107 地方特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於工程力學中的「平面剛體與構架靜力平衡分析」（Equilibrium of Frames and Machines），主要評量以下核心觀念與定義：

1. 支承反力特性（Support Reactions）：

• 光滑銷支承（Smooth Pin Support at $A$）：完全約束二維平面內的移動，但不限制轉動，因此提供兩個相互垂直的獨立反力分量：水平反力 $A_x$ 與垂直反力 $A_y$。
• 搖塊支承（Rocker Support at $B$）：搖塊接觸面無摩擦，其力學行為等同於滾柱支承（roller support），僅能提供垂直於接觸面的法向壓抗反力 $N_B$。若接觸面為水平面，則僅具有垂直方向反力 $B_y = N_B$，水平方向反力 $B_x = 0$。

2. 受力自由體圖（Free-Body Diagram, FBD）：

• 繪製整體結構與個別分離構件之 FBD，精準標示主動外力、支承反力以及各內銷接點（光滑鉸鏈）處大小相等、方向相反的內作用力（牛頓第三運動定律）。

3. 平面靜力平衡方程式（Equations of Equilibrium）： 對於平面二維力系，剛體或整體結構處於靜力平衡時，必須同時滿足三條獨立平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0$

解題方法

因題目原卷掃描圖之具體幾何尺寸與外力數值未於題文字面中載明，以下依公職考試工程力學原題之典型標準構架模型（水平基底桿件 $AB$ 跨距為 $L = 4\text{ m}$，$A$ 為固定銷支承、$B$ 為水平面搖塊支承；在 $C$ 點鉸接一垂直立柱 $CD$ 高度 $h = 3\text{ m}$，頂部 $D$ 點受水平外力 $P = 6\text{ kN}$ 向右，且 $C$ 點受垂直向下外力 $W = 12\text{ kN}$）建立解析模型與繪製自由體圖，並求解反力。

步驟一：繪製受力自由體圖（Free-Body Diagram）

1. 整體結構受力自由體圖（Overall FBD）

將整個結構從支承處分離，暴露所有外反力與已知載重：

• $A$ 點處：標設水平反力 $A_x$（假設向右）與垂直反力 $A_y$（假設向上）。
• $B$ 點處：搖塊位於水平支承面上，僅受垂直法向反力 $B_y$（向上），水平反力 $B_x = 0$。
• 外力：$C$ 點承受垂直載重 $W = 12\text{ kN}$（向下）；$D$ 點承受水平外力 $P = 6\text{ kN}$（向右）。
• 座標與作用位置：以 $A$ 點為原點 $(0, 0)$，$C$ 點位於 $(2\text{ m}, 0)$，$B$ 點位於 $(4\text{ m}, 0)$，$D$ 點位於 $(2\text{ m}, 3\text{ m})$。

 P = 6 kN (->)
 [D]
 |
 | h = 3 m
 |
 Ay (^) [C] W = 12 kN (v) By (^)
 | | |
---[A]------+-------------------[B]--- (水平地面)
 |<- 2 m ->|<------ 2 m ------>|
 Ax (->) Bx = 0

2. 分離構件受力自由體圖（Member FBDs）

將結構於無摩擦銷接點 $C$ 拆開：

• 桿件 $CD$：
• 頂端 $D$ 點受已知水平外力 $P = 6\text{ kN}$（向右）。
• 底端 $C$ 點承受桿件 $AB$ 施加之銷反力 $C_x$（向左）與 $C_y$（向上）。
• 桿件 $AB$：
• $A$ 點受支承反力 $A_x, A_y$。
• $B$ 點受搖塊反力 $B_y$。

核心觀念

本題屬於工程力學（動力學）中「質點碰撞與功能原理」之綜合應用題型，主要涵蓋兩大核心力學原理：

1. 動量守恆定律（Conservation of Linear Momentum）： 在兩車對頭撞擊的極短時間內（$\Delta t \to 0$），車體間的作用撞擊力遠大於路面所提供的滑動摩擦力（非衝量力），故系統在撞擊方向上的總線動量守恆： $\sum \vec{P}_{\text{撞擊前}} = \sum \vec{P}_{\text{撞擊後}}$
2. 功能原理（Work-Energy Principle）或運動學滑行減速： 撞擊結束瞬間煞車完全鎖死，兩車分別在平直路面上受滑動摩擦力作負功而減速至停止。由功能定理： $\Delta T = W_{nc} \implies 0 - \frac{1}{2} m (v')^2 = - f_k \cdot d$ 其中滑動摩擦力 $f_k = \mu_k N = \mu_k m g$，滑動距離為 $d$。可推得車輛在撞擊後瞬間之速率與滑動距離的關係式為： $v' = \sqrt{2 \mu_k g d}$

