107 地方特考三等 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題為經典的線性控制系統分析綜合題，核心觀念包含以下五項：

1. 靜態誤差係數（Static Error Coefficients）：針對單位負迴授系統（$H(s)=1$），靜態速度誤差係數定義為 $K_v = \lim_{s\to 0} s G(s)$，用以衡量系統對單位斜坡輸入（ramp input）之穩態誤差能力。
2. 零度根軌跡（$0^\circ$ Root Locus / Complementary Root Locus）：一般根軌跡係探討 $K \geq 0$（$180^\circ$ 根軌跡）；本題特別限定 $K \leq 0$，對應於負增益或正迴授形式，閉迴路特徵方程式之相角條件變為 $\angle G(s) = 2k\pi = 0^\circ \pmod{360^\circ}$。複數極點之離開角（departure angle $\theta_d$）須由 $0^\circ$ 相角條件推導。
3. 根軌跡繪製法則（Rules for $0^\circ$ Root Locus）：實軸上的根軌跡存在於「右方實數極點與零點總數為偶數」之區間；漸近線夾角為 $\theta_a = \frac{2k\pi}{n-m}$；與虛軸之交點則可藉由令 $s=j\omega$ 代入特徵方程式求得。
4. 羅氏穩定性法則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）：閉迴路系統 BIBO 穩定的充要條件為羅氏表第一行所有元素皆同號（全為正值）。
5. 非最小相位零點與穩定性必要條件：當 $a < 0$ 為有限負實數時，零點位於右半平面（RHP）。多項式為 Hurwitz 穩定的必要條件之一為「所有項次之係數皆嚴格同號且非零」。

解題方法

由題意，系統為單位負迴授系統（$H(s) = 1$），誤差信號為 $E(s) = R(s) - C(s)$。各方塊串聯於前向路徑，開迴路轉移函數為： $G(s) = \frac{K\left(\frac{s}{a}+1\right)}{\left(0.5s^2+s\right)\left(s^2+2s+2\right)} = \frac{K\left(\frac{s}{a}+1\right)}{0.5s(s+2)(s^2+2s+2)}$

當 $a \to \infty$ 時，補償項 $\left(\frac{s}{a}+1\right) \to 1$，開迴路轉移函數簡化為： $G(s) = \frac{K}{0.5s(s+2)(s^2+2s+2)} = \frac{2K}{s(s+2)(s^2+2s+2)}$ 開迴路極點共有 4 個（$n=4$）：$p_1 = 0$、$p_2 = -2$、$p_{3,4} = -1 \pm j$；無有限開迴路零點（$m=0$）。

(一) 靜態速度誤差係數 $K_v$

依定義計算靜態速度誤差係數： $K_v = \lim_{s\to 0} s G(s) = \lim_{s\to 0} s \cdot \frac{K}{s(0.5s+1)(s^2+2s+2)} = \lim_{s\to 0} \frac{K}{(0.5s+1)(s^2+2s+2)}$ 代入 $s = 0$： $K_v = \frac{K}{(1)(2)} = \frac{K}{2}$

(二) 根軌跡圖之離開角（Departure Angle）

系統無有限零點，故無進入角（arrival angle），僅需計算共軛複數極點 $p_{3,4} = -1 \pm j$ 之離開角 $\theta_d$。 因題目給定 $K \leq 0$，相角條件為 $0^\circ$ 根軌跡條件： $\angle G(s) = -\angle(s-p_1) - \angle(s-p_2) - \angle(s-p_3) - \angle(s-p_4) = 0^\circ + k \cdot 360^\circ$

考慮位於上半平面之極點 $p_3 = -1 + j$，令點 $s$ 無限接近 $p_3$，則 $\angle(s-p_3) = \theta_d$。離開角計算式為： $\theta_d = -\sum_{p_i \neq p_3} \angle(p_3 - p_i) + k \cdot 360^\circ$

