109 地方特考三等 水利工程 土壤力學與基礎工程 考古題詳解

核心觀念

1. 三軸壓密不排水試驗（CU Test）之應力狀態 試體在圍壓 $\sigma_3$ 下完全壓密後，關閉排水閥進行剪切直至破壞。破壞時試體受到的軸向差應力（偏差應力）為 $\Delta\sigma_d$，試體內部產生的破壞孔隙水壓為 $u_f$。

• 破壞時小主總應力：$\sigma_{3f} = \sigma_3$
• 破壞時大主總應力：$\sigma_{1f} = \sigma_{3f} + \Delta\sigma_d$

2. 泰勒有效應力原理（Terzaghi's Principle of Effective Stress） 土壤強度主要由有效應力控制，破壞時的主有效應力分別為： $\sigma'_{3f} = \sigma_{3f} - u_f$ $\sigma'_{1f} = \sigma_{1f} - u_f = \sigma'_{3f} + \Delta\sigma_d$

3. 砂土之莫爾－庫侖破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion） 飽和砂土無黏滯性，其有效凝聚力 $c' = 0$。破壞包絡線通過原點，由莫爾圓幾何關係可知，破壞面與有效主應力之關係式為： $\sin\phi' = \frac{\frac{\sigma'_{1f} - \sigma'_{3f}}{2}}{\frac{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}}{2}} = \frac{\sigma'_{1f} - \sigma'_{3f}}{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}} = \frac{\Delta\sigma_d}{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}}$ 亦可表示為： $\sigma'_{1f} = \sigma'_{3f} \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)$ 其中 $\phi'$ 為砂土之有效內摩擦角。

解題方法

步驟一：計算破壞時之總主應力

已知壓密圍壓 $\sigma_3 = 82.8\ \text{kN/m}^2$，破壞時軸差應力 $\Delta\sigma_d = 62.8\ \text{kN/m}^2$：

• 破壞時小主總應力： $\sigma_{3f} = 82.8\ \text{kN/m}^2$
• 破壞時大主總應力： $\sigma_{1f} = \sigma_{3f} + \Delta\sigma_d = 82.8 + 62.8 = 145.6\ \text{kN/m}^2$

步驟二：計算破壞時之有效主應力

已知破壞時孔隙水壓 $u_f = 46.9\ \text{kN/m}^2$：

• 破壞時小主有效應力： $\sigma'_{3f} = \sigma_{3f} - u_f = 82.8 - 46.9 = 35.9\ \text{kN/m}^2$
• 破壞時大主有效應力：

核心觀念

本題評量土壤力學中「太沙基單向度壓密理論（Terzaghi's 1-D Consolidation Theory）」與「有效應力原理（Effective Stress Principle）」在預壓載重（Preloading Surcharge）工程中的綜合應用：

1. 太沙基有效應力原理： $\sigma' = \sigma - u$ 其中 $\sigma$ 為總應力，$u$ 為總孔隙水壓力，$\sigma'$ 為有效應力。
2. 總孔隙水壓力的組成： $u = u_0 + \Delta u$ 其中 $u_0$ 為靜水水壓力（Hydrostatic Pore Water Pressure），$\Delta u$ 為超額孔隙水壓力（Excess Pore Water Pressure）。 現場所佈設之水壓計（Piezometer）量測值即為「總孔隙水壓力 $u$」。
3. 加載後總應力增加量： 大面積鋪設回填土可視為一維受力狀態，土層中各深度所承受之總垂直應力增量均等於回填土層全層重量： $\Delta\sigma = \gamma_{\text{fill}} \cdot H_{\text{fill}}$
4. 點壓密度（Degree of Consolidation at Depth $z$）： 在黏土層特定深度 $z$ 處，於時間 $t$ 之壓密度定義為該點已消散的超額孔隙水壓力與初始超額孔隙水壓力之比值： $U_z = \frac{\Delta u_0 - \Delta u}{\Delta u_0} = 1 - \frac{\Delta u}{\Delta u_0}$ 在初始瞬間（$t = 0^+$），外加載重全由孔隙水承擔，故初始超額孔隙水壓 $\Delta u_0 = \Delta\sigma$。

解題方法

本題採取標準的應力分析與超額孔隙水壓消散分析步驟，詳述如下：

步驟一：計算加載前（$t = 0^-$）之初始應力狀態

以黏土層頂面（地下水位面）為深度起算基準（$z = 0$）。在黏土層 $z = 6\text{ m}$ 處：

• 初始總垂直應力 $\sigma_{v0}$： $\sigma_{v0} = \gamma_{\text{clay}} \cdot z = 20\text{ kN/m}^3 \times 6\text{ m} = 120\text{ kN/m}^2$
• 初始靜水水壓力 $u_0$（取水的單位重 $\gamma_w = 9.81\text{ kN/m}^3$）： $u_0 = \gamma_w \cdot z = 9.81\text{ kN/m}^3 \times 6\text{ m} = 58.86\text{ kN/m}^2$

步驟二：計算回填載重施加後的總應力與初始超額孔隙水壓

鋪設 $4.5\text{ m}$ 回填土，引致地表及地下各層均勻增加垂直應力： $\Delta\sigma = \gamma_{\text{fill}} \cdot H_{\text{fill}} = 21\text{ kN/m}^3 \times 4.5\text{ m} = 94.5\text{ kN/m}^2$

核心觀念

本題考淺基礎極限承載力，以及地下水位對有效單位重的影響。採用 Terzaghi 方形基礎承載力公式：

其中 $q_u$ 為基礎底面處的總極限承載壓力，$q=\gamma'D_f$ 為基礎底面的有效覆土壓力；$B$ 為基礎寬度。安全係數 $F_s=3$ 用於計算容許承載壓力。

解題方法

地下水位在地表，基礎底面以下土壤均受浮力影響，因此承載力公式中的單位重採浮單位重。取水的單位重 $\gamma_w=10\ \text{kN/m}^3$：

基礎埋置深度 $D_f=0.5\ \text{m}$，所以基礎底面的有效覆土壓力為：

代入方形基礎公式：

核心觀念

本題使用矩形均布荷重下方的垂直應力影響係數。角落下方某點的垂直應力增量為

其中 $q_s$ 為基礎底面的均布壓力，$I_\sigma$ 由圖表依長寬比與深度比讀取。

解題方法

基礎為方形，邊長 $B=1.5\ \text{m}$，面積為

以題目所給 $350\ \text{kN}$ 軸力作為傳至基礎底面的荷重，均布壓力為

測點位於基礎角落下方 $z=1.5\ \text{m}$，所以