107 地方特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

1. 流體之等加速度直線運動（剛體運動，Rigid-body Motion）： 當盛水容器以等加速度 $a$ 作水平直線運動時，流體內部質點間無相對位移，流體內部剪應力為零（$\tau = 0$），各質點的運動行為與剛體完全相同。
2. 尤拉運動方程式（Euler's Equation of Motion）： 在流體相對靜止之坐標系下，壓力梯度向量 $\nabla p$ 與所受之單位質量合外力（重力加速度與慣性力反向加速度之合成）平衡： $\nabla p = \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a})$ 建立直角坐標系，取水平向右為 $+x$ 軸、垂直向上為 $+z$ 軸，則分量式為： $\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho a_x = -\rho a$ $\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho (g + a_z) = -\rho g$
3. 等壓面與自由水面方程式： 自由水面為大氣壓力作用面，為一等壓面（$p = p_{\mathrm{atm}} = \text{常數}$，即 $\mathrm{d}p = 0$）。由全微分式： $\mathrm{d}p = \frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}z = -\rho a\,\mathrm{d}x - \rho g\,\mathrm{d}z = 0$ 可求得自由水面之斜率： $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = -\frac{a}{g}$
4. 液體體積守恆原理： 若加速過程中水未溢出容器，且容器底部未露出，液體總體積保持不變。在縱向斷面上，自由水面為一傾斜平面，且必通過原自由水面的幾何中心點（即繞水面中心軸旋轉）。

解題方法

(一) 求容器中自由水面之斜率

1. 設定坐標系統： 以容器左下底角為原點 $(x=0, z=0)$。

• 水平向右為 $+x$ 方向，已知水平加速度 $a_x = a = 5\ \mathrm{m/sec^2}$。
• 垂直向上為 $+z$ 方向，重力加速度向下，垂直加速度 $a_z = 0$。

2. 自由水面斜率計算： 在自由水面上，壓力為常數（$\mathrm{d}p = 0$）： $-\rho a\,\mathrm{d}x - \rho g\,\mathrm{d}z = 0 \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = -\frac{a}{g}$

• 取標準重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/sec^2}$： $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = -\frac{5}{9.8} = -\frac{25}{49} \approx -0.5102$ （若以斜率絕對值／水面傾角正切值 $\tan\theta$ 表示，則 $\tan\theta = \frac{a}{g} \approx 0.5102$，傾角 $\theta \approx 27.03^\circ$，水面呈「左高右低」傾斜。）
• （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/sec^2}$，則 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = -\frac{5}{9.81} \approx -0.5097$，$\tan\theta \approx 0.5097$。）

(二) 求水面之最高位置

1. 檢驗溢水與露底條件： 容器尺寸為：長度 $L = 60\ \mathrm{cm}$、寬度 $W = 50\ \mathrm{cm}$、高度 $H = 100\ \mathrm{cm}$；初始水深 $h_0 = 40\ \mathrm{cm}$。

核心觀念

本題屬於流體力學中「動量方程式應用於移動控制體積（Moving / Accelerating Control Volume）」與「可變質量流率衝力推導」之經典題型，核心評量重點包含：

1. 相對速度（Relative Velocity）與質量流率（Mass Flow Rate）：噴流自右向左噴出，長方體自左向右運動，兩者為迎面相向運動。流體相對於移動物體之相對速度為兩者速度之和，因而單位時間衝擊於物體垂直面之質量流率取決於相對速度，即 $\dot{m}_{rel} = \rho A v_{rel}$。
2. 動量守恆方程式（Linear Momentum Equation）：利用控制體積（Control Volume, CV）分析流體動量變化率。噴流撞擊長方體垂直平面後對稱向上下（或兩側）偏轉 $90^\circ$ 分流，其流出控制體積之相對水平速度為零，由此決定長方體施於流體之水平推力，再由牛頓第三運動定律（作用力與反作用力）求得流體施加於長方體之阻力。
3. 牛頓第二運動定律與微分方程求解：長方體受非線性阻力作用，其加速度隨速度 $U(t)$ 持續變化，需透過分離變數法（Separation of Variables）對一階非線性常微分方程式進行積分，求得物體完全停止（$U=0$）所需之時間。

