107 地方特考三等 機械工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

1. 流體之等加速剛體運動（Fluid in Rigid-Body Motion with Constant Linear Acceleration）： 當盛裝液體的容器以等加速度 $\mathbf{a}$ 進行平移運動時，液體質點之間無相對位移，流體內部剪應力為零（$\tau = 0$），可視同「剛體」分析其壓力分佈。
2. 壓力梯度方程式（Euler Equation of Motion for Rigid-Body Fluid）： 建立二維卡氏座標系，以運動方向（水平向右）為 $+x$ 軸，鉛直向上為 $+z$ 軸。液體所受之動態平衡方程式為： $\nabla p = \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a})$ 展開各軸分量（本題 $a_x = a = 5\ \mathrm{m/s^2}$，$a_y = 0$，$a_z = 0$，$g_z = -g$）： $\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho a_x = -\rho a$ $\frac{\partial p}{\partial y} = 0$ $\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g$
3. 等壓面與自由液面方程式： 自由水面直接接觸大氣，為一等壓面（$p = p_{\mathrm{atm}} \implies dp = 0$）： $dp = \frac{\partial p}{\partial x} dx + \frac{\partial p}{\partial z} dz = -\rho a \, dx - \rho g \, dz = 0$ 整理可得自由水面之斜率： $\frac{dz}{dx} = -\frac{a}{g}$
4. 體積守恆原理（Conservation of Liquid Volume）： 在加速過程中，若液體既未溢出容器（$h_{\max} \le H$），亦未露出容器底面（$h_{\min} \ge 0$），則流體剖面維持梯形，液體體積守恆。此時自由水面將繞著容器中心線（$x = L/2$）旋轉，容器中心處之水深維持原水深 $h_0 = 40\ \mathrm{cm}$ 不變。

解題方法

(一) 求容器中自由水面之斜率

1. 方程式建立： 以水平向右為 $+x$ 方向，鉛直向上為 $+z$ 方向。 由自由水面之等壓條件 $dp = -\rho a \, dx - \rho g \, dz = 0$，得自由水面斜率為： $\frac{dz}{dx} = -\frac{a}{g}$ 負號表示自由水面朝加速度之反方向傾斜（即左高右低）。水面與水平面所夾之傾角 $\theta$ 滿足： $\tan\theta = \frac{a}{g}$

2. 數值計算： 若取標準重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$： $\frac{dz}{dx} = -\frac{5}{9.8} \approx -0.5102$ 其斜率絕對值（坡度大小）為： $|\text{Slope}| = \frac{a}{g} = \frac{5}{9.8} \approx 0.5102 \quad (\theta \approx 27.02^\circ)$ (若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，則 $\frac{dz}{dx} = -\frac{5}{9.81} \approx -0.5097$；若取 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$，則 $\frac{dz}{dx} = -\frac{5}{10} = -0.5$)。

(二) 求水面之最高位置

1. 水面升高量推導： 容器長度（運動方向）$L = 60\ \mathrm{cm} = 0.6\ \mathrm{m}$。 原水深 $h_0 = 40\ \mathrm{cm} = 0.4\ \mathrm{m}$。 容器高度 $H = 100\ \mathrm{cm} = 1.0\ \mathrm{m}$。

核心觀念

本題屬於流體力學中典型的「移動控制體積（Moving Control Volume）」動量守恆應用與質點動力學的結合題型，核心觀念涵蓋：

1. 控制體積動量方程式（Reynolds Transport Theorem for Moving CV）： 對一隨長方體以速度 $U(t)$ 移動的控制體積，其水平方向動量方程式為： $\sum F_x = \frac{d}{dt}\int_{CV} u_{rel} \rho \, d\forall + \int_{CS} u_{rel} (\rho \vec{V}_{rel} \cdot \hat{n}) \, dA$ 在忽略控制體積內非定常流體質量蓄積項的情形下，流體受力簡化為流出與流入控制體積之相對動量流率差。
2. 相對速度與質量流率： 當物體與反向噴流迎面相向運動時，進入控制體積的相對速度為兩者速度之和，質量流率需以「相對速度」計算。
3. 牛頓第二運動定律與可分離變數常微分方程（ODE）： 長方體受噴流推力作用產生減速度，聯立運動方程式後分離變數積分，求得速度隨時間之關係及速度歸零時間。

