108 地方特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

圖中鋼樑的固定端與螺旋彈簧底座都固定於地面；樑端受力後，樑的彎曲與彈簧壓縮具有相同的位移。因此樑與彈簧是並聯承載，總作用力為兩者分擔力的總和：

其中 $F_b$ 是樑的承載力，$F_s$ 是彈簧的承載力。

解題方法

樑的長方形截面以厚度 $12\ \mathrm{mm}$ 作為彎曲方向的截面高度，因此截面二次矩為

將楊氏係數換算為 $E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$。懸臂樑受末端集中力時，末端撓度為 $\delta_b=F_bL^3/(3EI)$，故樑端等效剛性為

螺旋彈簧的平均直徑為

核心觀念

實心圓軸受扭轉作用時，機械設計通常依循兩大基本準則進行校核與設計：

1. 強度設計準則（Strength Criterion）： 軸內產生的最大剪應力不得超過材料的容許剪應力 $\tau_w$。 實心圓截面外緣處之扭轉剪應力公式為： $\tau = \frac{T \cdot c}{J} = \frac{T \cdot (d/2)}{\frac{\pi d^4}{32}} = \frac{16T}{\pi d^3} \le \tau_w$ 由此可得受強度限制之容許扭力 $T_1$： $T_1 = \frac{\pi d^3 \tau_w}{16}$

2. 剛性設計準則（Rigidity Criterion）： 軸在單位長度內的扭轉變形角不得超過規範之容許扭角 $\theta_{\text{allow}}'$。 圓軸扭轉角公式為： $\theta = \frac{T L}{G J} \implies \frac{\theta}{L} = \frac{T}{G J} \le \theta_{\text{allow}}'$ 由此可得受剛性限制之容許扭力 $T_2$： $T_2 = G J \left(\frac{\theta}{L}\right)_{\text{allow}}$

3. 最大容許扭力判斷： 軸必須同時滿足「強度」與「剛性」兩項安全要求，故最大容許作用扭力應取兩者之較小值： $T_{\max} = \min(T_1, T_2)$

解題方法

題目已知條件與單位整理：

• 軸徑 $d = 60\ \mathrm{mm} = 0.06\ \mathrm{m}$
• 剛性模數 $G = 77\ \mathrm{GPa} = 77 \times 10^9\ \mathrm{N/m^2} = 77 \times 10^3\ \mathrm{N/mm^2}$
• 容許剪應力 $\tau_w = 40\ \mathrm{N/mm^2} = 40 \times 10^6\ \mathrm{N/m^2}$
• 容許扭角變形率 $\left(\frac{\theta}{L}\right)_{\text{allow}} = 1^\circ/\mathrm{m} = \frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad/m}$

步驟一：依強度條件（容許剪應力）計算容許扭力 $T_1$

實心圓截面的極剖面模數 $Z_p$ 為： $Z_p = \frac{\pi d^3}{16} = \frac{\pi \times (60\ \mathrm{mm})^3}{16} = 13,500\pi\ \mathrm{mm^3}$

由強度條件 $\tau = \frac{T_1}{Z_p} \le \tau_w$，可得： $T_1 = \tau_w \cdot Z_p = 40\ \mathrm{N/mm^2} \times 13,500\pi\ \mathrm{mm^3} = 540,000\pi\ \mathrm{N\cdot mm} = 540\pi\ \mathrm{N\cdot m}$

代入 $\pi \approx 3.14159$ 數值計算： $T_1 \approx 540 \times 3.14159 \approx 1696.46\ \mathrm{N\cdot m}$

步驟二：依剛性條件（扭角限制）計算容許扭力 $T_2$

實心圓截面的極慣性矩 $J$ 為： $J = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi \times (0.06\ \mathrm{m})^4}{32} = \frac{\pi \times 1.296 \times 10^{-5}}{32} = 4.05\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$

由剛性條件 $\frac{\theta}{L} = \frac{T_2}{G J} \le \left(\frac{\theta}{L}\right)_{\text{allow}}$，可得：