解題方法

符號定義與座標設定

• 設水平向右為正 $x$ 方向（$\hat{i}$ 方向）。
• 長方體質量為 $M$，在無摩擦水平面上運動；在時間 $t$ 時的速度為 $U(t)$，初速為 $\vec{U}(0) = U_0 \hat{i}$（$U_0 > 0$）。
• 設噴流流體密度為 $\rho$、噴嘴噴射出之噴流截面積為 $A$（或記為 $A_j$）、相對於地面之噴流噴射速度為 $V_j$（$V_j > 0$），因其為反向噴流，速度向量為 $\vec{V}_j = -V_j \hat{i}$。
• 流體撞擊長方體表面後，沿垂直壁面均勻且對稱向四周（垂直方向）流散，並隨即脫離長方體，忽略薄流體層附著於長方體之微小質量（即 $m_{fluid} \ll M$）。
• （本題圖示為標準流力教科書之代數示意圖，未附特定數字，兩小題皆以代數符號推導定案。）

(一) 推導在 $t > 0$ 後，長方體加速度之代數表示式

1. 計算流體相對於長方體之相對速度 在時間 $t$ 時，長方體以速度 $\vec{U}(t) = U \hat{i}$ 向右移動，固定噴嘴噴出之流體速度為 $\vec{V}_j = -V_j \hat{i}$。 流體接近並撞擊長方體之相對速度向量 $\vec{V}_{rel}$ 為： $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_j - \vec{U} = -V_j \hat{i} - U \hat{i} = -(V_j + U) \hat{i}$ 其相對速率純量大小為： $v_{rel} = V_j + U$

2. 計算進入衝擊控制體積之質量流率 $\dot{m}$ 選取緊貼長方體衝擊表面且隨長方體以速度 $U(t)$ 移動之控制體積（CV）。流體相對於控制體積流入控制面的質量流率為： $\dot{m} = \rho A v_{rel} = \rho A (V_j + U)$

3. 計算流體動量變化與噴流對長方體之衝力 噴流撞擊長方體垂直面後，對稱沿平面方向偏折 $90^\circ$，因此流體離開控制體積時，相對於長方體之水平相對速度為零（$u_{rel, out} = 0$）；相對於地面之水平絕對速度即為長方體速度 $U$。

以地面慣性坐標系觀之，流入流體的初始水平速度為 $-V_j$，流出時水平速度被轉變為 $+U$。流體在水平方向之動量增加率（即長方體施予流體的水平作用力 $F_{x, \text{block on fluid}}$）為： $F_{x, \text{block on fluid}} = \dot{m} \left[ u_{out} - u_{in} \right] = \dot{m} \left[ U - (-V_j) \right] = \dot{m}(V_j + U)$ 將 $\dot{m} = \rho A (V_j + U)$ 代入： $F_{x, \text{block on fluid}} = \rho A (V_j + U)^2 \quad (\text{方向向右，}+\hat{i})$

依據牛頓第三運動定律，噴流施加於長方體之反作用力 $F_x$ 等值反向： $F_x = -F_{x, \text{block on fluid}} = -\rho A (V_j + U)^2 \quad (\text{方向向左，}-\hat{i})$

4. 建立運動方程式並求解加速度 長方體在無摩擦水平面上運動，水平方向僅受噴流衝力作用。由牛頓第二運動定律： $\Sigma F_x = M a = M \frac{dU}{dt}$

核心觀念

本題主要測驗管流（Pipe Flow）中流量量測儀器的基本原理與流體力學分析，涵蓋以下核心理論與觀念：

1. 伯努利方程式（Bernoulli's Equation）：描述理想流體沿流線流動時，壓力能、動能與重力位能的轉換守恆。
2. 連續方程式（Continuity Equation）：質量守恆原理在不可壓縮流體斷面上的流率守恆應用（$Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$）。
3. 差壓式流量計機制（Differential Pressure Flowmeters）：噴嘴利用截面積縮小使動能增加、靜壓下降產生壓差；皮托管利用駐點（Stagnation Point）將動能完全轉化為壓力能產生滯止壓與靜壓之差（動壓）。
4. 哈根-泊肅葉流動（Hagen-Poiseuille Flow）：圓管完全發展層流之速度分佈為拋物線分佈，斷面平均流速與中心最大流速具固定比例關係（$V_{\text{avg}} = \frac{1}{2} u_{\max}$）。