解題方法

參數假設與圖形條件定義

依據原卷圖示與題目內容：

• 長方體質量為 $M$，置於無摩擦水平面上，在 $t=0$ 時初速度為 $U_0$（水平向右，設 $+x$ 方向）。
• 右側固定噴嘴噴出一反向噴流（水平向左，$-x$ 方向），設噴流相對於地面的絕對速度大小為 $V$（部分文獻標為 $V_j$）、截面積為 $A$、流體密度為 $\rho$。
• 噴流垂直衝擊長方體的垂直平整端面後，向上下兩側對稱偏折 $90^\circ$ 沿表面切線方向流出（無摩擦、不回彈），因此離開控制體積之流體在水平方向（$x$ 方向）的相對速度為零。

(一) 推導長方體之加速度代數表示式

1. 選取移動控制體積（CV）： 選取緊貼長方體撞擊面、隨長方體以瞬時速度 $\vec{U}(t) = U(t) \hat{i}$ 沿水平向右平移的控制體積。

2. 計算進入控制體積之流體相對速度與質量流率：

• 噴流對地速度：$\vec{V}_{jet} = -V \hat{i}$
• 流體進入控制體積的相對速度： $\vec{V}_{rel, in} = \vec{V}_{jet} - \vec{U}(t) = -V \hat{i} - U \hat{i} = -(V + U)\hat{i}$ 相對流速大小為 $V_{rel} = V + U$。
• 單位時間內衝擊到長方體上的流體質量流率（截獲質量流率）： $\dot{m}_{rel} = \rho A V_{rel} = \rho A (V + U)$

3. 計算流體對控制體積的動量變化：

• 流出控制體積之流體沿長方體表面上下對稱分流（偏折 $90^\circ$），在 $x$ 方向無相對速度分量： $u_{rel, out} = 0$
• 作用於控制體積內流體上的水平合力 $\sum F_{x, fluid}$（長方體施加於流體之力）： $\sum F_{x, fluid} = \dot{m}_{rel} (u_{rel, out} - u_{rel, in}) = \rho A (V + U) \big[ 0 - (-(V + U)) \big] = \rho A (V + U)^2$ 此力方向向右（$+x$ 方向）。

4. 長方體所受的反作用力與加速度：

• 根據牛頓第三運動定律，噴流施加於長方體上的衝擊力大小相等、方向相反： $F_{x, block} = -\sum F_{x, fluid} = -\rho A (V + U)^2$
• 由於水平表面無摩擦，水平方向僅受噴流作用力，由牛頓第二定律： $M a = M \frac{dU}{dt} = F_{x, block} = -\rho A (V + U)^2$
• 得到長方體之加速度代數表示式（以瞬時速度 $U$ 表示）： $a = \frac{dU}{dt} = -\frac{\rho A}{M} (V + U)^2$ （負號表示加速度方向向左，為使長方體減速之加速度）

核心觀念

本題主要測驗管流（Pipe Flow）中流量量測儀器的基本原理與流體力學分析，涵蓋以下核心理論與觀念：

1. 伯努利方程式（Bernoulli's Equation）：描述理想流體沿流線流動時，壓力能、動能與重力位能的轉換守恆。
2. 連續方程式（Continuity Equation）：質量守恆原理在不可壓縮流體斷面上的流率守恆應用（$Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$）。
3. 差壓式流量計機制（Differential Pressure Flowmeters）：噴嘴利用截面積縮小使動能增加、靜壓下降產生壓差；皮托管利用駐點（Stagnation Point）將動能完全轉化為壓力能產生滯止壓與靜壓之差（動壓）。
4. 哈根-泊肅葉流動（Hagen-Poiseuille Flow）：圓管完全發展層流之速度分佈為拋物線分佈，斷面平均流速與中心最大流速具固定比例關係（$V_{\text{avg}} = \frac{1}{2} u_{\max}$）。