核心觀念

本題考查漸開線正齒輪（Involute Spur Gear）的幾何關係與干涉（Interference）檢驗，涉及下列重要定義與公式：

1. 中心距（Center Distance, $C$）： $C = \frac{d_P + d_G}{2} = \frac{m(N_P + N_G)}{2}$ 其中 $m$ 為模數（Module），$N_P$ 為小齒輪齒數，$N_G$ 為大齒輪齒數。
2. 轉速比（Speed Ratio / Gear Ratio, $m_G$）： 對減速機而言，轉速比為小齒輪轉速與大齒輪轉速之比，亦等於齒數比： $m_G = \frac{\omega_P}{\omega_G} = \frac{N_G}{N_P}$
3. 齒冠係數（Addendum Coefficient, $k$）： 標準全深齒（Full-depth teeth）之齒冠 $a = k \cdot m$。本題給定 $m = 8$、$a = 8\ \mathrm{mm}$，故齒冠係數 $k = 1$。
4. 漸開線齒輪之干涉判別條件： 齒輪嚙合時，接觸點的軌跡為作用線（Line of Action）。若齒頂圓與作用線的交點超出嚙合極限點（即作用線與配對齒輪基圓的切點），齒頂將切入配對齒輪之齒根非漸開線部分，產生干涉現象。

• 大齒輪齒頂不致使小齒輪發生干涉之幾何判別式： 大齒輪齒頂圓在作用線上的接觸長度，不得超出節點至小齒輪基圓切點之距離： $\sqrt{r_{aG}^2 - r_{bG}^2} \le C \sin\phi$ 其中 $r_{aG}$ 為大齒輪齒頂圓半徑，$r_{bG}$ 為大齒輪基圓半徑，$C$ 為中心距，$\phi$ 為壓力角。
• 一對外接齒輪不發生干涉之小齒輪最小齒數公式： $N_{P,\min} = \frac{2k}{(1 + 2m_G)\sin^2\phi}\left( m_G + \sqrt{m_G^2 + (1 + 2m_G)\sin^2\phi} \right)$

解題方法

步驟一：求兩齒輪的齒數（$N_P$ 與 $N_G$）

由中心距公式： $C = \frac{m(N_P + N_G)}{2}$ 代入已知條件 $C = 180\ \mathrm{mm}$、$m = 8$： $180 = \frac{8(N_P + N_G)}{2} = 4(N_P + N_G)$ $N_P + N_G = 45 \quad \text{--- (式 1)}$

由減速機轉速比 $m_G = 2$： $\frac{N_G}{N_P} = 2 \implies N_G = 2N_P \quad \text{--- (式 2)}$

將（式 2）代入（式 1）： $N_P + 2N_P = 45 \implies 3N_P = 45 \implies N_P = 15$ $N_G = 2 \times 15 = 30$

• 小齒輪齒數 $N_P = 15$
• 大齒輪齒數 $N_G = 30$

步驟二：檢查是否會發生干涉

在一對外接齒輪中，大齒輪齒頂進入小齒輪齒根處最容易發生干涉，故檢驗大齒輪齒頂是否超出干涉極限點。

1. 計算各特徵半徑：

• 節圓半徑： $r_P = \frac{m N_P}{2} = \frac{8 \times 15}{2} = 60\ \mathrm{mm}$ $r_G = \frac{m N_G}{2} = \frac{8 \times 30}{2} = 120\ \mathrm{mm}$
• 大齒輪基圓半徑： $r_{bG} = r_G \cos\phi = 120 \times \cos 20^\circ \approx 120 \times 0.93969 = 112.763\ \mathrm{mm}$
• 大齒輪齒頂圓半徑（$a = 8\ \mathrm{mm}$）： $r_{aG} = r_G + a = 120 + 8 = 128\ \mathrm{mm}$

