107 地方特考三等 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

1. 駐點（Stagnation Point）與駐點狀態： 流體以速度 $V_1$ 流向壁面時，在滯止壁面處流速降為零（$V_0 = 0$）。此流動減速至靜止的狀態稱為駐點狀態（滯止狀態），其對應的溫度與壓力分別稱為駐點溫度 $T_0$ 與駐點壓力 $P_0$。
2. 可用能方程式（Flow Exergy / Availability Equation）： 流動系統的單位質量可用能（Flow Exergy）定義為： $\psi = (h - h_\infty) - T_\infty (s - s_\infty) + \frac{V^2}{2} + gz$ 對於穩態、無軸功輸出（$w = 0$）之流場，可用能平衡方程式為： $\psi_1 - \psi_0 = i = T_\infty s_{gen}$ 其中 $i$ 為單位質量的可用能損耗（不可逆性，Irreversibility），$s_{gen}$ 為熵產率。
3. 熱力學第二定律相關方程式（Second Law & Entropy Relations）： 根據熱力學第二定律，流動的熵平衡為： $s_0 - s_1 = \int \frac{\delta q}{T} + s_{gen}$ 因噴流為可逆（$s_{gen} = 0$）且絕熱（$\delta q = 0$）流動，故熵變為零，流場為等熵流動（Isentropic flow）： $s_0 - s_1 = 0 \implies s_0 = s_1$ 對於理想氣體，結合熱力學第一與第二定律之 Gibbs 等式（$T ds = dh - v dP$）可導得熵變公式： $s_0 - s_1 = c_p \ln\left(\frac{T_0}{T_1}\right) - R \ln\left(\frac{P_0}{P_1}\right) = 0$

解題方法

步驟一：由可用能及第二定律方程式求駐點溫度 $T_0$

1. 因流場為可逆絕熱，無可用能耗損（$i = T_\infty s_{gen} = 0$），系統的流動可用能守恆： $\psi_1 = \psi_0$ 代入流動可用能表達式（忽略位能變化 $g z_1 = g z_0$，且駐點速度 $V_0 = 0$）： $(h_1 - h_\infty) - T_\infty (s_1 - s_\infty) + \frac{V_1^2}{2} = (h_0 - h_\infty) - T_\infty (s_0 - s_\infty) + 0$
2. 移項整理可得： $(h_0 - h_1) - T_\infty (s_0 - s_1) = \frac{V_1^2}{2}$
3. 依據第二定律，可逆絕熱過程為等熵過程（$s_0 - s_1 = 0$），代入上式即得滯止焓差等於流體來流動能： $h_0 - h_1 = \frac{V_1^2}{2}$
4. 空氣視為理想氣體，比熱為常數，焓差滿足 $\Delta h = c_p (T_0 - T_1)$： $c_p (T_0 - T_1) = \frac{V_1^2}{2} \implies T_0 = T_1 + \frac{V_1^2}{2 c_p}$
5. 代入題目已知數據：

• $T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273.15 = 298.15\ \mathrm{K}$（若絕對溫度基準取 $273\ \mathrm{K}$ 則為 $298\ \mathrm{K}$）
• $V_1 = 200\ \mathrm{m/s}$
• $c_p = 1.004\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 1004\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ $\Delta T = T_0 - T_1 = \frac{200^2}{2 \times 1004} = \frac{40000}{2008} \approx 19.92\ \mathrm{K}$ 因此駐點溫度為： $T_0 = 298.15 + 19.92 = 318.07\ \mathrm{K} \quad (\text{即 } 44.92^\circ\mathrm{C})$ （若取 $T_1 = 298\ \mathrm{K}$ 計算，則 $T_0 = 298 + 19.92 = 317.92\ \mathrm{K}$，攝氏度同為 $44.92^\circ\mathrm{C}$）

