113 地方特考三等 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

矩形渠道採均勻水深分布，單位寬度流量為 $q=Vy$，其中 $V$ 是斷面平均流速、$y$ 是水深。忽略損失時，可在閘門上下游兩斷面間套用能量方程；渠道寬度固定，亦可用單位寬度的動量方程求流量。

解題方法

設渠道單位寬度流量為 $q$，上、下游水深分別為 $y_1=2\ \mathrm{m}$、$y_2=0.8\ \mathrm{m}$，則各斷面平均流速為

閘門上下游的水壓合力（每單位渠道寬度）分別為 $\frac12\rho g y_1^2$ 與 $\frac12\rho g y_2^2$。忽略閘門對水流的水平作用力以外的損失，對兩斷面間水體套用水平方向動量方程：

約去 $\rho$ 並整理：

代入數值：

核心觀念

本題考模型與原型間的弗勞德相似律（Froude similarity）。船舶波阻主要受重力與慣性力的相對作用支配，因此模型試驗與原型船須保持弗勞德數相同：

其中 $V$ 為船速、$g$ 為重力加速度、$L$ 為船長。題目給模型比尺為 $1:50$，表示原型與模型的長度比為 $L_p/L_m=50$。

解題方法

令下標 $m$ 代表模型、$p$ 代表原型。由弗勞德相似條件：

因模型與原型處於相同重力場，$g$ 相消，因此：

已知 $V_m=1\ \mathrm{m/s}$，故原型船速度為：

核心觀念

本題考自由射流在重力作用下的拋體運動。忽略摩擦損失時，射流的水平速度保持不變，垂直方向則具有重力加速度 $g$。因此，射流軌跡可由水平與垂直方向的運動方程求得。

解題方法

以噴出點為原點，水平向右為 $x$ 軸正向、垂直向上為 $z$ 軸正向。初速度分量為

水平及垂直位置分別為

射流抵達牆面所在的水平位置 $x=18\ \mathrm{m}$ 時，

要恰好越過高 $3\ \mathrm{m}$ 的牆，最小初速度對應射流在牆面位置剛好達到牆頂，即令 $z=3\ \mathrm{m}$。代入時間式：

整理得

核心觀念

本題考查定常流控制體的動量方程式，並配合：

1. 連續方程式：求入口流速 $V_1$。
2. 伯努力方程式：求入口壓力 $p_1$。
3. 線動量方程式：求水流對雙頭噴嘴的作用力。

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。由圖可知：

• 入口直徑：$D_1=15\ \text{cm}$
• 上方出口直徑：$D_2=10\ \text{cm}$，方向為 $+15^\circ$
• 下方出口直徑：$D_3=7.5\ \text{cm}$，方向為 $-30^\circ$
• $V_2=V_3=12\ \text{m/s}$

出口皆為自由噴流，因此出口壓力為大氣壓力。

解題方法

1. 求入口流速

各截面積為

由連續方程式：

因此

2. 求入口壓力

水管與噴嘴軸線在同一水平面，且忽略損失。以入口截面與出口截面套用伯努力方程式，出口為大氣壓：

以表壓計算，$p_2=0$，故

取水的密度 $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$：

入口壓力作用力為

方向為 $+x$。

3. 套用線動量方程式

對噴嘴內的水流取控制體，定常線動量方程式為

各出口流量為

水流所受外力包括：

• 入口壓力力 $p_1A_1$
• 噴嘴對水的作用力 $\vec R$

因此，$x$ 方向：

核心觀念

本題考查圓管的能量坡度、摩擦因子與平均流速之間的關係。依 Darcy–Weisbach 公式，圓管內沿程水頭損失可寫成

其中 $f$ 為 Darcy 摩擦因子、$D$ 為管徑、$V$ 為管內平均流速、$g$ 為重力加速度。能量坡度為 $S=h_f/L$，因此

題目未另行說明摩擦因子的定義，以下依水力學常用的 Darcy 摩擦因子計算。

解題方法

已知管徑 $D=50\ \mathrm{cm}=0.50\ \mathrm{m}$、能量坡度 $S=0.006$、摩擦因子 $f=0.0135$。由能量坡度公式解出平均流速：