選項分析

本題為申論與計算推導題，非選擇題，故不適用選項逐項分析。以下依序針對四個小題進行標準申論推導與深入說明。

解題方法

(一) 應用理論與理論假設

1. 應用理論：

• 伯努利方程式（Bernoulli's Equation）：連結兩截面間之靜壓與流速關係。
• 連續方程式（Continuity Equation）：建立兩截面因面積變化產生之流速關聯。
• 實務工程上，輔以流出係數（Discharge Coefficient, $C_d$）​修正黏滯摩擦損失及非理想流動效應。

2. 理論假設：

• 穩態流動（Steady flow）：流場中各點之流體性質不隨時間改變（$\frac{\partial}{\partial t} = 0$）。
• 不可壓縮流（Incompressible flow）：流體密度為常數（$\rho = \text{常數}$，通常馬赫數 $\text{Ma} < 0.3$）。
• 無黏性流／沿流線無摩擦損失（Inviscid / Frictionless along a streamline）：忽視流體黏滯剪應力造成的機械能損耗。
• 沿同一流線（Along a streamline）：方程式建立在同一條流線的兩點之間。
• 無軸功與熱傳（No shaft work and adiabatic）：流經兩截面間無外加機械功（如泵、渦輪）亦無熱量進出。

(二) 噴嘴量測圓管體積流率之架構與執行方法

1. 架構圖：

 管徑 D 噴嘴喉部直徑 d
 ─────────────────┐ ┌─────────────────
 流向 → │ │ →
 ─────────────────┘ └─────────────────
 ● 測壓孔 1 ● 測壓孔 2
 │ │
 └───[ 差壓計 ΔP ]──┘

2. 執行步驟與推導：

• 量測步驟：

1. 在圓管直管段中夾裝標準噴嘴，於上游處取截面 1（管徑 $D$、面積 $A_1 = \frac{\pi D^2}{4}$），於噴嘴喉部取截面 2（喉徑 $d$、面積 $A_2 = \frac{\pi d^2}{4}$）。
2. 於兩截面管壁開設測壓孔，外接 U 型管壓差計或差壓傳感器，量測兩截面之靜壓差 $\Delta P = P_1 - P_2$。

• 理論計算： 由連續方程式： $V_1 A_1 = V_2 A_2 \implies V_1 = V_2 \left(\frac{A_2}{A_1}\right) = V_2 \left(\frac{d}{D}\right)^2 = V_2 \beta^2$ 其中直徑比 $\beta = \frac{d}{D}$。 取水平中心流線應用伯努利方程式（$z_1 = z_2$）： $\frac{P_1}{\rho} + \frac{V_1^2}{2} = \frac{P_2}{\rho} + \frac{V_2^2}{2}$ 代入 $V_1$ 解得喉部理論流速 $V_{2,\text{ideal}}$： $V_{2,\text{ideal}} = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho (1 - \beta^4)}}$
• 體積流率計算： 引入流出係數 $C_d$ 修正黏滯損耗，實際體積流率 $Q$ 為： $Q = C_d A_2 V_{2,\text{ideal}} = C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho\left[1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4\right]}}$

(三) 皮托管量測圓管體積流率之架構與執行方法

1. 架構圖：

 圓管管壁 ───────────────────────────
 ┌─┐
 │ │ 靜壓導引孔 (P)
 滯止孔 │ │ │
 流向 ●══════════╪═╪═════╪═══════> 至差壓計 (靜壓 P)
 ───> (P_0) │ └─────┘
 └──────────────> 至差壓計 (滯止壓 P_0)
 圓管管壁 ───────────────────────────