核心觀念

本題考查有機郎肯循環（Organic Rankine Cycle, ORC）​的熱力學分析與狀態判別，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 熱交換器能量守恆（穩態穩流能量方程式, SFEE）： 在絕熱且忽略動能、位能變化的熱交換器中，高溫流體放熱量等於低溫流體吸熱量： $\dot{m}_{\mathrm{geo}} (h_5 - h_6) = \dot{m}_{\mathrm{ORC}} (h_3 - h_2)$
2. 泵功（不可壓縮液體之可逆絕熱功）： 理想循環中，泵為等熵壓縮過程（$s_1 = s_2$），泵功可由液體比容及壓差計算： $w_{\mathrm{p,in}} = v_1 (P_2 - P_1) = h_2 - h_1$
3. 等熵膨脹與狀態區判定（乾度定義）： 理想渦輪機為等熵膨脹（$s_4 = s_3$）。出口狀態需與該壓力下之飽和液體熵 $s_f$ 及飽和汽體熵 $s_g$ 比較：

• 若 $s_f \le s_4 \le s_g$，為飽和混合物，乾度 $x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_g - s_f}$。
• 若 $s_4 > s_g$，則處於過熱蒸汽區（Superheated Vapor），此時無汽液共存，乾度定義不適用（或視為 100% 氣體）。異丁烷為常見之「乾性流體（Dry Fluid）」，等熵膨脹後常落於過熱區。

4. 循環淨功與熱效率： $w_{\mathrm{t,out}} = h_3 - h_4$ $w_{\mathrm{net}} = w_{\mathrm{t,out}} - w_{\mathrm{p,in}}$ $\eta_{\mathrm{th}} = \frac{w_{\mathrm{net}}}{q_{\mathrm{in}}} = \frac{w_{\mathrm{net}}}{h_3 - h_2}$

解題方法

(一) 求地熱水與 ORC 工作流體流量比 ($\dot{m}_{\mathrm{geo}} / \dot{m}_{\mathrm{ORC}}$)

1. 計算泵出口焓值 $h_2$： 工作流體在狀態 1 為飽和液體，$P_1 = 400\ \mathrm{kPa}$，$v_1 = 0.001835\ \mathrm{m^3/kg}$，$h_1 = -327.2\ \mathrm{kJ/kg}$。 泵升壓至 $P_2 = 3.0\ \mathrm{MPa} = 3000\ \mathrm{kPa}$，單位質量泵功為： $w_{\mathrm{p,in}} = v_1(P_2 - P_1) = 0.001835\ \mathrm{m^3/kg} \times (3000 - 400)\ \mathrm{kPa} = 4.771\ \mathrm{kJ/kg}$ 故狀態 2 之焓值為： $h_2 = h_1 + w_{\mathrm{p,in}} = -327.2 + 4.771 = -322.429\ \mathrm{kJ/kg}$

2. 計算 ORC 工作流體於熱交換器之吸熱量 $q_{\mathrm{in}}$： $q_{\mathrm{in}} = h_3 - h_2 = 153.6 - (-322.429) = 476.029\ \mathrm{kJ/kg}$

3. 計算地熱水於熱交換器之放熱量 $q_{\mathrm{geo}}$： 地熱水入口狀態 5 為 $500\ \mathrm{kPa}$ 之飽和液態水，$h_5 = 640.21\ \mathrm{kJ/kg}$。 地熱水出口狀態 6 為 $90^\circ\mathrm{C}$ 之飽和液態水，$h_6 = 376.9\ \mathrm{kJ/kg}$。 $\Delta h_{\mathrm{geo}} = h_5 - h_6 = 640.21 - 376.9 = 263.31\ \mathrm{kJ/kg}$

4. 熱交換器能量守恆求流量比： $\dot{m}_{\mathrm{geo}} (h_5 - h_6) = \dot{m}_{\mathrm{ORC}} (h_3 - h_2)$ $\frac{\dot{m}_{\mathrm{geo}}}{\dot{m}_{\mathrm{ORC}}} = \frac{h_3 - h_2}{h_5 - h_6} = \frac{476.029}{263.31} \approx 1.808$

(二) 渦輪機出口異丁烷乾度 ($x_4$)

1. 渦輪機等熵膨脹： 在理想 ORC 循環中，渦輪機為等熵過程，出口狀態 4 的熵等於入口狀態 3 的熵： $s_4 = s_3 = 0.0927\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

