111 地方特考三等 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量開渠水力學中最基本且高頻出現的均勻流與臨界流綜合理論，涵蓋六大核心概念與公式：

1. 臨界水深（Critical Depth, $y_c$）： 比能達極小值時之水深，對應福祿數 $Fr = 1$。對矩形斷面渠道，單位寬度流量 $q = Q/B$，其臨界水深公式為： $y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}}$

2. 正常水深（Normal Depth, $y_0$）與均勻流（Uniform Flow）： 均勻流中重力分力與阻力達到平衡，水深沿程不變，渠床坡降 $S_0$ 等於能量坡降 $S_f$。以 SI 制曼寧公式（Manning's Formula）表示： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$

3. 均勻流平均流速（Mean Velocity, $U$）： 由連續方程式定義： $U = \frac{Q}{A}$

4. 水力深度（Hydraulic Depth, $D$）： 通水斷面積與水面頂寬之比值，反映水流的幾何特徵深度： $D = \frac{A}{T}$

5. 水力半徑（Hydraulic Radius, $R$）： 通水斷面積與濕周之比值，反映斷面之水力輸送效率： $R = \frac{A}{P}$

6. 平均渠床剪應力（Boundary Shear Stress / Tractive Force, $\tau_0$）： 依均勻流控制體積動量平衡推導，重力沿流向分力由周界剪應力平衡： $\tau_0 = \gamma R S_0$ （其中 $\gamma = \rho g \approx 9810\ \mathrm{N/m^3}$ 為水之單位重）

解題方法

1. 求臨界水深 $y_c$

矩形斷面底寬 $B = 1.0\ \mathrm{m}$，流量 $Q = 1.0\ \mathrm{m^3/s}$。

• 單位寬度流量： $q = \frac{Q}{B} = \frac{1.0}{1.0} = 1.0\ \mathrm{m^2/s}$
• 臨界水深計算（取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$）： $y_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3} = \left( \frac{1.0^2}{9.81} \right)^{1/3} \approx 0.467\ \mathrm{m}$

2. 求正常水深 $y_0$

渠道為矩形，水深為 $y_0$ 時：

• 通水斷面積：$A = B y_0 = 1.0 \times y_0 = y_0$
• 濕周：$P = B + 2y_0 = 1.0 + 2y_0$
• 水力半徑：$R = \frac{A}{P} = \frac{y_0}{1.0 + 2y_0}$

代入曼寧公式： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$ $1.0 = \frac{1}{0.014} \cdot y_0 \cdot \left( \frac{y_0}{1.0 + 2y_0} \right)^{2/3} \cdot (0.0004)^{1/2}$

已知 $\sqrt{0.0004} = 0.02$，移項整理幾何斷面特性值 $A R^{2/3}$： $\frac{y_0^{5/3}}{(1.0 + 2y_0)^{2/3}} = \frac{1.0 \times 0.014}{0.02} = 0.700$

此為隱函數非線性方程式，採用試誤法（或工程計算機求解）：

• 當 $y_0 = 1.30\ \mathrm{m}$ 時：$A R^{2/3} = 1.30 \times \left(\frac{1.30}{3.60}\right)^{2/3} \approx 0.659 < 0.700$
• 當 $y_0 = 1.37\ \mathrm{m}$ 時：$A R^{2/3} = 1.37 \times \left(\frac{1.37}{3.74}\right)^{2/3} \approx 0.701 > 0.700$
• 經線性內插或計算機數值迭代得： $y_0 \approx 1.368\ \mathrm{m} \quad (\text{四捨五入至小數後二位為 } 1.37\ \mathrm{m})$

3. 求均勻流平均流速 $U$

利用連續方程式： $U = \frac{Q}{A} = \frac{1.0}{B y_0} = \frac{1.0}{1.0 \times 1.368} \approx 0.731\ \mathrm{m/s}$