選項分析

本題為申論與計算推導題，非選擇題，故不適用選項逐項分析。以下依序針對四個小題進行標準申論推導與深入說明。

解題方法

(一) 應用理論與理論假設

1. 應用理論：

• 伯努利方程式（Bernoulli's Equation）：連結兩截面間之靜壓與流速關係。
• 連續方程式（Continuity Equation）：建立兩截面因面積變化產生之流速關聯。
• 實務工程上，輔以流出係數（Discharge Coefficient, $C_d$）​修正黏滯摩擦損失及非理想流動效應。

2. 理論假設：

• 穩態流動（Steady flow）：流場中各點之流體性質不隨時間改變（$\frac{\partial}{\partial t} = 0$）。
• 不可壓縮流（Incompressible flow）：流體密度為常數（$\rho = \text{常數}$，通常馬赫數 $\text{Ma} < 0.3$）。
• 無黏性流／沿流線無摩擦損失（Inviscid / Frictionless along a streamline）：忽視流體黏滯剪應力造成的機械能損耗。
• 沿同一流線（Along a streamline）：方程式建立在同一條流線的兩點之間。
• 無軸功與熱傳（No shaft work and adiabatic）：流經兩截面間無外加機械功（如泵、渦輪）亦無熱量進出。

(二) 噴嘴量測圓管體積流率之架構與執行方法

1. 架構圖：

 管徑 D 噴嘴喉部直徑 d
 ─────────────────┐ ┌─────────────────
 流向 → │ │ →
 ─────────────────┘ └─────────────────
 ● 測壓孔 1 ● 測壓孔 2
 │ │
 └───[ 差壓計 ΔP ]──┘

2. 執行步驟與推導：

• 量測步驟：

1. 在圓管直管段中夾裝標準噴嘴，於上游處取截面 1（管徑 $D$、面積 $A_1 = \frac{\pi D^2}{4}$），於噴嘴喉部取截面 2（喉徑 $d$、面積 $A_2 = \frac{\pi d^2}{4}$）。
2. 於兩截面管壁開設測壓孔，外接 U 型管壓差計或差壓傳感器，量測兩截面之靜壓差 $\Delta P = P_1 - P_2$。

• 理論計算： 由連續方程式： $V_1 A_1 = V_2 A_2 \implies V_1 = V_2 \left(\frac{A_2}{A_1}\right) = V_2 \left(\frac{d}{D}\right)^2 = V_2 \beta^2$ 其中直徑比 $\beta = \frac{d}{D}$。 取水平中心流線應用伯努利方程式（$z_1 = z_2$）： $\frac{P_1}{\rho} + \frac{V_1^2}{2} = \frac{P_2}{\rho} + \frac{V_2^2}{2}$ 代入 $V_1$ 解得喉部理論流速 $V_{2,\text{ideal}}$： $V_{2,\text{ideal}} = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho (1 - \beta^4)}}$
• 體積流率計算： 引入流出係數 $C_d$ 修正黏滯損耗，實際體積流率 $Q$ 為： $Q = C_d A_2 V_{2,\text{ideal}} = C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho\left[1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4\right]}}$

(三) 皮托管量測圓管體積流率之架構與執行方法

1. 架構圖：

 圓管管壁 ───────────────────────────
 ┌─┐
 │ │ 靜壓導引孔 (P)
 滯止孔 │ │ │
 流向 ●══════════╪═╪═════╪═══════> 至差壓計 (靜壓 P)
 ───> (P_0) │ └─────┘
 └──────────────> 至差壓計 (滯止壓 P_0)
 圓管管壁 ───────────────────────────