2. 狀態區判定： 在出口壓力 $P_4 = 400\ \mathrm{kPa}$ 下，題目給定之飽和性質為：

• 飽和液體熵：$s_f = -1.193\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 飽和氣體熵：$s_g = -0.121\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

比較熵值大小： $s_4 = 0.0927\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} > s_g = -0.121\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

3. 結論與乾度說明：

• 因為 $s_4 > s_g$，狀態 4 位於過熱蒸汽區（Superheated Vapor Region），並非兩相共存混合物。

核心觀念

本題考查內燃機之空氣標準鄂圖循環（Air-standard Otto cycle）​的狀態點分析、熱效率、平均有效壓力（MEP）及引擎輸出功率計算。

1. 鄂圖循環之四個基本過程：

• 狀態 $1 \to 2$：等熵壓縮（$s_1 = s_2$），滿足 $\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{v_1}{v_2}\right)^{k-1} = r^{k-1}$。
• 狀態 $2 \to 3$：等容加熱（$v_2 = v_3$），熱量輸入為 $q_{\text{in}} = c_v (T_3 - T_2)$。
• 狀態 $3 \to 4$：等熵膨脹（$s_3 = s_4$），滿足 $\dfrac{T_3}{T_4} = \left(\dfrac{v_4}{v_3}\right)^{k-1} = r^{k-1}$。
• 狀態 $4 \to 1$：等容散熱（$v_4 = v_1$），熱量排出為 $q_{\text{out}} = c_v (T_4 - T_1)$。

2. 氣體常數與比熱關係： $R = c_p - c_v = (k - 1) c_v$

3. 壓縮比（Compression ratio, $r$）： $r = \frac{v_1}{v_2} = \frac{V_1}{V_2}$

4. 熱效率（Thermal efficiency, $\eta_{\text{th}}$）與淨功（Net work, $w_{\text{net}}$）： $\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{r^{k-1}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}}$ $w_{\text{net}} = \eta_{\text{th}} \cdot q_{\text{in}} = q_{\text{in}} - q_{\text{out}}$

5. 平均有效壓力（Mean Effective Pressure, $\mathrm{MEP}$）： $\mathrm{MEP} = \frac{w_{\text{net}}}{v_1 - v_2} = \frac{w_{\text{net}}}{v_1 \left(1 - \frac{1}{r}\right)} = \frac{W_{\text{net}}}{V_d}$

6. 引擎輸出功率（Power output, $\dot{W}$）： $\dot{W} = \mathrm{MEP} \cdot V_d \cdot n$ 其中 $V_d$ 為引擎排氣量；$n$ 為每秒完成的動力循環次數。汽油引擎通常為四行程（Four-stroke），曲軸每轉兩圈完成一次動力循環，即 $n = \dfrac{N}{2 \times 60}$；若為二行程（Two-stroke），則 $n = \dfrac{N}{60}$。

解題方法

(一) 計算壓縮比 $r$ 及平均有效壓力 $\mathrm{MEP}$

步驟 1：求狀態 2 的溫度 $T_2$ 由等容燃燒加熱過程 $2 \to 3$： $q_{\text{in}} = c_v (T_3 - T_2)$ 代入題給數值 $q_{\text{in}} = 1200\ \mathrm{kJ/kg}$、$T_3 = 2400\ \mathrm{K}$、$c_v = 0.717\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$： $1200 = 0.717 \times (2400 - T_2)$ $2400 - T_2 = \frac{1200}{0.717} \approx 1673.64\ \mathrm{K}$ $T_2 = 2400 - 1673.64 = 726.36\ \mathrm{K}$

步驟 2：求壓縮比 $r$ 由等熵壓縮過程 $1 \to 2$ 之溫容關係式： $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{k-1} = r^{k-1}$ 代入 $T_1 = 290\ \mathrm{K}$、$T_2 = 726.36\ \mathrm{K}$ 及 $k = 1.4$： $r^{1.4 - 1} = r^{0.4} = \frac{726.36}{290} \approx 2.50469$ 兩邊取 $2.5$ 次方（即 $\frac{1}{0.4}$）： $r = (2.50469)^{\frac{1}{0.4}} = (2.50469)^{2.5} \approx 9.93$

