107 地方特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題結合「材料力學」之梁變形分析與「機械設計」之疲勞破壞準則，核心觀念包含以下三項：

1. 簡支梁撓度與外力關係：跨距為 $L$ 之簡支梁中央受集中載重 $F$ 時，梁中央的最大撓度公式為： $\delta = \frac{F L^3}{48 E I}$
2. 最大彎曲應力與截面性質：跨中最大彎矩為 $M_{\max} = \frac{F L}{4}$。直徑為 $d$ 之實心圓桿，其中立軸至最外側纖維距離 $c = \frac{d}{2}$，斷面二次矩（慣性矩）為 $I = \frac{\pi d^4}{64}$。外表層之最大彎曲正應力為： $\sigma_{\max} = \frac{M_{\max} c}{I}$
3. 完全反覆應力之疲勞設計：正中間受往復外力產生上下位移，屬於平均應力 $\sigma_m = 0$ 的完全反覆彎曲應力週期（Completely Reversed Bending）。設計準則為使應力振幅不超過材料的容許疲勞強度： $\sigma_{\max} \le \sigma_{\text{allow}} = \frac{S_e}{n}$ 其中 $S_e$ 為金屬疲勞強度，$n$ 為安全係數。

解題方法

步驟一：建立撓度與最大彎矩的聯立關係

已知外力作用於簡支梁跨中，產生中心位移振幅 $\delta$。由撓度公式可反推外力振幅 $F$： $F = \frac{48 E I \delta}{L^3}$

梁中央斷面所承受之最大彎矩 $M_{\max}$ 為： $M_{\max} = \frac{F L}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{48 E I \delta}{L^3}\right) L = \frac{12 E I \delta}{L^2}$

步驟二：推導最大彎曲應力表示式

將 $M_{\max}$ 與 $c = \frac{d}{2}$ 代入彎曲應力公式： $\sigma_{\max} = \frac{M_{\max} \cdot \left(\frac{d}{2}\right)}{I} = \frac{\left(\frac{12 E I \delta}{L^2}\right) \left(\frac{d}{2}\right)}{I} = \frac{6 E d \delta}{L^2}$ 在此式中，截面慣性矩 $I$ 自然消去，顯示位移控制下的最大彎曲應力僅由楊氏模數 $E$、桿徑 $d$、位移振幅 $\delta$ 及跨距 $L$ 決定。

步驟三：代入疲勞設計準則求解桿徑 $d$

根據安全係數 $n = 1$ 與疲勞強度 $S_e = 225\ \mathrm{MPa}$： $\sigma_{\text{allow}} = \frac{S_e}{n} = \frac{225}{1} = 225\ \mathrm{MPa}$

核心觀念

本題考查軸之撓曲轉角（Slope of Shaft）​與軸承容許傾斜角（Permissible Angular Misalignment）​之設計限制：

1. 主軸受力模型：主軸受兩同心軸承（$1$、$2$）支承，可簡化為跨距 $L$ 之簡支樑。外力 $F$ 作用於軸承 $2$ 外側 $a = 50\ \mathrm{mm}$ 處（外伸懸臂端），在軸承間產生彎矩並使主軸產生彈性撓曲。
2. 截面二次矩（慣性矩）：直徑 $d$ 之實心圓軸，其對中性軸之截面二次矩為： $I = \frac{\pi d^4}{64}$
3. 軸承處之傾斜角公式：外伸端外力 $F$ 傳遞至跨距段，相當於在軸承 $2$ 處施加一端點彎矩 $M = F \cdot a$。由簡支樑受端點彎矩作用之轉角公式：

• 遠端軸承 $1$ 處之轉角：$\theta_1 = \frac{M L}{6 E I} = \frac{F a L}{6 E I}$
• 近端軸承 $2$ 處之轉角：$\theta_2 = \frac{M L}{3 E I} = \frac{F a L}{3 E I}$

4. 防卡死條件：兩軸承容許傾斜角皆為 $\theta_{\text{allow}} = 1^\circ$。因 $|\theta_2| = 2 |\theta_1|$，最大傾斜角必發生於軸承 $2$，故卡死臨界條件由軸承 $2$ 決定： $\theta_2 \le \theta_{\text{allow}}$

解題方法

步驟一：整理已知數據並統一單位

• 軸徑 $d = 10\ \mathrm{mm}$
• 軸承跨距 $L = 500\ \mathrm{mm}$
• 外力作用點至軸承 $2$ 距離 $a = 50\ \mathrm{mm}$
• 楊氏模數 $E = 2000\ \mathrm{MPa} = 2000\ \mathrm{N/mm^2}$
• 軸承容許傾斜角 $\theta_{\text{allow}} = 1^\circ = 1 \times \frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad} = \frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad}$