分別計算其餘三極點至 $p_3$ 之向量夾角：

1. 極點 $p_1 = 0$ 至 $p_3$： $p_3 - p_1 = -1 + j \implies \angle(p_3 - p_1) = 135^\circ$
2. 極點 $p_2 = -2$ 至 $p_3$： $p_3 - p_2 = (-1+j) - (-2) = 1 + j \implies \angle(p_3 - p_2) = 45^\circ$
3. 極點 $p_4 = -1 - j$ 至 $p_3$： $p_3 - p_4 = (-1+j) - (-1-j) = 2j \implies \angle(p_3 - p_4) = 90^\circ$

角度總和： $\sum_{p_i \neq p_3} \angle(p_3 - p_i) = 135^\circ + 45^\circ + 90^\circ = 270^\circ$

因此，$p_3 = -1+j$ 的離開角為： $\theta_d = -270^\circ + 360^\circ = +90^\circ$ 由實軸對稱性，共軛極點 $p_4 = -1-j$ 的離開角為： $\theta_d' = -\theta_d = -90^\circ \quad (\text{或 } 270^\circ)$

(三) 繪製根軌跡圖與虛軸交點分析

1. 實軸上的根軌跡： 在 $0^\circ$ 根軌跡法則中，實軸上某點若其右側之實軸極點與零點總數為「偶數」，則該區間屬於根軌跡：

• $\sigma \in [0, \infty)$：右側無極點（0 個，偶數），故 $[0, \infty)$ 位於根軌跡上。
• $\sigma \in (-2, 0)$：右側有 1 個實極點（奇數），故此區間不屬於根軌跡。
• $\sigma \in (-\infty, -2]$：右側有 2 個實極點（偶數），故 $(-\infty, -2]$ 位於根軌跡上。

2. 漸近線（Asymptotes）：

• 極點數 $n=4$，零點數 $m=0$，漸近線分支數為 $4$。
• 漸近線夾角（$0^\circ$ 根軌跡）： $\theta_a = \frac{2k\pi}{4} = 0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ,\ 270^\circ \quad (k=0,1,2,3)$
• 漸近線交點（重心）： $\sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_i}{n-m} = \frac{0 + (-2) + (-1+j) + (-1-j) - 0}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

3. 複數極點之軌跡走勢： 複數極點 $p_{3,4} = -1 \pm j$ 之離開角恰為 $\pm 90^\circ$，且漸近線垂直線亦座落於 $\sigma_a = -1$。代入 $s = -1 + j\omega$ 檢驗可知，當 $\omega \geq 1$ 時，分母為純實數且相角恰為 $0^\circ$。因此，由 $-1 \pm j$ 出發的兩條分支恰沿直線 $\text{Re}(s) = -1$ 分別垂直向上與向下朝 $-1 \pm j\infty$ 延伸。

4. 根軌跡示意圖：

 jω
 ↑
 | ↑ (朝 -1 + j∞)
 | |
 -1+j x |
 | |
 ←---------+--x----------x--------→ σ
 (-∞, -2] -1 -2 0 [0, ∞)
 | |
 -1-j x |
 | |
 | ↓ (朝 -1 - j∞)

5. 與虛軸交點分析： 閉迴路特徵方程式為 $1 + G(s) = 0$： $s^4 + 4s^3 + 6s^2 + 4s + 2K = 0$ 令 $s = j\omega$ 代入特徵方程式： $(j\omega)^4 + 4(j\omega)^3 + 6(j\omega)^2 + 4(j\omega) + 2K = 0$ $\left(\omega^4 - 6\omega^2 + 2K\right) + j\left(-4\omega^3 + 4\omega\right) = 0$ 令虛部為零： $-4\omega(\omega^2 - 1) = 0 \implies \omega = 0 \quad \text{或} \quad \omega = \pm 1$