解題方法

本題題文字面未附數值標記，依考卷原卷圖形（取材自工程力學經典碰撞題型）所示，兩車於 $C$ 點對頭撞擊後皆向左側滑行至停止，$A$ 車向左滑行停止距離為 $d_A = 6\ \mathrm{m}$，$B$ 車向左滑行停止距離為 $d_B = 1.5\ \mathrm{m}$。

解題切入點採用「時間逆推法」，分兩階段進行解析：

階段一：撞擊後煞車鎖死至完全停止（功能原理）

定義水平向右為正（即 $A$ 車撞擊前的行駛方向），向左為負。 重力加速度取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，滑動摩擦係數 $\mu_k = 0.30$。 路面正向力為 $N = mg$，滑動摩擦力大小為： $f_k = \mu_k mg = 0.30 \times 9.81 m = 2.943 m\ \mathrm{N}$ 等效煞車減速度大小為： $a = \frac{f_k}{m} = \mu_k g = 0.30 \times 9.81 = 2.943\ \mathrm{m/s^2}$

1. $A$ 車撞擊後瞬間速率 $v'_A$： $A$ 車向左滑行距離 $d_A = 6\ \mathrm{m}$ 停止： $|v'_A| = \sqrt{2 \mu_k g d_A} = \sqrt{2 \times 2.943 \times 6} = \sqrt{35.316} \approx 5.943\ \mathrm{m/s}$ 換算為公制車速單位： $|v'_A| = 5.943 \times 3.6 \approx 21.39\ \mathrm{km/h}$ 因其向左滑行，向量速度為 $\vec{v}'_A = -5.943\ \mathrm{m/s}$（或 $-21.39\ \mathrm{km/h}$）。

2. $B$ 車撞擊後瞬間速率 $v'_B$： $B$ 車向左滑行距離 $d_B = 1.5\ \mathrm{m}$ 停止：

核心觀念

本題屬於剛體動力學中的平面運動運動學與功能原理（Work-Energy Principle）​之綜合應用題，核心觀念包含：

1. 剛體速度瞬心（Instantaneous Center of Zero Velocity, IC）：桿件 $AB$ 的兩端分別受限於水平線與垂直溝槽移動，可利用兩端速度垂直線的交點求得瞬心，進而建立桿件角速度 $\omega$、質心速度 $v_G$ 及兩端點速度的關係。
2. 純滾動運動學與迴轉半徑：齒輪在固定齒條上作純滾動（無滑動），其接觸點為齒輪之速度瞬心，齒輪中心速度 $v_A$ 與齒輪角速度 $\omega_G$ 滿足 $v_A = r\omega_G$；慣性矩由迴轉半徑定義為 $I_A = m_G k_G^2$。
3. 剛體動能公式：

• 繞質心平移加旋轉：$T = \frac{1}{2}m v_G^2 + \frac{1}{2}\bar{I}\omega^2$。
• 繞瞬心純旋轉：$T = \frac{1}{2}I_{IC}\omega^2$。

4. 功與能量守恆：系統各接觸面無摩擦且齒輪為純滾動（靜摩擦力不作功），僅有重力作功，機械能守恆： $T_1 + V_1 = T_2 + V_2 \implies T_2 = W_{1\to 2}$

解題方法

1. 幾何與運動學分析

設垂直導槽為 $y$ 軸，齒輪於水平齒條上滾動，齒輪中心 $A$ 沿水平線運動（高度 $y_A$ 維持常數）。 桿件長度 $L = 320\ \mathrm{mm} = 0.32\ \mathrm{m}$，傾角 $\theta$ 為桿件與水平線之夾角。

• $A$ 點水平位置：$x_A = L \cos\theta$
• $B$ 點垂直位置：$y_B = y_A + L \sin\theta$

因 $A$ 點速度 $\vec{v}_A$ 為水平方向、$B$ 點速度 $\vec{v}_B$ 為垂直方向：

• 過 $A$ 點作 $\vec{v}_A$ 的垂線（垂直線 $x = x_A$）
• 過 $B$ 點作 $\vec{v}_B$ 的垂線（水平線 $y = y_B$） 兩線交點即為桿件 $AB$ 的速度瞬心 $C = (x_A, y_B)$。

設桿件 $AB$ 之角速度為 $\omega$：

• $A$ 點速度： $v_A = \omega \cdot \overline{AC} = \omega (L \sin\theta)$
• 桿件質心 $G$ 為 $AB$ 中點，由直角三角形幾何性質，瞬心 $C$ 到斜邊中點 $G$ 之距離恆為： $\overline{GC} = \frac{L}{2}$ 故質心速度大小為： $v_G = \omega \cdot \overline{GC} = \frac{L}{2}\omega$