步驟二：計算圓軸截面二次矩 $I$ 及抗彎剛度 $E I$ $I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi \times (10)^4}{64} = \frac{10000 \pi}{64} = \frac{625 \pi}{4}\ \mathrm{mm^4} \approx 490.87\ \mathrm{mm^4}$ $E I = 2000\ \mathrm{N/mm^2} \times \frac{625 \pi}{4}\ \mathrm{mm^4} = 312500 \pi\ \mathrm{N\cdot mm^2}$

步驟三：推導軸承處之主軸轉角 將軸承 $1$ 設為座標原點 $x = 0$，軸承 $2$ 位於 $x = L$。在跨距 $0 \le x \le L$ 內，外伸端載重 $F$ 造成之彎矩為： $M(x) = -\frac{F a}{L} x$ 依據樑之撓曲微分方程式： $E I \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{F a}{L} x$ 積分一次得轉角方程式：

核心觀念

本題旨在評量機械振動與機械設計中系統等效勁度（Equivalent Stiffness）​的轉換能力，特別是將線性平移彈簧（Translational Spring）轉換為轉軸等效扭力彈簧（Torsional Spring）​的分析方法。涉及的核心定義與公式如下：

1. 微小角位移之線位移關係： 輪盤繞中心軸轉動微小角度 $\theta$（單位：$\text{rad}$）時，距轉軸半徑 $r$ 處切線方向的彈簧伸長量（或壓縮量）為： $x = r\theta$

2. 彈簧恢復力與恢復力矩： 彈簧常數為 $K$ 之線性彈簧，受形變 $x$ 時產生之恢復力為 $F = Kx$。該力對中心轉軸所產生的恢復力矩大小為： $T = F \cdot r = (K \cdot r\theta) \cdot r = K r^2 \theta$

3. 等效扭力彈簧常數（$K_t$）之定義： 扭轉系統中，作用於軸心之總力矩 $T$ 與角位移 $\theta$ 滿足虎克定律關係： $T = K_t \theta \implies K_t = \frac{T}{\theta}$ 其單位因次為 $\text{N}\cdot\text{m/rad}$（或 $\text{N}\cdot\text{m}$）。

解題方法

設滑輪組繞中心轉軸產生微小角位移 $\theta$。大小輪盤同軸共轉，兩彈簧各自切向固接於大小輪盤的外緣並錨定於機架，皆提供阻止輪盤轉動的恢復力矩，屬於並聯力矩系統。以下提供兩種標準推導方法：

方法一：力矩平衡法（恢復力矩法）

1. 分析大輪盤（半徑 $r_1 = 2R$）：

• 彈簧變形量：$x_1 = r_1 \theta = 2R\theta$
• 彈簧產生的切向恢復力：$F_1 = K x_1 = 2KR\theta$
• 對轉軸產生的恢復力矩： $T_1 = F_1 \cdot r_1 = (2KR\theta)(2R) = 4KR^2 \theta$

2. 分析小輪盤（半徑 $r_2 = R$）：

• 彈簧變形量：$x_2 = r_2 \theta = R\theta$
• 彈簧產生的切向恢復力：$F_2 = K x_2 = KR\theta$
• 對轉軸產生的恢復力矩： $T_2 = F_2 \cdot r_2 = (KR\theta)(R) = KR^2 \theta$

3. 求總恢復力矩與等效扭轉彈簧常數：

• 對中心轉軸的總抵抗力矩為兩者之和： $T = T_1 + T_2 = 4KR^2 \theta + KR^2 \theta = 5KR^2 \theta$

核心觀念

本題評量機械設計中「撓性傳動元件（Flexible Power Transmission Elements）」的分類、工作原理及其工程特性的掌握程度。

1. 基本定義： 撓性傳動元件係指利用具備良好撓曲柔韌性的中間連接構件，將主動軸的運動與動力傳遞至從動軸的機械元件。相較於齒輪傳動或凸輪等剛性傳動，撓性傳動構件主要承受張力（拉力），適用於軸心距離較遠、空間配置彈性需求高或需具備吸震緩衝能力的場合。
2. 傳動機制劃分：

