108 地方特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

108 年・地方特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一、 題20 分

長 LL 的平面懸臂梁 ABAB 中，AA 點為固定端，在 BB 點處用插銷（Pin）方式與桿件 BCBC 連接，其中 CC 點為一鉸支撐（Hinge）。梁 ABAB 承受一均佈負荷，單位長度荷重為 ww。

令梁和桿件的楊氏係數為 EE，彎曲慣性力矩為 II，桿件 BCBC 的斷面面積為 AA。若梁 ABAB 的軸向變形可忽略不計，試求當桿件 BCBC 產生挫曲時的最小 ww。請用 EE、AA、II、LL 表示，並忽略梁和桿的重量。

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核心觀念

桿件 BCBC 為兩端鉸接的受壓桿，故其歐拉挫曲荷重為

Pcr=π2EI(Kℓ)2P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(K\ell)^2}

其中有效長度係數 K=1K=1。由圖可知 BCBC 的水平、垂直投影分別為 35L\frac35L、45L\frac45L，因此桿長為

ℓ=(35L)2+(45L)2=L\ell=\sqrt{\left(\frac35L\right)^2+\left(\frac45L\right)^2}=L

所以 Pcr=π2EIL2P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{L^2}。

解題方法

令桿件 BCBC 的壓縮力為 PP。其作用於梁端 BB 的垂直分力向上，大小為 45P\frac45P。懸臂梁在均佈負荷 ww 下，端點向下撓度為 wL48EI\frac{wL^4}{8EI}；端點承受向上集中力 45P\frac45P 時，向上撓度為 (4P/5)L33EI\frac{(4P/5)L^3}{3EI}。因此，BB 點向下位移為

δB=wL48EI−4PL315EI\delta_B=\frac{wL^4}{8EI}-\frac{4PL^3}{15EI}
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第 二、 題20 分

一平面架構 ABCDABCD 由三根長度為 LL、具實心圓型斷面（半徑為 rr）的桿件連結而成。此架構平放在 xx-yy 平面上，其中 AA 點為固定端，DD 點為自由端，且在 DD 點受一往下（zz 方向）的力 PP 作用。

在 BB 點切一斷面 ss-ss，並考慮該斷面頂端 aa 點的應力狀況。用 PP、LL、rr 表示所有應力，忽略桿的重量。試求：

（一）在 xx-yy-zz 座標中，用一三維應力單元體畫出 aa 點的應力分量。

（二）aa 點在 xx-yy 平面所產生的兩個主應力。

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核心觀念

在 BB 點切開桿件 ABAB，取右側的 BCDBCD 架構作自由體圖，可求得截面內力與內力矩。桿 ABAB 沿 xx 軸，截面法線為 xx 方向；DD 點的向下力沿圖示 +z+z 方向。

截面應力由彎矩造成的正應力、扭矩造成的剪應力，以及剪力造成的橫向剪應力組成。實心圓截面的截面二次矩與極慣性矩為

Iy=πr44,J=πr42.I_y=\frac{\pi r^4}{4},\qquad J=\frac{\pi r^4}{2}.

解題方法

取 BB 為矩心，從 BB 指向 DD 的位置向量為

rBD=−Li+Lj,P=Pk.\boldsymbol r_{BD}=-L\boldsymbol i+L\boldsymbol j,\qquad \boldsymbol P=P\boldsymbol k.

因此，DD 點力對 BB 點的力矩為

MB=rBD×P=PLi+PLj.\boldsymbol M_B =\boldsymbol r_{BD}\times\boldsymbol P =PL\boldsymbol i+PL\boldsymbol j.

對右側架構取自由體平衡，作用於切面右側的內力為 −Pk-P\boldsymbol k，內力矩為 −PLi−PLj-PL\boldsymbol i-PL\boldsymbol j。故截面上的剪力大小為 PP，扭矩大小為 PLPL，繞 yy 軸的彎矩大小也為 PLPL。

截面頂端 aa 的座標是 y=0, z=−ry=0,\ z=-r，因為圖示的 +z+z 軸向下。繞 yy 軸彎矩在 aa 點造成的軸向正應力為

σxx=MyzIy=(−PL)(−r)πr4/4=4PLπr3.\sigma_{xx}=\frac{M_y z}{I_y} =\frac{(-PL)(-r)}{\pi r^4/4} =\frac{4PL}{\pi r^3}.

扭矩 Mx=−PLM_x=-PL 在 aa 點造成的剪應力為

τxy=−MxzJ=−(−PL)(−r)πr4/2=−2PLπr3.\tau_{xy}=-\frac{M_xz}{J} =-\frac{(-PL)(-r)}{\pi r^4/2} =-\frac{2PL}{\pi r^3}.

剪力 Vz=−PV_z=-P 造成的橫向剪應力 τxz\tau_{xz}，在圓截面外緣 aa 點為零。因此，該點應力張量為

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第 三、 題20 分

套管 BB 與桿 ABAB 用插銷方式連接於 BB 點上，並在光滑的軸 CDCD 以等速度 VB=2 m/sV_B=2\ \mathrm{m/s} 往上滑行，3 m3\ \mathrm{m} 長之桿 ABAB 的 AA 端則在光滑的斜面上滑動。

在此瞬間，試求桿 ABAB 之角速度 ωAB\omega_{AB} 及 AA 端的速度 VAV_A。

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核心觀念

本題考查平面剛體的速度關係。桿 ABAB 為定長剛體，因此兩端速度滿足

vB=vA+ωAB×rB/A.\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_A+\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\mathbf{r}_{B/A}.