2. 執行步驟與推導：

• 單點局部速度原理： 皮托-靜壓管探針前端迎流開孔感受「滯止壓（Stagnation Pressure, $P_0$）」，此處流速降為零；側面小孔感受未受干擾的「靜壓（Static Pressure, $P$）」。依伯努利方程式： $P + \frac{1}{2}\rho u(r)^2 = P_0 \implies u(r) = \sqrt{\frac{2(P_0 - P)}{\rho}}$
• 體積流率執行方法（截面遍歷積分法）： 由於皮托管量測的是「單一點」之局部流速 $u(r)$，而管內流體速度分佈沿徑向不均勻，無法由單一點直接決定任意流況下的全斷面總流率。執行方法如下：

1. 將圓管斷面劃分為數個等面積的同心環（等環面積法，Equal-Area Method）。
2. 沿管徑方向移動皮托管探針，在不同徑向位置 $r_i$ 分別量測其動壓差 $\Delta P_i = (P_0 - P)_i$，計算各點局部流速 $u_i = \sqrt{\frac{2\Delta P_i}{\rho}}$。
3. 對斷面進行數值積分，計算全管體積流率：

核心觀念

本題考驗黏性流體力學之經典基礎——平行雙平板間的完全發展層流（Plane Poiseuille Flow），核心依據為：

1. 質量守恆：不可壓縮流體的連續方程式（Continuity Equation）。
2. 動量守恆：三維直角座標系下的納維－斯托克斯方程式（Navier-Stokes Equations）。
3. 完全發展流（Fully-developed flow）特性：速度剖面不隨流向座標改變，即 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$。
4. 分離變數與常微分簡化：由橫向動量方程式證明壓力僅為流向座標的函數，進而將偏微分方程式（PDE）簡化為常微分方程式（ODE）。
5. 無滑移邊界條件（No-slip condition）：流體在固體邊界上的流速等於固體壁面之速度。

解題方法

(一) 展開並簡化連續方程式

在直角座標系 $(x, y, z)$ 下，不可壓縮流體之連續方程式通式為： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

依題目給定假設：

• 速度分量 $v = 0 \implies \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
• 速度分量 $w = 0 \implies \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

代入展開式後消去各項： $\frac{\partial u}{\partial x} + 0 + 0 = 0$

簡化結果為： $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ 此式在物理上表示流動在流向（$x$ 方向）無速度變化，與「完全發展流」及速度僅為 $y$ 函數（$u = u(y)$）的條件完全相符。

(二) 展開並簡化動量方程式

常物性、不可壓縮流體之三維納維－斯托克斯方程式展開如下：

• $x$ 方向動量方程式： $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$

• $y$ 方向動量方程式： $\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right)$

• $z$ 方向動量方程式： $\rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g_z + \mu \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \right)$

依據各項假設逐項簡化：

1. 穩態（Steady state）：$\frac{\partial}{\partial t} = 0$
2. 忽略重力（Neglect gravity）：$g_x = g_y = g_z = 0$
3. 速度分量限制：$v = 0$、$w = 0$
4. 一維流動：$u = u(y)$ only，故 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$、$\frac{\partial u}{\partial z} = 0$、$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$、$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$

將上述條件代入各分量方程式：

• $x$ 方向： 對流項左側 $\rho (0 + u \cdot 0 + 0 + 0) = 0$；右側僅剩壓力梯度與對 $y$ 的黏滯擴散項： $0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \implies \frac{\partial p}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

• $y$ 方向： 因 $v = 0$，所有加速度與黏滯剪應力項皆為零： $0 = -\frac{\partial p}{\partial y} \implies \frac{\partial p}{\partial y} = 0$

• $z$ 方向： 因 $w = 0$，同理可得： $0 = -\frac{\partial p}{\partial z} \implies \frac{\partial p}{\partial z} = 0$