• 摩擦傳動型：如平皮帶、V形皮帶、鋼索。依靠元件與輪槽間之摩擦力傳遞動力，具備過載保護功能，但存在彈性潛移（Creep）與滑動（Slip）。
• 嚙合傳動型：如滾子鏈、正時皮帶（齒形帶）。依靠元件之輪齒或鏈節與鏈輪／帶輪嚙合傳動，無相對滑動，可維持恆定之平均或瞬時傳動比。

解題方法

本題為典型的公職考試申論題，作答策略採「分類列舉 $\rightarrow$ 分項條列優缺點 $\rightarrow$ 關鍵特性對照表」的三段式結構，便於閱卷委員掌握評分指標：

1. 列出三大主要撓性傳動元件：

• 皮帶傳動（Belt Drives）
• 鏈條傳動（Chain Drives）
• 繩索／鋼索傳動（Rope / Wire Rope Drives）

2. 個別說明定義與結構分支：逐一就其運轉原理（摩擦式或嚙合式）與工程應用情境剖析優缺點。
3. 彙整比較：以表格對比中心距、傳動比精確度、傳動效率、軸承負荷與工作環境容忍度，展現架構化思維。

選項分析（本題為申論問答題，各傳動元件詳細特性剖析如下）

一、皮帶傳動元件（Belt Drives）

利用套在帶輪上的閉合環形環帶，藉由摩擦力或齒形嚙合傳遞動力的元件。主要形式包括平皮帶（Flat Belt）、V形皮帶（V-Belt）及正時齒形帶（Timing / Synchronous Belt）。

• 優點：

1. 運轉平穩、噪音低：帶體富彈性，運轉時衝擊小、幾無噪音，具備優異的吸震與緩衝能力。
2. 過載保護（摩擦式）：平皮帶與 V 形皮帶在負載過大時會發生打滑（Slip），可避免電機或相連機件過載損壞。
3. 維護保養容易：運轉時完全不需要潤滑油，避免污染生產環境。
4. 中心距適應性高：適用於較大中心距之兩平行軸傳動，長度調整靈活。
5. 製造成本低：構造簡單，帶輪加工與安裝成本皆低於精密齒輪或鏈輪。

• 缺點：

1. 傳動比不精確（摩擦式）：摩擦傳動因彈性潛移（Elastic Creep）與表面滑動現象，傳動比 $i = \frac{\omega_1}{\omega_2}$ 並非定值。
2. 軸與軸承負荷較大：為了產生足夠的摩擦力，必須施加初張力（Pre-tension），導致軸與軸承承受較大的徑向載荷。
3. 外廓尺寸較大：因容許應力較低，在相同傳遞功率下，其輪徑與寬度通常大於鏈輪與齒輪。
4. 壽命較短且耐候性差：橡膠或聚合物材質易老化，耐高溫、耐油污及耐化學溶劑能力較差。

二、鏈條傳動元件（Chain Drives）

由一系列剛性鏈節藉由銷軸與套筒鉸接而成的閉合鏈條，藉由鏈節與鏈輪輪齒的嚙合傳遞動力。主要形式包括滾子鏈（Roller Chain）與無聲鏈／齒形鏈（Silent Chain）。

• 優點：

1. 平均傳動比恆定：屬於剛性嚙合傳動，無摩擦打滑現象，平均角速度比保持恆定。
2. 軸承負荷較小：不需要像摩擦皮帶般施加龐大的預張力，鬆邊允許有適度垂度，軸與軸承承受之徑向力顯著降低。
3. 傳動效率高：在良好潤滑狀態下，傳動效率可達 $96\% \sim 98\%$。
4. 環境適應力強：全金屬結構耐高溫、耐油污、耐潮濕與粉塵環境，可在嚴苛工業條件下穩定工作。
5. 結構較緊湊：傳遞同等功率時，鏈輪尺寸與外廓通常小於皮帶輪。

• 缺點：

1. 多邊形效應（Polygon Effect / Chordal Action）：鏈條纏繞在鏈輪上呈多邊形，造成瞬時鏈速與瞬時傳動比週期性變動，引發機械振動、動態衝擊與噪聲。
2. 需要定期潤滑與維護：銷軸與套筒鉸接處存在滑動磨損，需維持良好潤滑以防過早伸長或咬死。
3. 磨損伸長後易跳齒：鉸鏈處磨損會造成鏈條節距變大，導致鏈條在鏈輪上爬高、跳齒或脫落，需配置張緊調整機構。
4. 無法逆向過載保護：缺乏過載打滑機制，瞬間堵轉衝擊容易直接導致斷鏈或傳動軸彎折。

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