2. 執行步驟與推導：

• 單點局部速度原理： 皮托-靜壓管探針前端迎流開孔感受「滯止壓（Stagnation Pressure, $P_0$）」，此處流速降為零；側面小孔感受未受干擾的「靜壓（Static Pressure, $P$）」。依伯努利方程式： $P + \frac{1}{2}\rho u(r)^2 = P_0 \implies u(r) = \sqrt{\frac{2(P_0 - P)}{\rho}}$
• 體積流率執行方法（截面遍歷積分法）： 由於皮托管量測的是「單一點」之局部流速 $u(r)$，而管內流體速度分佈沿徑向不均勻，無法由單一點直接決定任意流況下的全斷面總流率。執行方法如下：

1. 將圓管斷面劃分為數個等面積的同心環（等環面積法，Equal-Area Method）。
2. 沿管徑方向移動皮托管探針，在不同徑向位置 $r_i$ 分別量測其動壓差 $\Delta P_i = (P_0 - P)_i$，計算各點局部流速 $u_i = \sqrt{\frac{2\Delta P_i}{\rho}}$。
3. 對斷面進行數值積分，計算全管體積流率：

核心觀念

本題考查黏性流體力學中經典的平行平板間完全發展層流（Plane Poiseuille Flow，平面泊肅葉流）​之控制方程式化簡與邊界條件設定。核心觀念包含：

1. 不可壓縮連續方程式（Continuity Equation）：$\nabla \cdot \vec{V} = 0$。利用速度分量限制條件說明完全發展流之流場特徵。
2. 動量方程式（Navier-Stokes Equations）：在穩態、常物性（$\rho, \mu = \text{const}$）、無重力影響下，將慣性項、壓力梯度項及黏滯力項展開。
3. 偏微分方程式退化為常微分方程式（Separation of Variables / Total Derivatives）：利用橫向壓力梯度為零（$p=p(x)$）及速度分量特性（$u=u(y)$），將偏微分式嚴密改寫為二階常微分方程式（ODE）。
4. 無滑移邊界條件（No-slip Boundary Condition）：黏性流體與固體邊界接觸時，相對速度為零。

解題方法

(一) 展開並簡化其連續方程式

三維直角座標系下，不可壓縮流體之連續方程式通式為： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

根據題目給定之假設條件：

1. $v = 0 \implies \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
2. $w = 0 \implies \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

將上述條件代入連續方程式，可簡化為： $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

此結果表明速度分量 $u$ 與流動方向座標 $x$ 無關，驗證了完全發展流中 $u$ 僅為橫向座標 $y$ 之函數（即 $u = u(y)$）。

(二) 展開並簡化其動量方程式

在直角座標系下，牛頓流體於常物性（$\rho$、$\mu$ 為常數）條件下之三維 Navier-Stokes 方程式展開如下：

$x$ 方向： $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$

$y$ 方向： $\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right)$

$z$ 方向： $\rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g_z + \mu \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \right)$

依據題目各項假設進行逐項消去：

1. 穩態（steady state）：所有時間項歸零，$\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
2. 忽略重力（neglect gravitational force）：$g_x = g_y = g_z = 0$。
3. 流速分量限制：$v = 0$、$w = 0$。
4. 平板寬度無限大與完全發展：對 $z$ 方向變化為零（$\frac{\partial}{\partial z} = 0$），且由連續方程式得 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$。

各方向方程式化簡過程如下：

• $x$ 方向： 左側慣性項：$0 + u(0) + 0 + 0 = 0$。 右側黏滯項與壓力項：$-\frac{\partial p}{\partial x} + 0 + \mu(0 + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 0) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$。 整理得： $\frac{\partial p}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

• $y$ 方向： 由於 $v = 0$ 且無外力，所有速度與加速度項皆為 $0$，僅存壓力梯度項： $\frac{\partial p}{\partial y} = 0$