核心觀念

本題考查電動車用輪轂直流馬達（Hub Motor）之機電整合建模、物理參數實驗量測及閉迴路速度控制系統分析，核心觀念包含：

1. 電樞電路動態與克希荷夫電壓定律（KVL）：直流馬達電樞迴路由電樞電阻 $R_a$、電樞電感 $L_a$ 與感應反電動勢 $E_a$ 串聯組成，建立輸入電壓 $U_a$ 與輸出電流 $I_a$ 的一階電氣微分方程式。
2. 轉動慣量（Moment of Inertia）之靜態幾何綜合法：在缺乏計時設備（無法進行擺動週期動態測試）的條件下，依據轉動慣量之幾何定義 $J = \int r^2 dm$，將轉動組件拆解、稱重並量測幾何尺寸，利用標準幾何剛體轉動慣量公式求和。
3. 一階系統自由衰減與時間常數（Coast-down Test）：無驅動力作用下，旋轉機械系統受黏滯摩擦阻尼衰減，角速度隨時間呈指數衰減 $\omega(t) = \omega_0 e^{-t/T_m}$，由轉速降至初速之 $e^{-1} \approx 36.8\%$ 所需時間即可直接判定時間常數 $T_m = J_m / B_m$。
4. 機電轉換與閉迴路速度控制方塊圖：整合電氣方程式、電磁轉矩方程式（$T_e = K_t I_a$）、機械旋轉動力學方程式（牛頓第二運動定律）、反電動勢效應（$E_a = K_b \Omega$），並導入車輪半徑 $R$ 之線速度（$\text{m/sec}$）與角速度（$\text{rad/sec}$）、旋轉轉速（$\text{rpm}$）之單位轉換環節，建立完整轉移函數方塊圖。

解題方法

(一) 推導輸入電樞電壓 $U_a$、反電動勢 $E_a$ 與輸出電樞電流 $I_a$ 之轉移函數方塊圖

1. 時域微分方程式： 根據克希荷夫電壓定律（KVL），電樞迴路方程式為： $u_a(t) - e_a(t) = R_a i_a(t) + L_a \frac{d i_a(t)}{dt}$ 其中：

• $u_a(t)$：輸入電樞電壓（Volt）
• $e_a(t)$：馬達反電動勢（Volt）
• $i_a(t)$：電樞電流（Ampere）
• $R_a$：電樞電阻（$\Omega$）
• $L_a$：電樞電感（$\text{H}$）

2. 拉氏轉換（假設零初始條件）： $U_a(s) - E_a(s) = (L_a s + R_a) I_a(s)$

3. 轉移函數推導： 以淨電樞電壓 $\Delta U(s) = U_a(s) - E_a(s)$ 為激勵，$I_a(s)$ 為響應： $I_a(s) = \frac{1}{L_a s + R_a} [U_a(s) - E_a(s)]$ 轉移函數為： $\frac{I_a(s)}{U_a(s) - E_a(s)} = \frac{1}{L_a s + R_a}$

4. 方塊圖表示： 訊號流程為：輸入 $U_a(s)$ 與反電動勢 $E_a(s)$ 經由加法器（比較點）相減，產生誤差電壓 $\Delta U(s)$，再經過前向方塊 $\frac{1}{L_a s + R_a}$，輸出為電樞電流 $I_a(s)$。

U_a(s) (+) ---> ( + ) ----[ U_a(s) - E_a(s) ]----> [ 1 / (L_a*s + R_a) ] ---> I_a(s)
^ (-)
|
E_a(s)

(二) 在僅有拆卸工具、重量計與量尺的條件下，量測慣性矩 $J_m$

由於量測設備中無計時器，無法採用單擺、三線擺或扭擺之動態振盪週期法，故採用幾何尺寸與零件秤重綜合法（Geometric Decomposition Method）：

1. 拆解旋轉組件： 使用拆卸工具將輪轂馬達車輪由車架卸下，並分離「旋轉部分」（外轉子軛環、外轉子永磁鐵、輪圈、鋼絲/輪輻、外胎與內胎）與「靜止部分」（固定心軸、內部定子鐵心與線圈、電樞接線等）。
2. 量測旋轉零件質量： 使用重量計依序秤得各旋轉部件之質量 $m_i$（例如：胎皮質量 $m_{\text{tire}}$、輪框質量 $m_{\text{rim}}$、外轉子殼體質量 $m_{\text{rotor}}$ 等）。
3. 量測旋轉半徑與幾何尺寸： 使用量尺測量各旋轉部件相對於車輪軸心之幾何尺寸：