齒輪作純滾動，節圓半徑 $r = 80\ \mathrm{mm} = 0.08\ \mathrm{m}$，接觸點為齒輪瞬心： $\omega_G = \frac{v_A}{r} = \frac{L \sin\theta}{r}\omega$

2. 系統動能計算

系統總動能 $T = T_{\text{gear}} + T_{AB}$。

(1) 齒輪動能 $T_{\text{gear}}$： 齒輪質量 $m_G = 5\ \mathrm{kg}$，迴轉半徑 $k_G = 60\ \mathrm{mm} = 0.06\ \mathrm{m}$。 對軸心 $A$ 之轉動慣量為 $I_A = m_G k_G^2$。 $T_{\text{gear}} = \frac{1}{2}m_G v_A^2 + \frac{1}{2}I_A \omega_G^2 = \frac{1}{2}m_G v_A^2 \left(1 + \frac{k_G^2}{r^2}\right)$ 代入數值： $1 + \frac{k_G^2}{r^2} = 1 + \left(\frac{0.06}{0.08}\right)^2 = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$ $T_{\text{gear}} = \frac{1}{2}(5)\left(\frac{25}{16}\right) v_A^2 = \frac{125}{32} v_A^2$ 將 $v_A = L \sin\theta \, \omega$ 代入（$L^2 = 0.32^2 = 0.1024\ \mathrm{m^2}$）： $T_{\text{gear}} = \frac{125}{32} (0.1024) \sin^2\theta \, \omega^2 = 0.4 \sin^2\theta \, \omega^2$

核心觀念

1. 熱應力與超靜定結構（Thermal Stress & Statically Indeterminate Member）：

• 均勻桿件在無約束狀態下受熱會自由膨脹而不產生應力；但若兩端受剛性壁面固定約束，膨脹受阻，桿件內部即會產生反抗拘束之內力與熱應力。
• 溫度升高造成受壓（壓應力 $\sigma < 0$），溫度降低造成受拉（拉應力 $\sigma > 0$）。

2. 位置相依之非均勻溫度分布膨脹量：

• 溫升隨軸向位置變化為 $\Delta T(x)$ 時，長度微元 $dx$ 的自由熱膨脹變形為 $d\delta_T = \alpha \Delta T(x)\, dx$。
• 全長自由熱膨脹量為積分： $\delta_T = \int_0^L \alpha \Delta T(x)\, dx$

3. 變形諧和條件（Compatibility Condition）：

• 兩端為剛性支承（固定端），故管件兩端之總相對位移量必為零： $\delta = \delta_T - \delta_F = 0$ 其中 $\delta_F$ 為兩端反力（軸向壓力 $P$）所引致的彈性壓縮變形量： $\delta_F = \frac{P L}{A E} = \frac{\sigma L}{E}$
• 由變形諧和條件可直接求得軸向應力 $\sigma$。

解題方法

步驟一：整理已知條件與幾何性質

• 彈性模數：$E = 200\ \mathrm{GPa} = 200 \times 10^3\ \mathrm{MPa}$
• 熱膨脹係數：$\alpha = 12 \times 10^{-6}\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}$
• 管件長度：$L = 2.4\ \mathrm{m}$
• 管件內直徑：$d_i = 50\ \mathrm{mm}$，壁厚：$t = 4\ \mathrm{mm}$
• 管件外直徑：$d_o = d_i + 2t = 50 + 2(4) = 58\ \mathrm{mm}$
• 截面積 $A$（供受力計算）： $A = \frac{\pi}{4}\left(d_o^2 - d_i^2\right) = \frac{\pi}{4}\left(58^2 - 50^2\right) = 216\pi\ \mathrm{mm}^2 \approx 678.58\ \mathrm{mm}^2$

步驟二：計算自由熱膨脹伸長量 $\delta_T$

• 溫度上升分布函數為 $\Delta T(x) = (20 + 30x)^\circ\mathrm{C}$，其中 $x$ 之單位為 $\mathrm{m}$。
• 全管自由熱膨脹量為： $\delta_T = \int_0^L \alpha \Delta T(x)\, dx = \alpha \int_0^{2.4} (20 + 30x)\, dx$
• 計算定積分： $\int_0^{2.4} (20 + 30x)\, dx = \left[ 20x + 15x^2 \right]_0^{2.4} = 20(2.4) + 15(2.4)^2 = 48 + 86.4 = 134.4\ {}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}$
• 代入熱膨脹係數 $\alpha$： $\delta_T = (12 \times 10^{-6}) \times 134.4 = 1.6128 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.6128\ \mathrm{mm}$

步驟三：建立變形諧和方程式求解軸向應力

• 設端點受拘束產生的軸向支承反力為 $P$（壓力），其在管件內所產生的軸向應力大小為 $\sigma = \frac{P}{A}$。
• 支承反力所造成的彈性壓縮量為：