2. 幾何極限判別：

• 大齒輪齒頂在作用線上對應的極限弦長：

核心觀念

這是兩片鋼板搭接，以兩支螺栓傳遞軸向拉力的接合件。要找安全係數大於 $2.5$ 時可承受的拉力，須比較螺栓剪斷與鋼板可能的降伏破壞。

圖示接合面只有一個剪切面，故每支螺栓承受單剪。題目特別說明接合面內沒有螺紋，因此螺栓剪切面積採用螺栓桿部的實心截面：

螺栓受純剪時，以 von Mises 降伏準則計算剪降伏強度：

解題方法

兩支螺栓對稱配置，拉力平均分配，每支螺栓承受 $P/2$。螺栓剪應力為

螺栓材料降伏強度為 $S_{yb}=420\ \mathrm{MPa}$，因此以安全係數 $n=2.5$ 設計時：

由此得螺栓剪切所允許的總拉力：

核心觀念

本題屬於機械設計中極為核心的「變動應力與疲勞破壞準則（Fatigue Failure Criteria under Fluctuating Stress）」考題。評估受週期性變動載重之軸件是否安全，必須兼顧「抗疲勞破壞」與「抗靜態降伏」兩大檢驗機制：

1. 週期應力分解：

• 應力振幅（交變應力，Alternating Stress）： $\sigma_a = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2}$
• 平均應力（Mean Stress）： $\sigma_m = \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2}$

2. 抗疲勞安全準則： 工程實務與國考命題中最常用的準則為「修正古德曼準則（Modified Goodman Criterion）」與「索德伯格準則（Soderberg Criterion）」：

• 修正古德曼準則（Modified Goodman）（實務最常用）： $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n_f}$
• 索德伯格準則（Soderberg）（最保守）： $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_y} = \frac{1}{n_f}$

3. 抗靜態降伏檢驗（Langer 降伏線）： 避免首週期加載即產生永久塑性變形，最大應力必須小於降伏強度： $n_y = \frac{S_y}{\sigma_{\max}} = \frac{S_y}{\sigma_a + \sigma_m}$

解題方法

步驟一：求取平均應力 $\sigma_m$ 與交變應力 $\sigma_a$

已知應力變動範圍為 $\sigma_{\min} = 50\ \mathrm{MPa}$ 至 $\sigma_{\max} = 250\ \mathrm{MPa}$：

• 應力振幅（交變應力）： $\sigma_a = \frac{250 - 50}{2} = 100\ \mathrm{MPa}$
• 平均應力： $\sigma_m = \frac{250 + 50}{2} = 150\ \mathrm{MPa}$

步驟二：靜態降伏破壞檢驗（首週期降伏）

鋼軸所承受的最大工作應力為： $\sigma_{\max} = 250\ \mathrm{MPa}$ 材料之降伏強度 $S_y = 500\ \mathrm{MPa}$。 計算靜態降伏安全係數 $n_y$： $n_y = \frac{S_y}{\sigma_{\max}} = \frac{500}{250} = 2.0$ 因 $n_y = 2.0 > 1.0$，故該軸不會發生靜態塑性降伏。

步驟三：疲勞破壞準則檢驗（無限壽命設計）

題目已給定完全修正後之耐久限 $S_e = 200\ \mathrm{MPa}$，拉伸強度 $S_{ut} = 700\ \mathrm{MPa}$，降伏強度 $S_y = 500\ \mathrm{MPa}$。

1. 採用修正古德曼準則（Modified Goodman Criterion）（標準解法）：

$\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n_f}$ 代入已知數值： $\frac{100}{200} + \frac{150}{700} = \frac{1}{n_f}$ $0.5 + 0.2143 = \frac{1}{n_f}$ $0.7143 = \frac{1}{n_f} \implies n_f = \frac{1}{0.7143} \approx 1.40$

因疲勞安全係數 $n_f = 1.40 > 1.0$，代表應力點落在古德曼安全界線內，具有無限疲勞壽命。

2. 採用索德伯格準則（Soderberg Criterion）（最保守檢驗）：

若依最嚴苛保守的索德伯格準則評估：