• 胎面等效半徑 $R$
• 輪框之內半徑 $r_{1}$ 與外半徑 $r_{2}$
• 外轉子磁極環之內半徑 $r_{3}$ 與外半徑 $r_{4}$

4. 計算各旋轉部件對主軸之轉動慣量： 將各部件幾何外形簡化為工程標準剛體幾何：

• 薄圓環（如輪胎胎面）：$J_1 = m_{\text{tire}} R^2$
• 厚壁圓筒/厚圓環（如輪框、轉子軛環）：$J_i = \frac{1}{2} m_i (r_{\text{in}, i}^2 + r_{\text{out}, i}^2)$
• 對稱圓盤或輪輻：依相應剛體轉動慣量公式計算。

5. 累加求取總慣性矩： 根據旋轉軸同軸之疊加原理，將所有繞主旋轉軸轉動之零件慣性矩相加，即得車輪總慣性矩： $J_m = \sum_{i} J_i$

(三) 在僅有轉速計與計時器的條件下，求取無馬達作用時之車輪時間常數 $T_m$

無馬達作用指電樞斷電（$U_a = 0$ 且電路開路，無電磁轉矩與電氣制動），車輪旋轉僅受機械黏滯摩擦阻尼力矩 $T_f(t) = B_m \omega(t)$ 影響。

1. 系統運動方程式： $J_m \frac{d\omega(t)}{dt} + B_m \omega(t) = 0 \implies \frac{d\omega(t)}{dt} + \frac{B_m}{J_m}\omega(t) = 0$ 其中機械時間常數定義為 $T_m = \frac{J_m}{B_m}$。
2. 自由減速響應（Coast-down Test）： 求解上述一階齊次常微分方程式，得角速度隨時間之關係： $\omega(t) = \omega_0 e^{-\frac{t}{T_m}} \quad \text{或換算為轉速} \quad N(t) = N_0 e^{-\frac{t}{T_m}}$ 其中 $N_0$ 為初轉速（$\text{rpm}$）。
3. 實驗量測步驟：

• 步驟 1：將車輪架空（脫離地面負荷），以外力或短暫通電使車輪加速至某一穩定轉速 $N_0$。
• 步驟 2：在切斷驅動力矩瞬間，以轉速計測得初始轉速 $N_0$，並同時啟動計時器開始計時。
• 步驟 3（特徵值法）：持續觀測轉速計，當轉速下降至初速之 $e^{-1} \approx 36.8\%$（即 $N(t) = 0.368 N_0$）時，按下計時器停止，此時計時器記錄的經過時間 $t_1$ 即為車輪時間常數： $T_m = t_1$
• 替代步驟（任意點計算）：若難以精確捕捉 $36.8\%$ 瞬間，可任選一時間點 $t_1$ 讀取對應轉速 $N_1$，代入下式計算： $T_m = \frac{t_1}{\ln(N_0 / N_1)}$

(四) 推導輸入速度命令（m/sec）與輸出車輪轉速（rpm）間之轉移函數方塊圖

1. 系統物理參數與變數定義：

• $v_{\text{ref}}(t)$：輸入速度命令（$\text{m/sec}$），拉氏轉換為 $V_{\text{ref}}(s)$
• $N(t)$：輸出車輪轉速（$\text{rpm}$），拉氏轉換為 $N(s)$
• $\omega(t)$：車輪旋轉角速度（$\text{rad/sec}$），拉氏轉換為 $\Omega(s)$
• $R$：車輪有效滾動半徑（$\text{m}$）
• $G_c(s)$：速度控制器（Speed Controller）
• $K_t$：馬達轉矩常數（$\text{N}\cdot\text{m/A}$）
• $K_b$：反電動勢常數（$\text{V}/(\text{rad/sec})$）
• $J_m$：車輪等效慣性矩（$\text{kg}\cdot\text{m}^2$）
• $B_m$：旋轉黏滯摩擦阻尼係數（$\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s/rad}$）

2. 單位轉換與運動學關係：

• 線速度與角速度關係： $v(t) = R \omega(t) \iff V(s) = R \Omega(s)$
• 轉速與角速度換算關係： $N(t) = \frac{60}{2\pi} \omega(t) \iff N(s) = \frac{60}{2\pi} \Omega(s) \implies \Omega(s) = \frac{2\pi}{60} N(s)$
• 車輛線速度與車輪轉速之關係： $V(s) = R \left(\frac{2\pi}{60}\right) N(s) = \frac{2\pi R}{60} N(s)$