步驟 3：求循環之熱效率 $\eta_{\text{th}}$ 與單位質量淨功 $w_{\text{net}}$ $\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{r^{k-1}} = 1 - \frac{1}{2.50469} \approx 1 - 0.39925 = 0.60075 \quad (60.08\%)$

核心觀念

本題為典型的「大氣濕度學（Psychrometrics）」結合「穩態流動開放系統（Control Volume）」之熱力學第一定律綜合題。主要涵蓋三大核心觀念：

1. 濕空氣狀態與絕對溼度（Specific Humidity / Humidity Ratio）：

• 濕空氣視為乾空氣與水蒸氣之理想氣體混合物（道爾吞分壓定律）： $P = P_a + P_v$
• 相對溼度 $\phi = \frac{P_v}{P_{\mathrm{sat}}(T)}$，其中 $P_{\mathrm{sat}}(T)$ 為該溫度下的飽和水蒸氣壓。
• 絕對溼度（比溼度）定義為水蒸氣質量與乾空氣質量之比值： $\omega = \frac{m_v}{m_a} = \frac{M_v}{M_a}\frac{P_v}{P_a} \approx 0.622 \frac{P_v}{P - P_v}$

2. 飽和狀態與露點凝結判別：

• 當濕空氣冷卻至露點溫度（Dew-point Temperature, $T_{\mathrm{dp}}$）以下，空氣容納水蒸氣之能力下降，水蒸氣分壓達到飽和壓力 $P_v = P_{\mathrm{sat}}$，多餘之水分將以液態凝結水析出。
• 只要有凝結水與濕空氣共存於熱力平衡狀態，該處濕空氣之相對溼度必為 $100\%$（飽和狀態）。

3. 穩態流動之質量與能量守恆：

• 乾空氣質量流量守恆：$\dot{m}_{a,1} = \dot{m}_{a,2} = \dot{m}_a$
• 水分質量守恆（排水量）：$\dot{m}_w = \dot{m}_a(\omega_1 - \omega_2)$
• 開放系統能量方程式（忽略動能與位能變化）： $\dot{m}_a h_1 = \dot{Q}_{\mathrm{out}} + \dot{m}_a h_2 + \dot{m}_w h_w$ 單位乾空氣基準之散熱量： $q_{\mathrm{out}} = h_1 - h_2 - (\omega_1 - \omega_2)h_w$ 其中濕空氣比焓 $h = c_{p,a}T + \omega h_g(T)$，凝結水離開系統之比焓 $h_w = h_f(T_2)$。

解題方法

基本假設與基準

1. 大氣壓力未特別指定時，依工程慣例取標準大氣壓 $P = 101.325\ \mathrm{kPa}$。
2. 乾空氣流量未給定，故散熱量與排水量以「每公斤乾空氣（$\mathrm{per\ kg\ dry\ air}$）」為基準計算。
3. 導管流動過程為穩態穩流（Steady-flow process），動能與位能變化量忽略不計。

