承反力 2P2P 跳回零

剪力最大絕對值為

∣V∣max⁡=2P|V|_{\max}=2P

彎矩圖

在 2≤x≤42\le x\le4：

M(x)=−P(4−x)M(x)=-P(4-x)

在 0≤x≤20\le x\le2：

M(x)=−P(4−x)−P(2−x)M(x)=-P(4-x)-P(2-x)

整理得

M(x)=−P(6−2x)M(x)=-P(6-2x)

主要彎矩值為：

M(4)=0M(4)=0 M(2)=−2PM(2)=-2P M(0)=−6PM(0)=-6P

故彎矩圖為兩段折線，固定端彎矩最大：

∣M∣max⁡=6P|M|_{\max}=6P

（二）最大安全承載力

1. T 形斷面形心

將斷面分成翼板與腹板。

部分面積 AA由頂部量測之形心位置
翼板150(15)=2250 mm2150(15)=2250\text{ mm}^27.5 mm7.5\text{ mm}
腹板15(150)=2250 mm215(150)=2250\text{ mm}^215+75=90 mm15+75=90\text{ mm}

總面積：

A=4500 mm2A=4500\text{ mm}^2

形心距頂部：

yˉ=2250(7.5)+2250(90)4500=48.75 mm\bar y= \frac{2250(7.5)+2250(90)}{4500} =48.75\text{ mm}

因此：

  • 形心距頂部：48.75 mm48.75\text{ mm}
  • 形心距底部：
cb=165−48.75=116.25 mmc_b=165-48.75=116.25\text{ mm}

底部距離較大，所以最大彎曲應力發生於斷面底部。

2. 斷面二次矩

依平行軸定理：

I=If+Afdf2+Iw+Awdw2I=I_f+A_f d_f^2+I_w+A_w d_w^2

翼板：

If=150(15)312=42187.5 mm4I_f=\frac{150(15)^3}{12}=42187.5\text{ mm}^4

腹板：

Iw=15(150)312=4218750 mm4I_w=\frac{15(150)^3}{12}=4218750\text{ mm}^4

兩者形心至整體形心的距離皆為

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第 四 題25 分

如圖四所示的承受軸向力及扭矩之直昇機（圖(a)）旋轉翼軸（Rotor Shaft）之應力狀態（圖(b)），使用摩爾圓（Mohr's Circle）決定： (一) 由 xx 軸逆時針旋轉 22.5∘22.5^\circ 之應力狀態。（10 分） (二) 旋轉翼軸之主應力（Principal Stresses）及絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）。（15 分）

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核心觀念

本題考查平面應力的莫爾圓，包括：

  • 任意角度旋轉後的應力轉換
  • 主應力
  • 絕對最大剪應力

由圖四可判讀：

σx=0,σy=68 MPa\sigma_x=0,\qquad \sigma_y=68\text{ MPa}

在 +x+x 面上的剪應力方向向下，因此依剪應力正負號慣例：

τxy=−100 MPa\tau_{xy}=-100\text{ MPa}

莫爾圓圓心與半徑為

σavg=σx+σy2=0+682=34 MPa\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{0+68}{2}=34\text{ MPa} R=(σx−σy2)2+τxy2=(−34)2+(−100)2=105.62 MPaR=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{(-34)^2+(-100)^2} =105.62\text{ MPa}

（一）xx 軸逆時針旋轉 22.5∘22.5^\circ 後的應力狀態

令

θ=22.5∘,2θ=45∘\theta=22.5^\circ,\qquad 2\theta=45^\circ

應力轉換公式為

σx′=σx+σy2+σx−σy2cos⁡2θ+τxysin⁡2θ\sigma_{x'} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta +\tau_{xy}\sin 2\theta σy′=σx+σy2−σx−σy2cos⁡2θ−τxysin⁡2θ\sigma_{y'} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta -\tau_{xy}\sin 2\theta τx′y′=−σx−σy2sin⁡2θ+τxycos⁡2θ\tau_{x'y'} =-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta +\tau_{xy}\cos 2\theta

代入 cos⁡45∘=sin⁡45∘=0.7071\cos45^\circ=\sin45^\circ=0.7071：

x′x' 面正應力

σx′=34+(−34)(0.7071)+(−100)(0.7071)=−60.75 MPa\begin{aligned} \sigma_{x'} &=34+(-34)(0.7071)+(-100)(0.7071)\\ &=-60.75\text{ MPa} \end{aligned}

y′y' 面正應力

σy′=34−(−34)(0.7071)−(−100)(0.7071)=128.75 MPa\begin{aligned} \sigma_{y'} &=34-(-34)(0.7071)-(-100)(0.7071)\\ &=128.75\text{ MPa} \end{aligned}

剪應力

τx′y′=−(−34)(0.7071)+(−100)(0.7071)=−46.67 MPa\begin{aligned} \tau_{x'y'} &=-(-34)(0.7071)+(-100)(0.7071)\\ &=-46.67\text{ MPa} \end{aligned}

因此，旋轉 22.5∘22.5^\circ 後：

σx′=−60.75 MPa\boxed{\sigma_{x'}=-60.75\text{ MPa}} σy′=128.75 MPa\boxed{\sigma_{y'}=128.75\text{ MPa}} τx′y′=−46.67 MPa\boxed{\tau_{x'y'}=-46.67\text{ MPa}}
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