• $z$ 方向： 同理，$w = 0$ 且無外力，僅存壓力梯度項： $\frac{\partial p}{\partial z} = 0$

(三) 結合連續和動量方程式，推導常微分方程式之詳細過程

1. 壓力全微分論證： 由 (二) 中之 $y$ 與 $z$ 方向動量方程式化簡結果：

核心觀念

本題的核心觀念為流體力學中的因次分析（Dimensional Analysis）​與柏金漢 $\pi$ 定理（Buckingham Pi theorem），特別應用於旋轉流體機械（葉輪機械 Turbomachinery，如壓縮機、泵、風扇）的性能特徵無因次化。

1. 基本因次系統（$MLT$ 系統）： 在力學問題中，通常以質量 $[M]$、長度 $[L]$、時間 $[T]$ 作為三個基本因次。
2. 柏金漢 $\pi$ 定理： 若一個物理現象涉及 $n$ 個物理參數，且這些參數涵蓋 $m$ 個基本因次，則該物理問題可簡化為由 $k = n - m$ 個獨立的無因次參數組合（稱為 $\pi$ 群）所描述的關係式。
3. 重複參數法（Repeating Variable Method）： 選取 $m$ 個涵蓋所有基本因次且彼此之間無法組合成無因次群的物理量作為重複參數，分別與其餘 $(n - m)$ 個非重複參數搭配，求解各無因次組合。

解題方法

步驟一：列出各物理參數之因次

選用質量 $[M]$、長度 $[L]$、時間 $[T]$ 為基本因次系統，題目給定之 6 個參數的因次式如下：

1. 體積流率 $Q$：$[Q] = [L^3 T^{-1}]$
2. 壓力 $p$：$[p] = \left[\dfrac{\text{力}}{\text{面積}}\right] = \left[\dfrac{M L T^{-2}}{L^2}\right] = [M L^{-1} T^{-2}]$
3. 功率 $P$：$[P] = \left[\dfrac{\text{功}}{\text{時間}}\right] = \left[\dfrac{M L^2 T^{-2}}{T}\right] = [M L^2 T^{-3}]$
4. 流體密度 $\rho$：$[\rho] = [M L^{-3}]$
5. 特徵長度 $D$：$[D] = [L]$
6. 轉速 $N$：$[N] = [T^{-1}]$（單位為 $\text{rad/s}$ 或 $\text{rev/s}$，因次為時間的倒數）

步驟二：確定無因次參數群（$\pi$ 項）數量

• 總參數個數：$n = 6$
• 基本因次個數：$m = 3$（包含 $M, L, T$）
• 獨立無因次群個數： $k = n - m = 6 - 3 = 3$ 因此共有 3 組無因次參數組合（$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$）。

步驟三：選取重複參數並檢驗獨立性

依題目要求，選取轉速 $N$、流體密度 $\rho$、特徵長度 $D$ 作為 3 個重複參數：

• 因次矩陣分析：
• $\rho$ 包含質量 $[M]$
• $D$ 包含長度 $[L]$
• $N$ 包含時間 $[T]$
• 三者組合無法自行形成無因次群，能完整涵蓋 $M, L, T$，符合重複參數選取條件。
• 非重複參數分別為：$Q, p, P$。

步驟四：逐一推導 3 組無因次參數組合

1. 第一組無因次參數 $\Pi_1$（結合體積流率 $Q$）

設： $\Pi_1 = D^a N^b \rho^c Q$

代入各參數之因次： $[M^0 L^0 T^0] = [L]^a [T^{-1}]^b [M L^{-3}]^c [L^3 T^{-1}] = M^c L^{a - 3c + 3} T^{-b - 1}$

比對各基本因次的指數：

• $[M]$：$c = 0$
• $[T]$：$-b - 1 = 0 \implies b = -1$
• $[L]$：$a - 3c + 3 = 0 \implies a - 3(0) + 3 = 0 \implies a = -3$

代回得： $\Pi_1 = D^{-3} N^{-1} \rho^0 Q = \frac{Q}{N D^3}$ （此即流體機械之流量係數 $C_Q$）

2. 第二組無因次參數 $\Pi_2$（結合壓力 $p$）

設： $\Pi_2 = D^a N^b \rho^c p$

代入各參數之因次：