113 年地方特考三等水利工程考古題與詳解

Question 1

何謂最佳水力斷面？推求矩形渠道的最佳水力斷面。

Accepted Answer

核心觀念 最佳水力斷面是指在渠道材料、底床坡度及水流條件相同時，輸水能力相同而濕周最小的斷面；等價地說，在斷面積與坡度相同時，濕周最小者具有最大的水力半徑，因而輸水能力最大。 曼寧公式為 $$ Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2},\qquad R=\frac{A}{P} $$ 其中 $A$ 為通水斷面積、$P$ 為濕周、$R$ 為水力半徑、$n$ 為曼寧糙度係數、$S$ 為能量坡度。固定 $A、n、S$ 時，減小 $P$ 可增加 $R$，進而提高 $Q$。 矩形渠道最佳斷面的推導 設矩形渠道底寬為 $b$、水深為 $y$。其通水斷面積與濕周分別為 $$ A=by,\qquad P=b+2y $$ 在固定斷面積 $A$ 下，令 $b=A/y$，則濕周可寫成 $$ P=\frac{A}{y}+2y $$ 要使濕周最小，對 $y$ 微分並令其為零： $$ \frac{dP}{dy}=-\frac{A}{y^2}+2=0 $$ 因此

Question 2

矩形水槽中置一銳緣堰，水深及堰高如圖所示。單位寬度流量為 $1.80\mathrm{m^3/s/m}$ 的潛沒流通過其中，計算銳緣堰所產生的能量損失及作用在銳緣堰上的力。上下兩斷面的比力（specific force）為何？

（原卷圖示未隨文字層擷取，請參考原卷。）

Accepted Answer

核心觀念 本題以銳緣堰前、後兩個斷面作控制體積，分別應用： 1. 能量方程式：求銳緣堰造成的能量損失。 2. 動量方程式：求水流作用在銳緣堰上的水平力。 3. 比力（specific force）定義： 矩形渠道單位寬度之比力為 $$ M=\frac{y^2}{2}+\frac{q^2}{gy} $$ 其中： - $y$：水深 - $q$：單位寬度流量 - $g$：重力加速度 由圖可讀得： - 上游水深：$y1=1.80\ \mathrm{m}$ - 下游水深：$y2=1.30\ \mathrm{m}$ - 銳緣堰高：$0.80\ \mathrm{m}$ - 單位寬度流量：$q=1.80\ \mathrm{m^3/s/m}$ - 渠底水平，故兩斷面渠底高程相同 - 取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 堰高主要用於判斷水流確實受堰體影響；能量損失與動量力則由堰前、堰後兩斷面的水深及流量計算。 --- 一、上下游流速 矩形渠道單位寬度下，流速為 $$ V=\frac{q}{y} $$ 上游流速： $$ V1=\frac{1.80}{1.80}=1.00\ \mathrm{m/s} $$ 下游流速： $$ V2=\frac{1.80}{1.30} =1.3846\ \mathrm{m/s} $$ --- 二、銳緣堰造成的能量損失 渠底水平，且忽略斷面間的水頭損失以外之局部因素，能量方程式為 $$ E1=E2+EL $$ 矩形渠道之比能為 $$ E=y+\frac{V^2}{2g} =y+\frac{q^2}{2gy^2} $$ 上游比能 $$ E1 =1.80+\frac{(1.00)^2}{2(9.81)} $$ $$ E1=1.85097\ \mathrm{m} $$ 下游比能 $$ E2 =1.30+\frac{(1.3846)^2}{2(9.81)} $$ $$ E2=1.39771\ \mathrm{m} $$ 因此能量損失為 $$ EL=E1-E2 $$ $$ EL=1.85097-1.39771 =0.45326\ \mathrm{m} $$ 所以銳緣堰造成的能量損失為 $$ \boxed{EL\approx 0.453\ \mathrm{m}} $$ 若以單位重量水流表示，能量損失水頭為 $0.453\ \mathrm{m}$。 --- 三、作用在銳緣堰上的力 對堰前、堰後水流施用水平方向動量方程式。對水平底矩形渠道，作用在堰上的力可由上下游比力差求得： $$ F=\gamma(M1-M2) $$ 其中 $\gamma=\rho g$ 為水之單位重量。 上游比力 $$ M1=\frac{y1^2}{2}+\frac{q^2}{gy1} $$

Question 3

水平矩形渠道發生一水躍，其持續水深（sequent depths）分別為 $0.72\mathrm{m}$ 及 $4.2\mathrm{m}$ 。

（一）求單位寬度流量 $q$ 、能量損失 $E_L$ 及入流處之福祿數（Froude number, $Fr_1$ ）。

（二）在比能（specific energy）圖上標示持續水深（sequent depths）、交替水深（alternate depths）以及能量損失 $E_L$ 。