(一) 如何判別導管出口之濕空氣為飽和狀態？

判別導管出口處之濕空氣是否為飽和狀態，可由熱力學理論計算與物理現象量測兩方面進行判別：

1. 含濕量理論判別法（最大容濕量比較）：

• 入口（$40^\circ\mathrm{C}$）處的水蒸氣分壓為 $P_{v,1} = \phi_1 P_{\mathrm{sat}}(40^\circ\mathrm{C}) = 0.80 \times 7.384\ \mathrm{kPa} = 5.9072\ \mathrm{kPa}$。
• 若氣流降溫至 $25^\circ\mathrm{C}$ 的過程中未發生凝結，則水蒸氣分壓應維持 $P_{v,1} = 5.9072\ \mathrm{kPa}$。
• 然而，水在 $25^\circ\mathrm{C}$ 時所能承受之最大飽和蒸氣壓僅為 $P_{\mathrm{sat}}(25^\circ\mathrm{C}) = 3.169\ \mathrm{kPa}$。
• 因未凝結之推算蒸氣分壓遠大於 $25^\circ\mathrm{C}$ 下的飽和蒸氣壓（$5.9072\ \mathrm{kPa} > 3.169\ \mathrm{kPa}$），超過了空氣在該溫度下所能容納水蒸氣之物理極限（換算相對溼度將大於 $100\%$，物理上不成立）。故降溫過程中必有液態水凝結析出。
• 凝結後留在氣流中的水蒸氣分壓恰等於該溫度之飽和蒸氣壓 $P_{v,2} = P_{\mathrm{sat}}(25^\circ\mathrm{C}) = 3.169\ \mathrm{kPa}$，相對溼度達到 $\phi_2 = 100\%$，證明出口必為飽和狀態。

2. 露點溫度比較法：

• 入口狀態水蒸氣分壓 $P_{v,1} = 5.9072\ \mathrm{kPa}$ 對應之飽和溫度（即露點溫度 $T_{\mathrm{dp},1}$）約為 $35.8^\circ\mathrm{C}$。
• 由於導管出口溫度 $T_2 = 25^\circ\mathrm{C}$ 明顯低於入口空氣之露點溫度（$T_2 < T_{\mathrm{dp},1}$），氣流必定經歷冷卻去濕過程，出口空氣因而維持在水氣兩相共存的飽和狀態。

3. 現場量測判別準則：

• 以乾濕球溫度計量測，若出口乾球溫度等於濕球溫度（$T_{\mathrm{db}} = T_{\mathrm{wb}} = 25^\circ\mathrm{C}$），即為飽和狀態。
• 觀察導管內壁或出口處是否有液態水滴（凝結水）流出或析出。

(二) 求離開烘乾機以及導管出口處之絕對溼度

1. 烘乾機出口（狀態 1：$T_1 = 40^\circ\mathrm{C}$，$\phi_1 = 80\%$）

• 水蒸氣分壓： $P_{v,1} = \phi_1 \times P_{\mathrm{sat}}(40^\circ\mathrm{C}) = 0.80 \times 7.384\ \mathrm{kPa} = 5.9072\ \mathrm{kPa}$
• 乾空氣分壓： $P_{a,1} = P - P_{v,1} = 101.325 - 5.9072 = 95.4178\ \mathrm{kPa}$
• 烘乾機出口絕對溼度 $\omega_1$： $\omega_1 = 0.622 \frac{P_{v,1}}{P - P_{v,1}} = 0.622 \times \frac{5.9072}{95.4178} \approx 0.03851\ \mathrm{kg\ H_2O / kg\ dry\ air}$

核心觀念

1. 反應熱與生成焓（Enthalpy of Formation, $\bar{h}_f^\circ$）： 在標準狀態（$25^\circ\mathrm{C}$、$1\ \mathrm{atm}$）下，穩定單質生成化合物的焓變化稱為標準生成焓。定壓燃燒反應之反應焓（燃燒焓 $\Delta H_c^\circ$）可由產物與反應物之生成焓差值求得： $\Delta H_c^\circ = \sum_{\text{products}} N_p \bar{h}_{f,p}^\circ - \sum_{\text{reactants}} N_r \bar{h}_{f,r}^\circ$ 自然界穩定之單質（如 $\mathrm{O_2}$、$\mathrm{H_2}$），其標準生成焓定義為零： $\bar{h}_{f,\mathrm{O_2}}^\circ = 0,\quad \bar{h}_{f,\mathrm{H_2}}^\circ = 0$

2. 高熱值（HHV）與低熱值（LHV）之定義： 燃料熱值定義為燃燒反應焓的負值（$\mathrm{HV} = -\Delta H_c^\circ$）：

• 低熱值（LHV）：燃燒產物中的水以「氣態」（$\mathrm{H_2O(g)}$）形式排出。
• 高熱值（HHV）：燃燒產物中的水完全冷凝為「液態」（$\mathrm{H_2O(l)}$），並釋放出水蒸發潛熱（$h_{fg}$）。
• 兩者之莫耳熱值換算關係式為： $\overline{\mathrm{HHV}} = \overline{\mathrm{LHV}} + N_{\mathrm{H_2O}} \cdot h_{fg}$ 其中 $N_{\mathrm{H_2O}}$ 為每莫耳燃料燃燒所生成之水莫耳數。

