110 地方特考三等 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查「側向入流造成之空間變量流」以及非均勻流水面線的推導。

側向入流段內，流量不再保持定值，而是隨流向距離 $x$ 增加。設：

• $x$：沿渠道流向之距離；
• $Q(x)$：渠道在 $x$ 處之總流量；
• $q_\ell$：單位渠道長度之側向入流量，且為定值；
• $A$：渠道過水斷面積；
• $T$：水面寬；
• $y$：水深；
• $S_0$：渠道底床坡降；
• $S_f$：摩阻坡降；
• $Fr$：弗勞得數。

以命題當年（民國 110 年）水理學通常採用之假設，側向入流水流對主流之縱向能量輸入另予忽略，且能量係數 $\alpha$ 視為常數。

解題方法

採用「連續方程式加能量方程式」推導。原因是題目要求水深 $y$ 隨流向距離 $x$ 的變化關係，而非僅求某一斷面之流量或平均流速。

一、連續方程式

側向入流量為定值，因此：

積分得：

其中 $Q_0$ 為側向入流段起點之流量。

二、能量方程式

單位重量水流之比能為：

又因為：

故：

沿流向微分，並利用 $A=A(y)$、$\dfrac{dA}{dy}=T$，可得：

定義弗勞得數：

因此：

另一方面，渠道底床下降所提供之能量坡降為 $S_0$，摩阻所消耗之能量坡降為 $S_f$，所以：

代入 $\dfrac{dQ}{dx}=q_\ell$，得到側向入流段之基本微分方程式：

通常取 $\alpha=1$，則：

這就是側向入流所造成之空間變量流水面線方程式。

水深隨距離之函數關係

由於：

所以水深函數 $y(x)$ 應滿足：

初始條件為側向入流段起點之水深：

題目說明入流前為均勻流，因此：

並且均勻流條件為：

故完整的水面線問題為：

一般渠道斷面下，因 $A$、$R$ 與 $Fr$ 均為 $y$ 的函數，水深線通常以此一階常微分方程式數值積分求得，而非寫成單純的顯式初等函數。

以曼寧公式表示摩阻坡降

若渠道採用曼寧公式，則：

因此：

核心觀念

本題考查矩形渠道之：

1. 曼寧公式與正常流量計算。
2. 臨界水深與弗勞德數。
3. 緩變流基本微分方程。
4. 自由跌水所形成之降水曲線。

已知正常水深 $y_n=3\ \mathrm{m}$，欲求上游水深為 $2.85\ \mathrm{m}$之斷面，距離下游自由跌水端的距離。

因為

且目標水深 $2.85\ \mathrm{m}<y_n$，故此為緩坡渠道之 $M_2$ 型降水曲線。

解題方法

依渠道水力學一維漸變流之命題慣例，自由跌水端以臨界斷面作為控制斷面，故由 $y=y_c$ 積分至 $y=2.85\ \mathrm{m}$。

一、由正常水深求單位流量

矩形渠道：

正常水深時：

曼寧公式為：

以單位流量 $q=Q/b$表示：

代入：

二、求臨界水深

矩形渠道的臨界水深為：

代入 $q=9.56\ \mathrm{m^2/s}$：

因此：

渠道屬於緩坡渠道，且 $2.85<y_n$，確定為 $M_2$ 型曲線。

三、建立漸變流積分式

漸變流基本方程為：

核心觀念

本題考查閘門瞬間拉起後，利用一維動量方程求矩形渠道的單寬流量。

以閘門前、後兩斷面為控制體，假設：

• 渠底高程相同；
• 閘門已瞬間拉起，控制體內無閘門作用力；
• 瞬間歷時很短，忽略渠道摩擦力；
• 上游水深仍取 $4\ \mathrm{m}$，下游水深取題目所給的 $1.5\ \mathrm{m}$；
• 渠道寬度取單位寬度，因此流量為單寬流量 $q$。

矩形渠道單位寬度之水力壓力及動量通量分別為

及

解題方法

設上游斷面水深為

下游斷面水深為

單寬流量為 $q$，則兩斷面平均流速為

沿水流方向套用動量方程：

代入 $V=q/y$：

約去 $\rho$，整理得

利用

及

核心觀念

本題考查開放渠道水流的「比力」及其與「臨界水深」的關係。

在定常、棱柱形渠道，並採用水流為靜水壓分布、動量修正係數取 $\beta=1$ 的條件下：

• 比力（specific force）為單位重力下的動量函數。
• 臨界水深為在固定流量下，使比能（specific energy）達到最小的水深。
• 對任意渠道斷面，兩者對水深的微分具有相同的零點，因此比力最小水深即為臨界水深。