核心觀念

本題評量古典控制理論中頻域分析與系統穩定度的三大核心基石：

1. 直流增益（DC Gain）之定義：系統轉移函數在複數頻率 $s = 0$（即穩態常數輸入）時之數值比值。
2. 波德圖（Bode Diagram）之繪製：

• 將開迴路轉移函數化為波德標準式（時間常數式），求得各零點與極點之轉折頻率（Corner frequencies）。
• 特別注意非最小相位項（右半平面極點，RHP pole）​與負直流增益對幅值漸近線及相位角的個別影響：
• 右半平面極點 $(s - a)$ 與左半平面極點 $(s + a)$ 之幅值漸近線斜率變化相同（均為 $-20\text{ dB/dec}$）。
• 右半平面極點在分母時，其相角隨頻率增加而超前（$+ \tan^{-1}(\omega/a)$），且伴隨基底相位偏移。

3. 奈氏穩定性法則（Nyquist Stability Criterion）：

• 閉迴路右半平面極點數 $Z = P - N$。
• $P$ 為開迴路位於右半平面之極點數。
• $N$ 為奈氏圖對關鍵點 $(-1, j0)$ 之逆時針包圍圈數。
• 系統閉迴路穩定之充要條件為 $Z = 0$。

解題方法

(一) 說明轉移函數 $G(s)$ 之直流增益（DC Gain）

1. 定義與計算： 直流增益代表系統在零頻率（$\omega = 0$ 或 $s = 0$）時的穩態增益值： $G(0) = \lim_{s \to 0} G(s) = \frac{4000(5\cdot 0 + 1)}{(0 + 2)(0 - 100)(0 + 2000)}$ 分母各項乘積為： $2 \times (-100) \times 2000 = -400000$ 代入得： $G(0) = \frac{4000}{-400000} = -\frac{1}{100} = -0.01$

2. 物理與幾何意義：

• 大小（Magnitude）：$|G(0)| = 0.01$，換算為分貝值為 $20\log_{10}(0.01) = -40\text{ dB}$。
• 正負號與相位：由於 $G(0) = -0.01 < 0$ 為負實數，表示直流訊號通過系統後振幅衰減為原來的 $\frac{1}{100}$，且極性反向（相當於產生 $-180^\circ$ 或 $+180^\circ$ 的靜態相位差）。

(二) 繪製轉移函數 $G(s)$ 之波德圖（頻率範圍 $10^{-1} \sim 10^4\ \text{rad/sec}$）

1. 改寫為波德標準式： 將 $G(s)$ 各因子提取常數項，化為 $(1 \pm \tau s)$ 形式： $G(s) = \frac{4000(1 + 5s)}{2\left(1 + \frac{s}{2}\right) \cdot (-100)\left(1 - \frac{s}{100}\right) \cdot 2000\left(1 + \frac{s}{2000}\right)}$ $G(s) = -0.01 \frac{1 + 5s}{(1 + 0.5s)(1 - 0.01s)(1 + 0.0005s)}$

2. 轉折頻率（Corner Frequencies）分析： 由低頻至高頻排列：

• 零點：$\omega_{z1} = \frac{1}{5} = 0.2\ \text{rad/sec}$（位於左半平面 $s = -0.2$）
• 極點 1：$\omega_{p1} = 2\ \text{rad/sec}$（位於左半平面 $s = -2$）
• 極點 2：$\omega_{p2} = 100\ \text{rad/sec}$（位於右半平面 $s = +100$，非最小相位極點）
• 極點 3：$\omega_{p3} = 2000\ \text{rad/sec}$（位於左半平面 $s = -2000$）