(三) 求得常微分方程式 $\frac{dp}{dx} = \mu \frac{d^2u}{dy^2}$ 之詳細過程

核心觀念

本題的核心觀念為流體力學中的因次分析（Dimensional Analysis）​與柏金漢 $\pi$ 定理（Buckingham Pi theorem），特別應用於旋轉流體機械（葉輪機械 Turbomachinery，如壓縮機、泵、風扇）的性能特徵無因次化。

1. 基本因次系統（$MLT$ 系統）： 在力學問題中，通常以質量 $[M]$、長度 $[L]$、時間 $[T]$ 作為三個基本因次。
2. 柏金漢 $\pi$ 定理： 若一個物理現象涉及 $n$ 個物理參數，且這些參數涵蓋 $m$ 個基本因次，則該物理問題可簡化為由 $k = n - m$ 個獨立的無因次參數組合（稱為 $\pi$ 群）所描述的關係式。
3. 重複參數法（Repeating Variable Method）： 選取 $m$ 個涵蓋所有基本因次且彼此之間無法組合成無因次群的物理量作為重複參數，分別與其餘 $(n - m)$ 個非重複參數搭配，求解各無因次組合。

解題方法

步驟一：列出各物理參數之因次

選用質量 $[M]$、長度 $[L]$、時間 $[T]$ 為基本因次系統，題目給定之 6 個參數的因次式如下：

1. 體積流率 $Q$：$[Q] = [L^3 T^{-1}]$
2. 壓力 $p$：$[p] = \left[\dfrac{\text{力}}{\text{面積}}\right] = \left[\dfrac{M L T^{-2}}{L^2}\right] = [M L^{-1} T^{-2}]$
3. 功率 $P$：$[P] = \left[\dfrac{\text{功}}{\text{時間}}\right] = \left[\dfrac{M L^2 T^{-2}}{T}\right] = [M L^2 T^{-3}]$
4. 流體密度 $\rho$：$[\rho] = [M L^{-3}]$
5. 特徵長度 $D$：$[D] = [L]$
6. 轉速 $N$：$[N] = [T^{-1}]$（單位為 $\text{rad/s}$ 或 $\text{rev/s}$，因次為時間的倒數）

步驟二：確定無因次參數群（$\pi$ 項）數量

• 總參數個數：$n = 6$
• 基本因次個數：$m = 3$（包含 $M, L, T$）
• 獨立無因次群個數： $k = n - m = 6 - 3 = 3$ 因此共有 3 組無因次參數組合（$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$）。

步驟三：選取重複參數並檢驗獨立性

依題目要求，選取轉速 $N$、流體密度 $\rho$、特徵長度 $D$ 作為 3 個重複參數：

• 因次矩陣分析：
• $\rho$ 包含質量 $[M]$
• $D$ 包含長度 $[L]$
• $N$ 包含時間 $[T]$
• 三者組合無法自行形成無因次群，能完整涵蓋 $M, L, T$，符合重複參數選取條件。
• 非重複參數分別為：$Q, p, P$。

步驟四：逐一推導 3 組無因次參數組合

1. 第一組無因次參數 $\Pi_1$（結合體積流率 $Q$）

設： $\Pi_1 = D^a N^b \rho^c Q$

代入各參數之因次： $[M^0 L^0 T^0] = [L]^a [T^{-1}]^b [M L^{-3}]^c [L^3 T^{-1}] = M^c L^{a - 3c + 3} T^{-b - 1}$

比對各基本因次的指數：

• $[M]$：$c = 0$
• $[T]$：$-b - 1 = 0 \implies b = -1$
• $[L]$：$a - 3c + 3 = 0 \implies a - 3(0) + 3 = 0 \implies a = -3$

代回得： $\Pi_1 = D^{-3} N^{-1} \rho^0 Q = \frac{Q}{N D^3}$ （此即流體機械之流量係數 $C_Q$）

2. 第二組無因次參數 $\Pi_2$（結合壓力 $p$）

設： $\Pi_2 = D^a N^b \rho^c p$

代入各參數之因次：