108 地方特考三等 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查純物質在壓力－比體積圖（$P$－$v$ 圖）上的相變路徑。飽和液體位於飽和穹頂左界，飽和蒸氣位於右界；穹頂內是液、汽共存區，左側是壓縮液體區，右側是過熱蒸氣區。

在低於臨界溫度的等溫過程中，液、汽兩相共存時，壓力維持在該溫度的飽和壓力 $P_{\mathrm{sat}}$，比體積則隨乾度改變。因此，穹頂內的等溫相變路徑在 $P$－$v$ 圖上是水平線。

解題方法

先依過程條件判斷路徑方向與限制：

• 「常溫」視為定溫過程；從壓縮液體到過熱蒸氣，須依序經過飽和液體、兩相區及飽和蒸氣。
• 鋼瓶為剛性容器，體積固定；加熱飽和蒸氣時，路徑為定比體積線。
• 等溫壓縮由過熱蒸氣到飽和液體，先沿等溫線進入飽和蒸氣狀態，再於穹頂內凝結至飽和液體。

以下以 $f$ 表示飽和液體，$g$ 表示飽和蒸氣；箭頭表示過程方向。

（一）常溫下由壓縮液體變為過熱蒸氣

路徑依序為：

在壓縮液體區，定溫降壓時比體積略增，路徑近似向下、稍向右；到達 $f$ 後，液體開始汽化，壓力維持 $P_{\mathrm{sat}}$，路徑水平向右穿越穹頂。

核心觀念

本題評量非理想氣體狀態方程式下的熱力學一般關係式（General Thermodynamic Relations）推導，以及可逆絕熱過程路徑方程式之建構。涉及的核心定義與公式如下：

1. 比熱差公式（Difference in Specific Heats）： $C_p - C_v = T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_v \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_P$
2. 內能的狀態方程式（Internal Energy Dependency）： $\left( \frac{\partial u}{\partial v} \right)_T = T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_v - P$ 若此項為零，表示內能僅為溫度的函數 $u = u(T)$，則 $du = C_v dT$。
3. 熱力學第一定律（封閉系統可逆過程）： $\delta q_{rev} = du + P dv$ 絕熱（adiabatic）條件下 $\delta q_{rev} = 0$。
4. 比熱比定義： $k \equiv \frac{C_p}{C_v}$

解題方法

(一) 證明：當 $C_v$ 為常數時，$C_p$ 亦為常數

1. 求取偏微分項： 氣體之狀態方程式為 $P(v-a) = RT$。

• 將壓力表示為 $T$ 與 $v$ 的函數： $P = \frac{RT}{v-a}$ 在等容（$v$ 為常數）條件下對溫度 $T$ 微分： $\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_v = \frac{R}{v-a}$
• 將比體積表示為 $T$ 與 $P$ 的函數： $v = \frac{RT}{P} + a$ 在等壓（$P$ 為常數）條件下對溫度 $T$ 微分： $\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_P = \frac{R}{P}$

2. 代入比熱差一般關係式： $C_p - C_v = T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_v \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_P = T \left( \frac{R}{v-a} \right) \left( \frac{R}{P} \right) = \frac{R^2 T}{P(v-a)}$ 將原狀態方程式 $P(v-a) = RT$ 代入分母： $C_p - C_v = \frac{R^2 T}{RT} = R$ 整理可得： $C_p = C_v + R$

3. 結論判斷： 氣體常數 $R$ 為定值；題目已知等容比熱 $C_v$ 為常數，故等壓比熱 $C_p = C_v + R$ 亦必為常數。

(二) 證明：可逆絕熱狀況下遵循 $P(v-a)^k = \text{Constant}$

1. 確認內能之相依性： 檢驗內能對比體積的偏微分： $\left( \frac{\partial u}{\partial v} \right)_T = T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_v - P = T \left( \frac{R}{v-a} \right) - P = \frac{RT}{v-a} - P$ 由狀態方程式可知 $\frac{RT}{v-a} = P$，因此： $\left( \frac{\partial u}{\partial v} \right)_T = P - P = 0$ 這表示此氣體的內能僅為溫度的函數（$u = u(T)$），故其內能微分式精確等於： $du = C_v dT$

