108 地方特考三等 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題考查將二階微分方程改寫成「加總器、增益方塊與積分方塊」組成的方塊圖。因為 $\ddot y(t)$ 經過一次積分得到 $\dot y(t)$，再經一次積分得到 $y(t)$，所以需串接兩個 $\frac{1}{s}$ 方塊。

解題方法

由題目方程式

整理成最高階導數：

因此，加總器將 $u(t)$ 作為正輸入，將 $2\dot y(t)$ 與 $2y(t)$ 作為負回授輸入；加總結果乘上 $\frac{1}{3}$，便得到 $\ddot y(t)$。之後串接兩個積分方塊，依序產生 $\dot y(t)$ 與 $y(t)$。

核心觀念

本題用到兩個牛頓力學關係：

• 轉動系統：合扭力等於轉動慣量乘角加速度，$\sum \tau=J\ddot{\theta}$。
• 平移系統：合力等於質量乘加速度，$\sum F=M\ddot{y}$。
• 軸承的黏滯阻尼扭力與角速度成正比，大小為 $B\dot{\theta}(t)$，方向與轉動方向相反。
• 繩索無質量、不可伸長，且與滑輪間不打滑，因此繩索位移與滑輪轉角滿足 $y(t)=R\theta(t)$。

以下依圖示取滑輪揚升方向為正，並令 $y(t)$ 向上為正。

（一）輸入扭力 $\tau(t)$ 至輸出角度 $\theta(t)$

對滑輪與轉軸使用轉動運動方程。輸入扭力用來克服軸承阻尼，並使轉動慣量產生角加速度：

整理得動態方程式：

假設初始條件為零，取拉氏轉換：

所以扭力至角度的轉移函數為：

（二）輸入扭力 $\tau(t)$ 至重物位置 $y(t)$

先對重物使用向上的力平衡。令繩索張力為 $T(t)$，則：

因此：

再對滑輪使用轉動運動方程。繩索張力對滑輪造成反向扭力 $T(t)R$，故：

由繩索約束：

代入轉動方程及 $T(t)=M\ddot{y}(t)+Mg$：

整理可得輸入力與輸出位置之間的動態方程式：

核心觀念

本題評量線性非時變（LTI）連續時間系統之波德圖（Bode plot）漸近線描繪，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 波德標準型式（Bode Canonical Form / 時間常數型式）： 將轉移函數轉換為常數項為 1 的形式： $G(s) = \frac{K \prod (1 + s/\omega_{zi})}{s^N \prod (1 + s/\omega_{pi}) \prod \left[1 + 2\zeta_k (s/\omega_{nk}) + (s/\omega_{nk})^2\right]}$ 以直接讀出直流增益 $K$、轉角頻率（Corner frequencies, $\omega_c$）與阻尼比 $\zeta$。
2. 二次多項式的極點性質判定： 依判別式判定二次項為兩相異實數極點（過阻尼 $\zeta > 1$）或共軛複數極點（欠阻尼 $\zeta < 1$）。
3. 幅值漸近線繪製法則：

• 低頻漸近線大小為 $20\log_{10} K\text{ dB}$，初始斜率由原點極/零點決定（本題無原點極/零點，初始斜率為 $0\text{ dB/dec}$）。
• 每通過一個一階極點 $\omega_p$，斜率變化 $-20\text{ dB/dec}$。
• 每通過一個一階零點 $\omega_z$，斜率變化 $+20\text{ dB/dec}$。
• 每通過一對二階共軛複數極點 $\omega_n$，斜率變化 $-40\text{ dB/dec}$。

4. 相位漸近線與高頻極限：

• 系統相位為各分子因子相位減去各分母因子相位之代數和。
• 高頻相位漸近極限為 $-(n - m) \times 90^\circ$，其中 $n$ 為極點數，$m$ 為零點數。

解題方法

步驟一：因式分解與轉移函數標準化

給定系統轉移函數： $G(s)=\frac{10\left(\frac{1}{10}s+1\right)}{\left(\frac{1}{20}s^2+\frac{21}{20}s+1\right)\left(\frac{1}{1600}s^2+\frac{1}{400}s+1\right)}$

1. 分母第一個二次項分解： $\frac{1}{20}s^2+\frac{21}{20}s+1 = \frac{s^2 + 21s + 20}{20} = \frac{(s+1)(s+20)}{20} = (1+s)\left(1+\frac{s}{20}\right)$ 可分解為兩個相異實數一階極點。
2. 分母第二個二次項判定： $\frac{1}{1600}s^2+\frac{1}{400}s+1 = \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2 + 2\zeta\left(\frac{s}{\omega_n}\right) + 1$

