109 年地方特考三等水利工程考古題與詳解

Question 1

在某一平直之寬淺河段規劃興建一座跨河橋樑，河寬為 $50.0\,\mathrm{m}$ ，計畫流量為 $200\,\mathrm{m^3/s}$ ，水深為 $4.0\,\mathrm{m}$ ，水流為亞臨界流。為減少橋樑的長度，橋樑擬興建橫向護岸以局部束縮河段寬度。

試問此計畫流量下，若橋樑之興建不影響河川上游水位變化時，其最小的河寬為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查寬淺矩形河道束縮時的臨界水深與能量控制。河段原為亞臨界流，橋址束縮後若仍能維持亞臨界流，束縮處所需水深會下降、流速會上升；束縮寬度縮小至臨界狀態時，束縮處水深恰為臨界水深。再進一步縮窄便無法在不抬高上游水位的條件下通過計畫流量，因此臨界狀態對應的寬度就是最小河寬。 解題方法 假設河床平直、忽略局部損失，且橋前上游水位不變，則束縮前後的比能相等。 原河段寬度 $B1=50.0\,\mathrm{m}$、水深 $y1=4.0\,\mathrm{m}$，流量 $Q=200\,\mathrm{m^3/s}$。原斷面平均流速為 $$ V1=\frac{Q}{B1y1} =\frac{200}{50.0	imes4.0} =1.00\,\mathrm{m/s} $$ 原斷面的比能為 $$ E1=y1+\frac{V1^2}{2g} =4.0+\frac{1.00^2}{2(9.81)} =4.051\,\mathrm{m} $$ 最小寬度對應束縮斷面剛好達到臨界流。矩形渠道的臨界水深為

Question 2

某河川在一平直河段上，洪水過後依洪水痕跡量得在相距 $2000\,\mathrm{m}$ 的 A、B 兩處，其最高水位分別為 $50.0\,\mathrm{m}$ 及 $46.0\,\mathrm{m}$。經計算得 A、B 兩處斷面之通水面積分別為 $350\,\mathrm{m^2}$ 及 $400\,\mathrm{m^2}$，潤週長度（wetted perimeter）分別為 $125\,\mathrm{m}$ 及 $150\,\mathrm{m}$。已知該河段的曼寧糙度值為 $0.015$，試計算該次洪水的洪峰流量。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查以洪水痕跡推估洪峰流量，採用曼寧公式與能量坡降的概念。以河段兩端的最高水位差估算水面坡降，並以兩斷面的水力半徑代表河段平均水力半徑，再代入曼寧公式求流量。

曼寧公式為

Q=AV,\qquad V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}

其中 $A$ 為通水面積、 $n$ 為曼寧糙度、 $R=A/P$ 為水力半徑、 $P$ 為潤週長、 $S$ 為能量坡降。洪水痕跡提供水面坡降；在河段平直、流況近似均勻且無顯著局部水頭損失時，以水面坡降近似能量坡降。

解題方法

兩處洪水痕跡的水位差為

\Delta H=50.0-46.0=4.0\ \mathrm{m}

兩處相距 $L=2000\ \mathrm{m}$ ，故河段水面坡降估為

S=\frac{\Delta H}{L} =\frac{4.0}{2000} =0.002

先分別計算 A、B 斷面的水力半徑：

R_A=\frac{A_A}{P_A} =\frac{350}{125} =2.80\ \mathrm{m}

R_B=\frac{A_B}{P_B} =\frac{400}{150} =2.667\ \mathrm{m}

由於題目給的是兩端斷面資料，採兩斷面水力半徑的算術平均值代表河段平均水力半徑：

Question 3

某渠底為水平之梯形渠道，斷面底寬為 $3.0\,\mathrm{m}$，兩側的邊坡比（水平與垂直比）為 $1:1$。輸送水流流量為 $20.0\,\mathrm{m^3/s}$，水深為 $0.6\,\mathrm{m}$。若下游產生水躍，試計算： (一) 下游水躍後之水深。（15 分） (二) 下游水躍後之福祿數（Froude number）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查水平梯形渠道水躍前後的比能損失與動量守恆。水躍過程中能量有明顯損失，因此不能直接套用能量守恆；對水平渠道，應以水躍前後的比動量（specific force）相等求共軛水深，再用水深與流速計算水躍後的福祿數。 梯形渠道底寬 $b=3.0\,\mathrm{m}$，邊坡比為水平：垂直 $=1:1$，故邊坡係數 $z=1$。水深為 $y$ 時，斷面積及水面寬分別為 $$ A=by+zy^2,\qquad T=b+2zy $$ 本題計算比動量時，所需的水靜壓力項可寫為 $$ \int0^y (y-\eta)(b+2z\eta)\,d\eta =\frac{by^2}{2}+\frac{zy^3}{3} $$ 因此，比動量為 $$ M=\frac{Q^2}{gA}+\frac{by^2}{2}+\frac{zy^3}{3} $$ 其中 $Q$ 為流量，$g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$。 解題方法 已知水躍前水深 $y1=0.6\,\mathrm{m}$，流量 $Q=20.0\,\mathrm{m^3/s}$。先計算水躍前斷面積，再以水平渠道水躍前後比動量相等建立方程，求得水躍後水深 $y2$。 水躍前斷面積為 $$ A1=by1+zy1^2 =3(0.6)+(1)(0.6)^2 =2.16\,\mathrm{m^2} $$ 水躍前比動量為 $$ \begin{aligned} M1 &=\frac{Q^2}{gA1}+\frac{by1^2}{2}+\frac{zy1^3}{3}\ &=\frac{20^2}{9.81(2.16)} +\frac{3(0.6)^2}{2} +\frac{(1)(0.6)^3}{3}\ &\approx 19.098+0.540+0.072\ &\approx 19.710\,\mathrm{m^3} \end{aligned} $$ 設水躍後水深為 $y2$，其斷面積為

Question 4

有一矩形水道，渠寬 $1.6\,\mathrm{m}$，縱向坡度為 $0.0005$，曼寧糙度值為 $0.013$，流量為 $1.7\,\mathrm{m^3/s}$。若在渠道某位置 A 量得水深為 $1.0\,\mathrm{m}$，試問： (一) 水深為 $0.90\,\mathrm{m}$ 的位置 B 應位於 A 處之上游或下游，說明其理由。（10 分） (二) A、B 兩處之距離。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查明渠均勻流水與漸變流水的判別。先由曼寧公式求正常水深 $yn$，再比較各處水深與正常水深、臨界水深，判斷水面曲線及流向上的水深變化；兩處距離則由漸變流水微分方程積分求得。 矩形渠道的曼寧公式與弗勞德數平方為 $$ Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}Sf^{1/2}, \qquad Fr^2=\frac{Q^2T}{gA^3}. $$ 其中 $A=by$、$T=b$、$P=b+2y$、$R=A/P$；$Sf$ 為摩擦坡度，$S0$ 為渠底坡度。漸變流水方程為 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{S0-Sf}{1-Fr^2}. $$ 解題方法 本題已知 $b=1.6\,\mathrm{m}$、$Q=1.7\,\mathrm{m^3/s}$、$S0=0.0005$、$n=0.013$。 先由曼寧公式令 $Sf=S0$，求得正常水深約為 $$ yn\approx 1.05\,\mathrm{m}. $$ 臨界水深由矩形渠道公式求得： $$ yc=\left(\frac{(Q/b)^2}{g}\right)^{1/3} =\left(\frac{(1.7/1.6)^2}{9.81}\right)^{1/3} \approx 0.486\,\mathrm{m}. $$

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