（一）比力的定義及物理意義

1. 比力的定義

考慮渠道中一個斷面，流量為 $Q$，過水斷面積為 $A$，平均流速為

若渠底至水面的垂直水深為 $y$，過水斷面形心至水面的深度為 $\bar y$，則斷面上的靜水壓合力為

其中 $\gamma$ 為水之單位重。

單位時間通過斷面的動量通量為

以水之單位重 $\gamma=\rho g$ 除之，得比力：

因此

若考慮動量修正係數 $\beta$，則一般式為

本題採用渠道水力學常見之 $\beta=1$ 形式。

2. 物理意義

比力代表渠道斷面上：

1. 靜水壓力合力所形成的壓力項；
2. 水流動量通量所形成的動量項；

兩者除以水之單位重後的總和，即為單位重下的總動量效應。

因此，比力可視為「單位重量水體對渠道斷面所表現的總動量作用程度」。在同一流量下，水深改變會同時影響：

• 過水斷面積 $A$；
• 流速 $V=Q/A$；
• 靜水壓力合力 $P$；
• 動量通量 $Q^2/(gA)$。

其中水深較小時，斷面積小、流速大，動量項較大；水深較大時，靜水壓力項增加。兩種作用達到平衡時，比力最小。

在忽略摩擦力及其他外力衝量時，渠道兩斷面間可利用比力守恆分析水躍、閘門及渠道斷面轉換等問題。

（二）證明比力最小時之水深即為臨界水深

1. 解題方法

固定流量 $Q$，以水深 $y$ 作為變數，分別寫出：

• 任意非矩形渠道的比力 $F$；
• 任意非矩形渠道的比能 $E$。

證明兩者對水深的微分只差一個正值因子 $A$，故兩者具有相同的極值水深。由於臨界水深定義為比能最小時的水深，因此比力最小時的水深即為臨界水深。

2. 任意非矩形渠道的幾何關係

令渠道水深為 $y$，水面寬度為 $T$，過水斷面積為 $A$。

當水深增加 $dy$ 時，新增之水平薄層面積為 $T\,dy$，故

其中

又令過水斷面形心至水面的深度為 $\bar y$，則

為過水斷面對水面的第一矩。

以渠底為基準，將斷面分割成水平薄層，可表示為

對水深 $y$ 微分：

所以有重要關係：

3. 對比力微分

比力為

在固定流量 $Q$ 下，對 $y$ 微分：

代入

得

因此

核心觀念

本題考查「緩坡、陡坡渠道之漸變水流水面線」，以及水庫、閘門、坡度變化與自由跌水所形成的控制條件。

以命題當年（民國 110 年）的渠道水力學定義為準：

• 緩坡：$y_n>y_c$
• 陡坡：$y_n<y_c$
• $y_n$：正常水深
• $y_c$：臨界水深
• $Fr$：佛汝德數

漸變流基本方程為

其中 $S_0$ 為渠道坡度，$S_f$ 為摩阻坡度。水面線名稱依水深與 $y_n、y_c$ 的相對大小判定：

解題方法

判斷順序應由各控制斷面及流況方向切入：

1. 先判斷各渠段為緩坡或陡坡。
2. 由水庫判斷上游通常為亞臨界流。
3. 由閘門判斷閘門下游為超臨界流。
4. 由自由跌水判斷下游末端形成臨界控制。
5. 依各渠段中水深與正常水深、臨界水深的關係標示水面線。

一、水庫至第一段緩坡渠道

水庫水位通常提供亞臨界流，故第一段緩坡渠道的水深必須大於臨界水深，即

又因緩坡渠道具有

因此上游緩坡可能出現兩種水面線：

$M_1$ 水面線

若水庫水位或上游控制水深使

則形成 $M_1$ 曲線。水深大於正常水深，屬回水曲線。

$M_2$ 水面線

若

則形成 $M_2$ 曲線。水深小於正常水深但仍為亞臨界流，屬降水曲線。

由於題目沒有給定水庫水位、渠道流量及閘門開度，因此第一段緩坡不能唯一指定為 $M_1$ 或 $M_2$。

二、緩坡轉陡坡渠段

由第一段緩坡進入陡坡時，渠道底床坡度改變，但在無特殊局部損失的理想分析下，水面深度大致保持連續。

陡坡渠道滿足

若上游仍為亞臨界流，則

故該陡坡渠段形成 $S_1$ 水面線。

因此，水庫側的亞臨界水流，其典型水面線組合為

在緩坡轉陡坡處，水面線可因坡度突變而改變曲線類型，但水深不會任意跳變。

三、陡坡轉下游緩坡渠段

陡坡渠段進入下游緩坡渠段時，若流況仍為亞臨界流，水深仍大於臨界水深。

下游緩坡的正常水深大於臨界水深，因此依水深相對於 $y_n$ 的大小，可能形成：

• $M_1$：$y>y_n>y_c$
• $M_2$：$y_n>y>y_c$

所以陡坡至下游緩坡的亞臨界水面線可表示為

實際為 $M_1$ 或 $M_2$，取決於水庫水位、流量及閘門上游水深。