3. 幅值圖（Magnitude Plot）漸近線分析：

• 低頻基線（$\omega < 0.2\ \text{rad/sec}$）：幅值為常數增益之大小，即 $20\log_{10}|-0.01| = -40\text{ dB}$，斜率為 $0\text{ dB/dec}$。
• $\omega = 0.2\ \text{rad/sec}$：通過一階零點，斜率增加 $+20\text{ dB/dec}$，轉為 $+20\text{ dB/dec}$。
• $\omega \in [0.2, 2]\ \text{rad/sec}$：以 $+20\text{ dB/dec}$ 上升。由 $0.2$ 至 $2$ 剛好跨越 $1$ 個 decade，幅值上升 $20\text{ dB}$，至 $\omega = 2$ 時到達 $-40 + 20 = -20\text{ dB}$。
• $\omega = 2\ \text{rad/sec}$：通過一階極點，斜率減少 $20\text{ dB/dec}$，轉為 $0\text{ dB/dec}$。
• $\omega \in [2, 100]\ \text{rad/sec}$：維持水平平坦，幅值保持在 $-20\text{ dB}$。
• $\omega = 100\ \text{rad/sec}$：通過右半平面一階極點 $(s - 100)$。其模值 $|j\omega - 100| = \sqrt{\omega^2 + 100^2}$ 與左半平面極點無異，故斜率減少 $20\text{ dB/dec}$，轉為 $-20\text{ dB/dec}$。
• $\omega \in [100, 2000]\ \text{rad/sec}$：以 $-20\text{ dB/dec}$ 下降。由 $100$ 至 $2000$ 跨越 $\log_{10}(20) \approx 1.3\text{ decades}$，幅值下降約 $26\text{ dB}$，至 $\omega = 2000$ 時到達約 $-46\text{ dB}$。
• $\omega = 2000\ \text{rad/sec}$：通過一階極點，斜率再減少 $20\text{ dB/dec}$，轉為 $-40\text{ dB/dec}$。
• $\omega \in [2000, 10000]\ \text{rad/sec}$：以 $-40\text{ dB/dec}$ 下降，至 $\omega = 10^4$ 時約下降至 $-74\text{ dB}$。

幅值圖漸近線摘要表：

4. 相位圖（Phase Plot）分析： 令 $s = j\omega$，將各項相角展開：

• 常數負號 $-0.01$ 貢獻 $-180^\circ$。
• 零點 $(1 + 5s)$ 貢獻 $+\tan^{-1}(5\omega)$。
• 極點 $(s + 2)$ 貢獻 $-\tan^{-1}(0.5\omega)$。
• 極點 $(s - 100)$ 位於分母： $\angle(j\omega - 100) = 180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{100}\right)$ 位於分母時其貢獻為： $-\angle(j\omega - 100) = -180^\circ + \tan^{-1}(0.01\omega)$ 合併常數項相角後，整體相角公式為：

核心觀念

本題評量線性非時變（LTI）系統的核心基礎與時域／頻域分析能力，主要涵蓋四大觀念：

1. 奇異函數（Singularity Functions）之定義：狄拉克單位脈衝函數（Dirac Delta Function）$\delta(t)$ 之嚴格數學定義與面積（強度）正規化特性。
2. 拉式轉換（Laplace Transform）與極限運算：利用時間延遲性質（Time-shifting Property）及洛必達法則（L'Hôpital's Rule），證明脈衝函數可由兩組步階函數構成之矩形脈衝在寬度趨近於零時逼近而成。
3. LTI 系統之時域摺積（Convolution）與轉移函數：任何 LTI 系統對任意輸入之響應，可由脈衝響應（Impulse Response）透過摺積積分求得，對應至頻域即為乘積關係。
4. 實驗鑑別與模型有效性之限制條件：實際量測時間有限（$T = 100\ \text{sec}$）、初始條件限制（零狀態假設）及實體系統線性範圍（飽和、不失真區間）對響應預測之約束。

解題方法

(一) 單位脈衝函數 $\delta(t)$ 之定義

單位脈衝函數 $\delta(t)$（亦稱 Dirac Delta Function）為一廣義函數（Generalized Function / Distribution），在古典控制與信號系統中，其數學定義包含「值域特性」與「面積正規化」：