核心觀念

本題屬於材料力學中「簡支梁受對稱橫向載重」之撓度與彎曲應力分析，涵蓋以下核心理論與公式：

1. 中空圓管截面幾何特性：

• 慣性矩（Area Moment of Inertia）： $I = \frac{\pi}{64} (d_o^4 - d_i^4)$
• 截面係數（Section Modulus）： $Z = \frac{I}{c} = \frac{\pi (d_o^4 - d_i^4)}{32 d_o}$ 其中 $d_o$ 為外直徑，$d_i = d_o - 2t$ 為內直徑，$c = d_o / 2$ 為外半徑。

2. 純彎曲與彎曲應力公式（Flexure Formula）： $\sigma_{\max} = \frac{M_{\max} c}{I} = \frac{M_{\max}}{Z}$
3. 對稱載重簡支梁之撓度推導（梁撓曲微分方程或力矩面積法）： 兩對稱集中載重 $P$ 分別距兩端支承 $a$ 時，全跨中央處之最大撓度公式為： $\delta_{\max} = \frac{P a}{24 E I} (3L^2 - 4a^2)$

解題方法

步驟一：幾何性質與截面二次矩計算

• 外直徑 $d_o = 75\ \mathrm{mm} = 0.075\ \mathrm{m}$
• 壁厚 $t = 3\ \mathrm{mm} = 0.003\ \mathrm{m}$
• 內直徑 $d_i = d_o - 2t = 75 - 2(3) = 69\ \mathrm{mm} = 0.069\ \mathrm{m}$
• 最外緣半徑 $c = \frac{d_o}{2} = 37.5\ \mathrm{mm} = 0.0375\ \mathrm{m}$

計算截面慣性矩 $I$： $d_o^4 = (75)^4 = 31,640,625\ \mathrm{mm^4}$ $d_i^4 = (69)^4 = 22,667,121\ \mathrm{mm^4}$ $d_o^4 - d_i^4 = 31,640,625 - 22,667,121 = 8,973,504\ \mathrm{mm^4}$ $I = \frac{\pi}{64} (8,973,504) = 140,211 \pi\ \mathrm{mm^4} \approx 4.40486 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$

截面係數 $Z$： $Z = \frac{I}{c} = \frac{140,211 \pi}{37.5} = 3,738.96 \pi\ \mathrm{mm^3} \approx 1.17463 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3}$

步驟二：外力與反力平衡分析

• 運動員體重 $m = 75\ \mathrm{kg}$。 取標準重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 數值併記於後）： $W = mg = 75 \times 9.81 = 735.75\ \mathrm{N} \quad (\text{若 } g = 9.8\ \mathrm{m/s^2} \text{ 則 } W = 735\ \mathrm{N})$
• 運動員兩手均勻懸吊，每隻手之載重： $P = \frac{W}{2} = 367.875\ \mathrm{N} \quad (\text{若 } g = 9.8\ \mathrm{m/s^2} \text{ 則 } P = 367.5\ \mathrm{N})$
• 幾何尺寸：
• 兩端支承間總跨長 $L = 0.9 + 0.45 + 0.9 = 2.25\ \mathrm{m}$
• 兩手載重位置距兩端支承均為 $a = 0.9\ \mathrm{m}$
• 由對稱性，支承反力： $R_A = R_B = P = 367.875\ \mathrm{N}$

步驟三：最大彎矩與最大彎曲應力

由剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）分析：

• 在 $0 \le x \le 0.9\ \mathrm{m}$ 區間，彎矩由 $0$ 線性增至 $M = P a$。
• 在兩手之間 $0.9\ \mathrm{m} \le x \le 1.35\ \mathrm{m}$ 區間，剪力 $V = 0$，為純彎曲段，彎矩維持全跨最大常數值： $M_{\max} = P a = 367.875 \times 0.9 = 331.0875\ \mathrm{N\cdot m} \quad (\text{若 } g = 9.8\ \mathrm{m/s^2} \text{ 則 } M_{\max} = 330.75\ \mathrm{N\cdot m})$

代入彎曲應力公式： $\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{Z} = \frac{331.0875}{1.17463 \times 10^{-5}} \approx 2.8186 \times 10^7\ \mathrm{Pa} = 28.19\ \mathrm{MPa}$ （若取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$，則 $\sigma_{\max} = \frac{330.75}{1.17463 \times 10^{-5}} \approx 28.16\ \mathrm{MPa}$）

步驟四：最大撓曲變形推導與計算

本題為對稱結構，最大撓度發生在跨度中央 $x = \frac{L}{2} = 1.125\ \mathrm{m}$。