• 自然頻率：$\omega_n^2 = 1600 \implies \omega_n = 40\text{ rad/s}$
• 阻尼比：$\frac{2\zeta}{\omega_n} = \frac{1}{400} \implies 2\zeta = \frac{40}{400} = 0.1 \implies \zeta = 0.05 < 1$（為共軛複數極點）

將 $G(s)$ 整理為標準型式： $G(s) = \frac{10\left(1 + \frac{s}{10}\right)}{(1 + s)\left(1 + \frac{s}{20}\right)\left[1 + 2(0.05)\left(\frac{s}{40}\right) + \left(\frac{s}{40}\right)^2\right]}$

步驟二：確定增益與轉角頻率序列

• 系統直流增益：$K = 10 \implies 20\log_{10}(10) = 20\text{ dB}$
• 轉角頻率由低至高排列：

1. $\omega_{p1} = 1\text{ rad/s}$（一階實數極點）
2. $\omega_{z1} = 10\text{ rad/s}$（一階實數零點）
3. $\omega_{p2} = 20\text{ rad/s}$（一階實數極點）
4. $\omega_{n} = 40\text{ rad/s}$（二階共軛複數極點對，$\zeta = 0.05$）

步驟三：描繪幅值漸近線（Magnitude Plot）

幅值漸近線由折線構成，分段計算如下：

1. 區間 $\omega < 1\text{ rad/s}$：

• 斜率：$0\text{ dB/dec}$
• 幅值大小：$20\log_{10}(10) = 20\text{ dB}$

2. 區間 $1 \le \omega \le 10\text{ rad/s}$：

• 遇極點 $\omega_{p1} = 1\text{ rad/s}$，斜率變為 $0 - 20 = -20\text{ dB/dec}$
• 在 $\omega = 10\text{ rad/s}$ 處的幅值： $|G(j10)|_{\text{dB}} = 20 - 20\log_{10}\left(\frac{10}{1}\right) = 20 - 20 = 0\text{ dB}$

3. 區間 $10 \le \omega \le 20\text{ rad/s}$：

• 遇零點 $\omega_{z1} = 10\text{ rad/s}$，斜率變為 $-20 + 20 = 0\text{ dB/dec}$
• 幅值維持水平常數：$0\text{ dB}$
• 在 $\omega = 20\text{ rad/s}$ 處的幅值：$0\text{ dB}$

4. 區間 $20 \le \omega \le 40\text{ rad/s}$：

• 遇極點 $\omega_{p2} = 20\text{ rad/s}$，斜率變為 $0 - 20 = -20\text{ dB/dec}$
• 在 $\omega = 40\text{ rad/s}$ 處的幅值： $|G(j40)|_{\text{dB}} = 0 - 20\log_{10}\left(\frac{40}{20}\right) = -20\log_{10}(2) \approx -20 \times 0.301 = -6.02\text{ dB}$

5. 區間 $\omega \ge 40\text{ rad/s}$：

• 遇二階共軛極點 $\omega_{n} = 40\text{ rad/s}$，斜率變為 $-20 - 40 = -60\text{ dB/dec}$
• 自點 $(40\text{ rad/s}, -6.02\text{ dB})$ 起，以 $-60\text{ dB/dec}$ 斜率持續下降。

步驟四：描繪相位曲線（Phase Plot）

核心觀念

本題考奈氏穩定判據：在單位負回授下，開迴路傳遞函數為 $L(s)=KG(s)$，觀察奈氏圖是否包圍臨界點 $-1+j0$。本題的開迴路在原點有一個極點，作奈氏分析時須以小半圓繞過原點；閉迴路穩定範圍可再用特徵方程的 Routh 判據確認。

解題方法

依題目列出的傳遞函數，且依圖示採用增益 $K$ 與單位負回授：

令 $s=j\omega$，則

對 $\omega>0$，奈氏圖位於下半平面；$\omega<0$ 的部分是其對實軸的鏡射。幾個關鍵位置如下：

• $\omega\to0^+$ 時，$\Re G\to-7/4$、$\Im G\to-\infty$。
• $\Im G=0$ 時，$2-3\omega^2=0$，故 $\omega=\sqrt{2/3}$，且 $\Re G=-3/14$。
• $\omega\to\infty$ 時，$G(j\omega)\to0$，由下半平面趨近原點。

