109 地方特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

動力螺桿可視為將螺旋斜面展開成斜面問題。令：

• $W$：軸向負載
• $d_m$：螺紋平均直徑
• $L$：導程
• $f$：螺紋摩擦係數
• $\lambda$：導程角，$\tan\lambda=\dfrac{L}{\pi d_m}$
• $\phi$：摩擦角，$\tan\phi=f$

螺桿下降負載時，若負載本身能反向驅動螺桿，稱為可回驅；若負載無法使螺桿自行旋轉，則稱為自鎖。

解題方法：自鎖條件

題目給出的下降扭矩為

$$T_{\downarrow} =\frac{W d_m}{2} \left(\frac{f\pi d_m-L}{\pi d_m+fL}\right)$$

將分子、分母同除以 $\pi d_m$，並代入 $\tan\lambda=L/(\pi d_m)$：

$$T_{\downarrow} =\frac{W d_m}{2} \left(\frac{f-\tan\lambda}{1+f\tan\lambda}\right)$$

由正切差角公式，

$$\frac{f-\tan\lambda}{1+f\tan\lambda} =\tan(\phi-\lambda)$$

因此

$$T_{\downarrow}=\frac{W d_m}{2}\tan(\phi-\lambda)$$

自鎖時，下降負載仍須施加正向扭矩才能使螺桿轉動，故 $T_{\downarrow}\geq 0$。因此：

$$\phi\geq\lambda$$

等價地，

$$f\geq\tan\lambda =\frac{L}{\pi d_m}$$

所以動力螺桿的自鎖條件為

$$\boxed{f\geq\frac{L}{\pi d_m}}$$

若 $f=\tan\lambda$，下降扭矩為零，屬於自鎖與回驅的臨界狀態；若 $f<\tan\lambda$，下降扭矩為負，負載會自行帶動螺桿下降，因而不自鎖。

解題方法：效率公式

上升負載所需扭矩為

$$T_{\uparrow} =\frac{W d_m}{2} \left(\frac{f\pi d_m+L}{\pi d_m-fL}\right)$$

同除以 $\pi d_m$，再用 $\tan\lambda=L/(\pi d_m)$：

核心觀念

本題考軸承的基本額定壽命與基本動額定負荷關係。滾柱軸承的壽命指數為 $p=\frac{10}{3}$，其基本額定壽命公式為：

$$L_{10}=\left(\frac{C}{P}\right)^p$$

其中 $L_{10}$ 以「百萬轉」為單位，$C$ 為基本動額定負荷，$P$ 為等效動負荷。題目只有徑向負荷，因此取 $P=10\ \mathrm{kN}$。

解題方法

先將運轉時間換算成百萬轉：

$$L_{10}=\frac{60nL_h}{10^6} =\frac{60(800)(3{,}500)}{10^6} =168\ \text{百萬轉}$$

代入滾柱軸承壽命公式，解出型錄所需的基本動額定負荷：

核心觀念

本題考單片摩擦盤式離合器在均勻磨耗理論下的扭矩與尺寸計算。均勻磨耗假設接觸壓力 $p$ 與半徑 $r$ 的乘積為常數：

$$pr=C$$

因此最大壓力出現在內半徑 $r_i$，且 $p_{\max}=C/r_i$。單片離合器有兩個摩擦面，扭矩公式中的摩擦面數取 $n=2$。

解題方法

已知傳遞扭矩 $T=100\ \mathrm{N\cdot m}$、摩擦係數 $\mu=0.25$、最大壓力 $p_{\max}=1.0\ \mathrm{MPa}$，且 $r_i=0.577r_o$。先用扭矩與最大壓力關係求外半徑，再求正向作用力。

均勻磨耗下，單一摩擦面的正向力為

$$W=2\pi C(r_o-r_i) =2\pi p_{\max}r_i(r_o-r_i)$$

單一摩擦面的平均摩擦半徑為

$$R_m=\frac{r_o+r_i}{2}$$

因此離合器總傳遞扭矩為

$$T=n\mu W R_m =2\mu W\frac{r_o+r_i}{2} =\mu W(r_o+r_i)$$

代入 $W=2\pi p_{\max}r_i(r_o-r_i)$，得

$$T=2\pi\mu p_{\max}r_i(r_o-r_i)(r_o+r_i) =2\pi\mu p_{\max}r_i(r_o^2-r_i^2)$$

令 $k=r_i/r_o=0.577$，則

$$T=2\pi\mu p_{\max}k(1-k^2)r_o^3$$

故

核心觀念

本題考查受扭軸在平均扭矩與變動扭矩共同作用下的疲勞設計，並以 Soderberg 準則求具有永久疲勞壽命所需的最小直徑。Soderberg 準則以降伏強度作為平均應力的限制，疲勞限則限制交變應力：

$$\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_{sy}}\leq \frac{1}{n}$$

其中，$\sigma_a$ 為交變應力、$\sigma_m$ 為平均應力，$S_e$ 為修正後疲勞限，$S_{sy}$ 為降伏強度，$n$ 為安全係數。

軸受扭矩時，外表面剪應力為 $\tau=16T/(\pi d^3)$。題目給的是剪切強度與剪切疲勞限，因此可直接以剪應力形式套用 Soderberg 準則。

解題方法

將扭矩分解為平均扭矩與交變扭矩：

$$T_m=1000\ \mathrm{N\cdot m},\qquad T_a=250\ \mathrm{N\cdot m}$$

疲勞應力集中因子作用於交變剪應力；平均剪應力依題目資料不另乘 $k_f$。因此：

$$\tau_m=\frac{16T_m}{\pi d^3}$$ $$\tau_a=k_f\frac{16T_a}{\pi d^3}$$

使用一致單位，將扭矩換成 $\mathrm{N\cdot mm}$，強度換成 $\mathrm{N/mm^2}$。套入 Soderberg 準則：

$$\frac{\tau_a}{S_e}+\frac{\tau_m}{S_{sy}}\leq\frac{1}{n}$$

代入題目數值：