Accepted Answer

核心觀念 矩形渠道水躍前後的持續水深（共軛水深）由動量函數相等決定。以單位寬度流量 $q$ 表示，矩形渠道的比力為 $$ M=\frac{y^2}{2}+\frac{q^2}{g y}. $$ 水躍前後忽略底床與邊界摩擦的短距離影響，故 $M1=M2$。已知兩持續水深 $y1=0.72\ \mathrm{m}$、$y2=4.2\ \mathrm{m}$，可由此求 $q$。能量損失則由水躍前後比能差求得；入流福祿數由 $Fr1=q/(\sqrt{g}\,y1^{3/2})$ 計算。 解題方法 由比力相等： $$ \frac{y1^2}{2}+\frac{q^2}{g y1} = \frac{y2^2}{2}+\frac{q^2}{g y2}. $$ 整理得 $$ q^2 = \frac{g}{2}y1y2(y1+y2). $$ 代入 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$： $$ q = \sqrt{\frac{9.81}{2}(0.72)(4.2)(0.72+4.2)} \approx 8.54\ \mathrm{m^2/s}. $$ 矩形渠道水躍的能量損失公式為 $$ EL=E1-E2 =\frac{(y2-y1)^3}{4y1y2}. $$ 因此 $$ EL = \frac{(4.2-0.72)^3}{4(0.72)(4.2)} \approx 4.46\ \mathrm{m}. $$ 入流平均流速為 $V1=q/y1$，故 $$ Fr1 = \frac{V1}{\sqrt{g y1}} = \frac{q}{\sqrt{g}\,y1^{3/2}} \approx 4.51. $$ 比能圖標示 矩形渠道比能曲線為 $$ E(y)=y+\frac{q^2}{2gy^2}. $$ 對本題流量，臨界水深與最小比能為

Question 4

請證明渠道陡坡與緩坡的坡度劃分依據為 $$Sc=\frac{n^2g^{10/9}}{q^{2/9}}$$ 式中，$q$ 為單位寬度流量，$g$ 為重力加速度。 一寬 $3\mathrm{m}$ 之矩形渠道，底床坡度為 $150\mathrm{mm/km}$，曼寧 $n$ 值為 $0.02$，流量為 $0.85\mathrm{m^3/s}$，請計算水深為 $0.75\mathrm{m}$ 時之水面坡度（相對於水平面）。

Accepted Answer

核心觀念 陡坡與緩坡的判別，是比較渠道底床坡度 $S0$ 與臨界坡度 $Sc$。臨界坡度是使正常水深恰等於臨界水深的底床坡度： - $S0Sc$：陡坡，正常水深小於臨界水深。 - $S0<Sc$：緩坡，正常水深大於臨界水深。 - $S0=Sc$：臨界坡。 題目給出的 $Sc$ 公式採用矩形寬渠近似，使水力半徑 $R$ 以水深 $y$ 近似。 解題方法與推導 矩形渠道的單位寬度流量為 $q=Q/b$。臨界流條件為 $Fr=1$，因此 $$ \frac{q^2}{g yc^3}=1 \quad\Longrightarrow\quad yc=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}. $$ 曼寧公式的摩擦坡度為 $$ Sf=\frac{n^2V^2}{R^{4/3}}. $$ 在寬矩形渠道中，$R\approx y$，且 $V=q/y$，故 $$ Sf\approx\frac{n^2q^2}{y^{10/3}}. $$ 臨界坡度定義為水深取臨界水深時的摩擦坡度，因此 $$ Sc=\frac{n^2q^2}{yc^{10/3}} =\frac{n^2q^2}{\left(q^2/g\right)^{10/9}} =\boxed{\frac{n^2g^{10/9}}{q^{2/9}}}. $$ 計算水面坡度 流量與單位寬度流量分別為 $$ Q=0.85\ \mathrm{m^3/s},\qquad q=\frac{Q}{b}=\frac{0.85}{3}=0.2833\ \mathrm{m^2/s}. $$ 底床坡度換算為 $$ S0=150\ \mathrm{mm/km} =\frac{0.150}{1000} =0.000150. $$ 在水深 $y=0.75\ \mathrm{m}$ 時，矩形渠道的流通面積、水力半徑與平均流速為 $$ A=by=3(0.75)=2.25\ \mathrm{m^2}, $$

113 地方特考三等水利工程渠道水力學考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

矩形渠道最佳斷面的推導

第二題25 分

核心觀念

一、上下游流速

二、銳緣堰造成的能量損失

上游比能

下游比能

三、作用在銳緣堰上的力

上游比力

第三題25 分

第四題25 分

其他考古題

113 年水利工程的其他科目

水利工程《渠道水力學》其他年度

113 地方特考三等 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

矩形渠道最佳斷面的推導

第 二 題25 分

核心觀念

一、上下游流速

二、銳緣堰造成的能量損失

上游比能

下游比能

三、作用在銳緣堰上的力

上游比力

第 三 題25 分

第 四 題25 分

其他考古題

113 年水利工程的其他科目

水利工程《渠道水力學》其他年度

113 地方特考三等水利工程渠道水力學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分