核心觀念

本題旨在考查開渠均勻流中的**最佳水力斷面（Best Hydraulic Section）設計與曼寧公式（Manning's Equation）**的聯立應用。

1. 最佳水力斷面定義： 在給定渠道縱坡 $S_0$、粗糙係數 $n$ 及通水斷面積 $A$ 的條件下，使濕周 $P$ 達到最小（亦即水力半徑 $R = A/P$ 達到最大），從而使輸水能力 $Q$ 達到最大的斷面幾何形狀。
2. 對稱梯形斷面幾何關係： 設渠底寬為 $B$、水深為 $y$、邊坡坡度為垂直比水平 $1:z$（即水平投影為 $z y$）。

• 通水斷面積：$A = (B + z y) y$
• 濕周：$P = B + 2 y \sqrt{1 + z^2}$

3. 最佳水力梯形斷面之特性： 對固定邊坡係數 $z$，欲使給定面積 $A$ 下的濕周 $P$ 最小，滿足： $B = 2 y (\sqrt{1 + z^2} - z)$ $R = \frac{A}{P} = \frac{y}{2}$ 此幾何條件對應於半徑為 $y$ 的半圓內切於梯形渠底與兩側邊坡。
4. 曼寧均勻流公式： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$

解題方法

步驟一：確定斷面幾何特性與邊坡係數 $z$

依題意，渠岸邊坡與水平面夾角為 $45^\circ$： $z = \cot 45^\circ = 1$

將 $z = 1$ 代入最佳水力梯形斷面條件： $B = 2 y_0 (\sqrt{1 + 1^2} - 1) = 2 (\sqrt{2} - 1) y_0 \approx 0.8284 y_0$

步驟二：表示斷面積 $A$ 與水力半徑 $R$

斷面積以正常水深 $y_0$ 表示： $A = (B + z y_0) y_0 = [2(\sqrt{2} - 1)y_0 + y_0] y_0 = (2\sqrt{2} - 1) y_0^2$ 數值係數為： $2\sqrt{2} - 1 \approx 2(1.4142) - 1 = 1.8284$ $A = 1.8284 y_0^2$

水力半徑依最佳水力斷面特性： $R = \frac{y_0}{2}$

步驟三：代入曼寧公式求解正常水深 $y_0$

曼寧公式為： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$

已知條件：

• $Q = 6.0\ \mathrm{m^3/s}$
• $n = 0.015$
• $S_0 = 0.0004 \implies S_0^{1/2} = \sqrt{0.0004} = 0.02$

將 $A$ 與 $R$ 代入： $6.0 = \frac{1}{0.015} \cdot \left[ (2\sqrt{2} - 1) y_0^2 \right] \cdot \left( \frac{y_0}{2} \right)^{2/3} \cdot 0.02$

核心觀念

水躍是急流轉為緩流的急變流。水躍前後的能量會耗散，因此不適合直接套用比能相等；計算共軛水深時，應使用水躍前後近似守恆的動量函數（單位寬度比力）。

矩形渠道的單位寬流量與相關公式為：

其中 $Fr$ 為福祿數，$E$ 為比能，$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

解題方法與計算

已知 $B=1.0\ \mathrm{m}$、$Q=3.0\ \mathrm{m^3/s}$、$y_1=0.25\ \mathrm{m}$，故：

1. 水躍前的福祿數與比能

水躍前流速為：

因此：

2. 共軛水深關係式

水平矩形渠道水躍前後的單位寬度動量函數相等：

將此式整理，可得矩形渠道水躍的共軛水深關係：

3. 水躍後的水深與福祿數

代入 $y_1=0.25\ \mathrm{m}$、$Fr_1=7.663$：

核心觀念

本題以能量方程求流量，再以水平動量方程求水流作用在閘門上的推力。閘門下游水面線則先由臨界水深與弗勞德數判斷流況，再以共軛水深分析水躍的位置。

假設兩斷面壓力分布為靜水壓、速度分布均勻，且渠道底床水平。能量損失為

解題方法

令流量為 $Q$，則兩斷面的平均流速為

兩斷面底床等高，能量方程為

代入 $B=2\ \mathrm{m}$、$y_1=2.5\ \mathrm{m}$、$y_2=0.25\ \mathrm{m}$，整理得

因此

閘門水平推力

兩斷面的靜水壓力合力為

取下游方向為正，水流作用在閘門上的推力為

其中