BB 點沿垂直軸向上運動；AA 點沿 45∘45^\circ 斜面運動。圖示桿 ABAB 與水平線夾角為 50∘50^\circ，桿長為 3 m3\ \mathrm{m}。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上，並令逆時針角速度為正。設 AA 點速度大小為 VAV_A，沿斜面向右上方，則

vA=VA(cos⁡45∘ i+sin⁡45∘ j),vB=2 j m/s.\mathbf{v}_A=V_A(\cos45^\circ\,\mathbf{i}+\sin45^\circ\,\mathbf{j}), \qquad \mathbf{v}_B=2\,\mathbf{j}\ \mathrm{m/s}.

由 AA 指向 BB 的位置向量為

rB/A=3(cos⁡50∘ i+sin⁡50∘ j) m.\mathbf{r}_{B/A}=3(\cos50^\circ\,\mathbf{i}+\sin50^\circ\,\mathbf{j})\ \mathrm{m}.

代入剛體速度關係：

2j=VA(cos⁡45∘ i+sin⁡45∘ j)+ωABk×3(cos⁡50∘ i+sin⁡50∘ j).2\mathbf{j} = V_A(\cos45^\circ\,\mathbf{i}+\sin45^\circ\,\mathbf{j}) + \omega_{AB}\mathbf{k}\times 3(\cos50^\circ\,\mathbf{i}+\sin50^\circ\,\mathbf{j}).
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第 四、 題20 分

無質量連桿 BCBC 與一質量為 45 kg45\ \mathrm{kg} 之圓碟（半徑 r=0.125 mr=0.125\ \mathrm{m}）用插銷方式連接於碟之邊緣 BB 點處。連桿 BCBC 受一對力偶 (P)(P) 作用，而圓碟與地板之間的靜摩擦係數為 μA=0.2\mu_A=0.2。

試求圓碟不發生運動下的最大 PP 值。PP 用牛頓（N）表示；令 g=9.8 m/s2g=9.8\ \mathrm{m/s^2}。

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核心觀念

本題以圓碟的靜力平衡與庫侖摩擦條件，求靜摩擦力達極限時的最大力偶。圓碟受力需滿足平移與轉動平衡，且接觸處的靜摩擦力不得超過 μAN\mu_A N。

依圖示取向，BB 在圓碟左側，與圓心等高；連桿端點的水平距離為 0.3 m0.3\ \mathrm{m}、垂直距離為 0.4 m0.4\ \mathrm{m}。連桿上的一對水平力相距 0.2 m0.2\ \mathrm{m}，因此力偶矩大小為 0.2P0.2P。

解題方法

令連桿對圓碟在 BB 點的作用力為 (X,Y)(X,Y)，其中向右、向上為正；地板摩擦力為 FF，正向取向右，地板正向力為 NN。圓碟重量為

W=mg=45(9.8)=441 N.W=mg=45(9.8)=441\ \mathrm{N}.

圓碟的水平力平衡為

X+F=0.X+F=0.

以圓心取矩。BB 位於圓心左側，AA 位於圓心下方，故

−rY+rF=0⟹F=Y.-rY+rF=0 \quad\Longrightarrow\quad F=Y.

因此 X=−YX=-Y。垂直力平衡給出

N+Y−W=0⟹N=W−Y.N+Y-W=0 \quad\Longrightarrow\quad N=W-Y.
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第 五、 題20 分

一總質量為 MM 且密度為均勻分布的梁，在 AA 及 BB 兩端分別由彈簧（彈簧係數為 kk）和繩子支撐著。考慮在 BB 點的繩子突然發生斷裂的瞬間，梁的角加速度（Angular acceleration）為何？

圖示中，梁長為 LL；彈簧連接點與 AA 點的水平距離為 3 m3\ \mathrm{m}、垂直距離為 4 m4\ \mathrm{m}；繩子上端與 BB 點的水平距離為 3 m3\ \mathrm{m}、垂直距離為 4 m4\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查繩子突然斷裂時，剛體的瞬時角加速度。先由斷裂前的靜力平衡求出彈簧力，再以斷裂瞬間的轉動方程求角加速度。

彈簧與繩子的幾何方向皆為 3 ⁣− ⁣4 ⁣− ⁣53\!-\!4\!-\!5，故其水平、垂直分力比例分別為 3/53/5、4/54/5。梁均勻分布，質心 GG 在梁中央，且

IG=112ML2I_G=\frac{1}{12}ML^2

解題方法

取向右為 xx 軸正向、逆時針為角加速度正向。令斷裂前彈簧力大小為 FsF_s，繩張力大小為 TT。彈簧在 AA 點對梁的力沿左上方，繩子在 BB 點對梁的力沿右上方。

斷裂前梁處於靜力平衡。以質心 GG 取矩，彈簧力與繩張力的垂直分力力臂相同：

L245T−L245Fs=0⟹T=Fs\frac{L}{2}\frac{4}{5}T-\frac{L}{2}\frac{4}{5}F_s=0 \quad\Longrightarrow\quad T=F_s

再由鉛直方向力平衡：

45Fs+45T−Mg=0\frac{4}{5}F_s+\frac{4}{5}T-Mg=0

因此

Fs=T=5Mg8F_s=T=\frac{5Mg}{8}
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