因此，$K>0$ 時奈氏圖是上述曲線乘上 $K$；它在實軸的交點為 $-3K/14$。當此交點恰為 $-1$ 時，系統位於穩定邊界：

核心觀念

本題為經典的根軌跡法（Root Locus Method）​與系統動態分析綜合題，評量考生對回授控制系統幾何分析工具與暫態動態特性的掌握。核心觀念與定理包含：

1. 根軌跡基本幾何準則（Evans Rules）：

• 分支數（Number of Branches）：閉迴路特徵方程式之根軌跡分支總數 $N = \max(n, m) = n$（$n$ 為開迴路極點數，$m$ 為開迴路零點數）。
• 實軸根軌跡條件：實軸上一點若其右側之開迴路實極點與實零點總數為奇數，則該點屬於根軌跡。
• 漸近線（Asymptotes）：當 $K \to \infty$ 時，有 $n - m$ 條分支趨向無窮遠，其與實軸交點（重心 $\sigma_a$）與夾角（$\phi_a$）分別為：

• 分離點／會合點（Breakaway / Break-in Points）：滿足特徵方程式之增益函數導數為零之點，即 $\frac{dK}{ds} = 0$。

2. 閉迴路穩定性判定（Routh-Hurwitz Stability Criterion）：

• 根據特徵方程式係數建立羅斯表（Routh Array），系統漸近穩定的充要條件為羅斯表第一行所有元素皆為同號之正數。

3. 主導極點動態分析（Dominant Pole Concept）：

• 距虛軸最近且附近無鄰近零點抵消的閉迴路極點稱為主導極點。當高頻複數極點實部絕對值遠大於實軸極點時，系統暫態響應將由該實軸極點完全主導。

解題方法

一、 系統迴路轉移函數與開迴路極零點配置

系統採標準單位負回授架構，開迴路轉移函數為：

• 開迴路極點（$n = 3$）：$p_1 = 0,\; p_2 = -2,\; p_3 = -50$
• 開迴路零點（$m = 1$）：$z_1 = -5$

二、 計算根軌跡分支數與漸近線

1. 分支數：

系統共有 3 條 根軌跡分支。其中 1 條分支於 $K \to \infty$ 時終止於有限零點 $s = -5$，其餘 $n - m = 2$ 條分支沿漸近線趨向無窮遠。

2. 漸近線夾角與交點：

• 夾角：

• 交點（重心）：

3. 實軸上的根軌跡分佈： 實軸上各開迴路點座標由右至左依序為 $0,\; -2,\; -5,\; -50$。檢驗各區間右側之極零點總數：

• 區間 $[-2, 0]$：右側有 1 個點（奇數）$\implies$ 屬於根軌跡。
• 區間 $[-5, -2]$：右側有 2 個點（偶數）$\implies$ 不屬於根軌跡。
• 區間 $[-50, -5]$：右側有 3 個點（奇數）$\implies$ 屬於根軌跡。
• 區間 $(-\infty, -50]$：右側有 4 個點（偶數）$\implies$ 不屬於根軌跡。

三、 求解分離點與會合點（Breakaway / Break-in Points）

閉迴路特徵方程式為 $1 + L(s) = 0$：

表示為 $K(s)$ 形式：

令 $\frac{dK}{ds} = 0$：

展開分子：

已知題目提示其中一個分離點位於 $s = -10$，以因式 $(s+10)$ 進行多項式長除法降階：

解二次多項式 $2s^2 + 47s + 50 = 0$：

數值計算（$\sqrt{1809} \approx 42.53$）：

檢驗此三點是否皆落在實軸根軌跡區間 $[-2, 0]$ 及 $[-50, -5]$ 上：

1. $s_1 \approx -1.12 \in [-2, 0]$：對應增益 $K \approx 12.41 > 0$，此為極點 $0$ 與 $-2$ 相向移動後進入複數平面的分離點（Breakaway point）。
2. $s = -10 \in [-50, -5]$：對應增益 $K = 640 > 0$，此為複數平面分支返回實軸的會合點（Break-in point，題目統稱分離點）。
3. $s_2 \approx -22.38 \in [-50, -5]$：對應增益 $K \approx 724.7 > 0$，此為會合後之實根再次相遇並離開實軸的分離點（Breakaway point）。