2. 應用熱力學第一定律： 對於可逆絕熱過程，系統無熱量交換（$\delta q_{rev} = 0$）：

核心觀念

本題評量閉合系統（Closed System）中理想氣體的狀態計算與等熵過程（Isentropic Process）功的評估，涉及以下核心定律與公式：

1. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Equation of State）： $P V = m R T$ 其中個別氣體常數 $R$ 由通用氣體常數 $R_u$ 與分子量 $M$ 決定： $R = \frac{R_u}{M}$
2. 可逆絕熱（等熵）過程狀態關係式： 對於理想氣體定比熱之等熵過程（$P v^k = \text{常數}$），壓力與溫度的關係為： $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}$
3. 閉合系統邊界功（Boundary Work）與熱力學第一定律： 等熵過程的膨脹／壓縮功可由積分直接求得： $W_{1-2} = \int_1^2 P \, dV = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - k} = \frac{m R (T_2 - T_1)}{1 - k}$ 或由熱力學第一定律（絕熱過程 $Q = 0$）： $Q - W_{1-2} = \Delta U \implies W_{1-2} = -\Delta U = -m C_v (T_2 - T_1)$ （依熱力學符號慣例，氣體對外膨脹作功為正，壓縮時外界對氣體作功，氣體所做的功為負值）。

解題方法

(一) 求氫氣的質量 $m$

1. 計算氫氣的比氣體常數 $R$： 已知分子量 $M = 2.016\ \text{kg/kmol}$，通用氣體常數 $R_u = 8.314\ \text{kJ/(kmol}\cdot\text{K)}$： $R = \frac{R_u}{M} = \frac{8.314}{2.016} \approx 4.1240\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

2. 代入起始狀態計算質量 $m$：

• 壓力 $P_1 = 101.35\ \text{kPa}$
• 體積 $V_1 = 0.1\ \text{m}^3$
• 絕對溫度 $T_1 = 30^\circ\text{C} = 30 + 273.15 = 303.15\ \text{K}$

由理想氣體狀態方程式： $m = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{101.35 \times 0.1}{4.1240 \times 303.15} = \frac{10.135}{1250.19} \approx 8.107 \times 10^{-3}\ \text{kg} = 8.11\ \text{g}$

(二) 求氫氣所做的功 $W_{1-2}$

1. 求壓縮後狀態的終溫 $T_2$： 壓力比 $r_p = \frac{P_2}{P_1} = \frac{20\ \text{atm}}{1\ \text{atm}} = 20$。 利用等熵過程之溫度-壓力關係式：

核心觀念

本題結合布雷登循環與蒸汽朗肯循環，重點是用各設備的等熵效率求實際出口焓，再用能量平衡求兩種工作流體的質量流率與整體熱效率。

壓縮機等熵效率、渦輪等熵效率與泵等熵效率分別為：

其中下標 $s$ 表示理想等熵過程的出口狀態。熱效率則以兩部渦輪的淨輸出功除以燃燒器供熱量計算。

解題方法

依圖中狀態編號，氣體依序經過壓縮機 $1\to2$、燃燒器 $2\to3$、氣渦輪 $3\to4$，再於熱交換器冷卻至狀態 5。蒸汽由水泵 $8\to9$，經熱交換器加熱至狀態 6，再由蒸汽渦輪膨脹至狀態 7。

（一）氣體循環質量流率

壓縮機出口壓力為

理想空氣表以約化壓力求等熵壓縮狀態：

在 $620\ \text{K}$ 與 $640\ \text{K}$ 之間線性內插，得

由壓縮機等熵效率：

燃燒器供熱量為 $60\ \text{MW}=60000\ \text{kW}$，故

其中 $h_3=1663.91\ \text{kJ/kg}$，因此

（二）蒸汽循環質量流率

先求氣渦輪的實際出口焓。等熵膨脹時：

由表一在 $780\ \text{K}$ 與 $800\ \text{K}$ 之間內插，得

氣渦輪等熵效率為 $87\%$，故

熱交換器氣體出口為 $200^\circ\text{C}=473\ \text{K}$，表一給出 $h_5=475.84\ \text{kJ/kg}$。氣體放熱率為

核心觀念

本題用熱力學第二定律判斷循環是否可能。對循環熱機，克勞修斯不等式為

可逆循環取等號，不可逆循環小於零；若大於零，即違反第二定律，循環不可能實現。熱量以流入熱機為正、流出熱機為負。

解題方法

熱機由 $1000\ \text{K}$ 熱源吸收 $Q_H=325\ \text{kJ}$，並向 $400\ \text{K}$ 熱沉排出 $Q_L=125\ \text{kJ}$。兩熱儲溫度固定，因此