1. 函數值分布： $\delta(t) = 0, \quad \forall t \neq 0$ 在 $t = 0$ 處，函數值趨近於無限大（$\delta(0) \to \infty$）。
2. 總面積為 1（單位強度）： $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(t) \, dt = 1, \quad \forall \epsilon > 0$
3. 篩選性質（Sifting Property）： 若 $f(t)$ 於 $t = t_0$ 處連續，則： $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0)$

(二) 由拉式轉換證明兩個單位步階函數 $u_s(t)$ 可組成一單位脈衝 $\delta(t)$

1. 構造由兩個步階函數組成的矩形脈衝： 考慮一個高度為 $\frac{1}{\epsilon}$、寬度為 $\epsilon$（$\epsilon > 0$）的脈衝波形 $p_\epsilon(t)$，其面積恆等於 $1$。此波形可由兩個單位步階函數疊加構成： $p_\epsilon(t) = \frac{1}{\epsilon} \left[ u_s(t) - u_s(t - \epsilon) \right]$

2. 對 $p_\epsilon(t)$ 進行拉式轉換： 已知單位步階函數的拉式轉換為： $\mathcal{L}\{u_s(t)\} = \frac{1}{s}$ 利用時移性質（Time-shifting Property）： $\mathcal{L}\{u_s(t - \epsilon)\} = \frac{1}{s} e^{-\epsilon s}$ 因此，$p_\epsilon(t)$ 的拉式轉換為： $\mathcal{L}\{p_\epsilon(t)\} = \frac{1}{\epsilon} \left[ \frac{1}{s} - \frac{e^{-\epsilon s}}{s} \right] = \frac{1 - e^{-\epsilon s}}{\epsilon s}$

3. 取極限 $\epsilon \to 0$： 當寬度 $\epsilon \to 0$ 時，函數值在極限下即定義為單位脈衝函數 $\delta(t)$。對其轉換式取極限，並對變數 $\epsilon$ 套用洛必達法則（分子分母皆趨近於 $0$）： $\lim_{\epsilon \to 0} \mathcal{L}\{p_\epsilon(t)\} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1 - e^{-\epsilon s}}{\epsilon s} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\frac{\partial}{\partial \epsilon} (1 - e^{-\epsilon s})}{\frac{\partial}{\partial \epsilon} (\epsilon s)} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{s e^{-\epsilon s}}{s} = \lim_{\epsilon \to 0} e^{-\epsilon s} = 1$

4. 結論： 已知單位脈衝函數之拉式轉換為： $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$ 根據拉式轉換的一對一單射性（Uniqueness of Laplace Transform），得證： $\delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{u_s(t) - u_s(t - \epsilon)}{\epsilon}$ 即由兩個大小相同、方向相反、時間微小位移且幅值正規化的單位步階函數相減取極限，可構成單位脈衝函數。

(三) 線性非時變系統任意輸入 $r(t)$ 之輸出 $c(t)$ 計算

在線性非時變系統中，當輸入為單位脈衝 $r_1(t) = \delta(t)$ 時，獲得之輸出 $c_1(t)$ 即為該系統的「脈衝響應（Impulse Response）」，記為 $h(t) = c_1(t)$。

對於任意輸入 $r(t)$，可採用以下兩種等價方式計算輸出 $c(t)$：

1. 時域法：摺積積分（Convolution Integral） 根據疊加原理（Superposition）與非時變性（Time-invariance），任意輸入 $r(t)$ 之輸出為輸入信號與脈衝響應的摺積： $c(t) = r(t) * c_1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} r(\tau) c_1(t - \tau) \, d\tau$ 若系統具備因果性（Causal System，即 $t < 0$ 時 $c_1(t) = 0$），且輸入於 $t \geq 0$ 施加（$r(t) = 0, \forall t < 0$），積分式簡化為： $c(t) = \int_{0}^{t} r(\tau) c_1(t - \tau) \, d\tau = \int_{0}^{t} c_1(\tau) r(t - \tau) \, d\tau$

2. 頻域（$s$ 域）法：轉移函數代數乘積 對脈衝響應取拉式轉換獲得系統轉移函數 $G(s) = C_1(s) = \mathcal{L}\{c_1(t)\}$。 則輸出之拉式轉換為：