3. 混合氣體性質與體積熱值：

• 依據阿密格分體積定律（Amagat's Law），低壓下理想氣體混合物之體積百分比等於其莫耳分率（$y_i$）。
• 混合燃料之莫耳熱值為各可燃組分熱值之加權總和（$\mathrm{CO_2}$ 為完全氧化物，不具可燃性，熱值為零）。
• 單位體積熱值（$\mathrm{HV}_v$）由莫耳熱值（$\overline{\mathrm{HV}}$）除以氣體之莫耳體積（$\bar{v}$）換算求得： $\mathrm{HV}_v = \frac{\overline{\mathrm{HV}}}{\bar{v}} = \frac{\overline{\mathrm{HV}}}{\dfrac{\bar{R}T}{P}}$

解題方法

題目未指定定義氣體體積時所處之溫度與壓力，本題採用熱力學計算之標準參考狀態（$T_0 = 25^\circ\mathrm{C} = 298.15\ \mathrm{K}$、$P_0 = 1\ \mathrm{atm} = 101.325\ \mathrm{kPa}$）進行體積換算。

步驟一：計算各純可燃組分之莫耳熱值

1. 甲烷（$\mathrm{CH_4}$）之燃燒反應： $\mathrm{CH_4 + 2 O_2 \rightarrow CO_2 + 2 H_2O}$

• 低熱值（生成氣態水 $\mathrm{H_2O(g)}$）： $\bar{h}_{c,\mathrm{CH_4, LHV}} = -\left[\bar{h}_{f,\mathrm{CO_2}}^\circ + 2\bar{h}_{f,\mathrm{H_2O(g)}}^\circ - \bar{h}_{f,\mathrm{CH_4}}^\circ - 2\bar{h}_{f,\mathrm{O_2}}^\circ\right]$ $\bar{h}_{c,\mathrm{CH_4, LHV}} = -\left[(-393522) + 2(-241826) - (-74873) - 0\right]$ $\bar{h}_{c,\mathrm{CH_4, LHV}} = -\left[-877174 + 74873\right] = 802301\ \mathrm{kJ/kmol}$
• 高熱值（生成液態水 $\mathrm{H_2O(l)}$）： $\bar{h}_{c,\mathrm{CH_4, HHV}} = \bar{h}_{c,\mathrm{CH_4, LHV}} + 2 \cdot h_{fg} = 802301 + 2(43998) = 890297\ \mathrm{kJ/kmol}$

2. 氫氣（$\mathrm{H_2}$）之燃燒反應： $\mathrm{H_2 + 0.5 O_2 \rightarrow H_2O}$

• 低熱值（生成氣態水 $\mathrm{H_2O(g)}$）： $\bar{h}_{c,\mathrm{H_2, LHV}} = -\left[\bar{h}_{f,\mathrm{H_2O(g)}}^\circ - \bar{h}_{f,\mathrm{H_2}}^\circ - 0.5\bar{h}_{f,\mathrm{O_2}}^\circ\right] = -[-241826 - 0 - 0] = 241826\ \mathrm{kJ/kmol}$
• 高熱值（生成液態水 $\mathrm{H_2O(l)}$）： $\bar{h}_{c,\mathrm{H_2, HHV}} = \bar{h}_{c,\mathrm{H_2, LHV}} + 1 \cdot h_{fg} = 241826 + 43998 = 285824\ \mathrm{kJ/kmol}$

3. 二氧化碳（$\mathrm{CO_2}$）： 不可燃氣體，熱值貢獻為 $0\ \mathrm{kJ/kmol}$。

步驟二：計算混合燃料氣體之莫耳熱值

取 $1\ \mathrm{kmol}$ 燃料混合氣體為基準，莫耳分率分別為 $y_{\mathrm{CH_4}} = 0.50$、$y_{\mathrm{CO_2}} = 0.45$、