107 地方特考三等 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

核心觀念

本題考查《水資源工程學》中水庫泥砂管理、水力發電工程、管路水力學與水庫水利排程調度之基礎核心名詞定義。各小題所對應之核心理論與公式架構如下：

1. 因砂率（囚砂率）：涉及水庫泥砂沈降力學與水庫壽命評估，核心理論為布隆曲線（Brune curve）與容量—入流比（Capacity-Inflow ratio, $C/I$）。
2. 基載發電：涉及電力系統負載曲線（Load duration curve）與發電廠運轉特性分工（基載、中載、尖載），水力工程特別著重於川流式（Run-of-river）發電之角色。
3. 水錘：涉及非恆定有壓管流（Unsteady closed-conduit flow）暫態分析，核心為動量轉換、流體與管壁彈性變形，以及儒可夫斯基公式（Joukowsky's formula）。
4. 水庫運轉規線：涉及水資源系統規劃與多目標水庫操作調度，核心為利用水位分區（上限、下限、嚴重下限）作為乾旱預警與防洪放水之決策依據。

解題方法

本題為標準的公職申論名詞解釋題（每小題 $5$ 分，共 $20$ 分）。閱卷評分標準通常依「定義」、「物理機制／數學表達式」與「工程應用／防制措施」三個維度給分。切入步驟如下：

1. 精準破題：第一句話給出嚴謹、標準的學術定義。
2. 補充量化指標或機制：寫出對應之關係式、影響因子或水力機制。
3. 點明水利工程目的：說明該概念在工程實務中之功能與重要性。

各小題詳解

(一) 因砂率（Trap Efficiency）

1. 定義： 又稱「囚砂率」或「攔砂率」，指水庫或沈砂池在特定時段內所攔截並沉降之泥砂總量，與進入該水庫或沈砂池之總進砂量之百分比。
2. 數學表示式： $E = \frac{S_{\text{in}} - S_{\text{out}}}{S_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{S_{\text{trap}}}{S_{\text{in}}} \times 100\%$ 式中：

• $E$：因砂率（$\%$）。
• $S_{\text{in}}$：流入水庫之總懸浮載與底床載泥砂量（$\text{m}^3$ 或 $\text{ton}$）。
• $S_{\text{out}}$：隨溢流或排砂道排出水庫之泥砂總量（$\text{m}^3$ 或 $\text{ton}$）。
• $S_{\text{trap}}$：沉澱淤積於水庫內之泥砂總量（$\text{m}^3$ 或 $\text{ton}$）。

3. 影響因素與工程意義：

• 主要取決於水庫「容量—年入流量比」（$C/I$ 比，Capacity-Inflow ratio）與泥砂粒徑沈降速度（常用 Brune 經驗曲線推估）。$C/I$ 比愈大，水流在水庫內停留時間（retention time）愈長，因砂率愈高（大型水庫可高達 $95\%$ 以上）。
• 為評估水庫有效蓄水壽命、推算死庫容填滿年限，以及規劃防淤水力排砂（如水力排砂隧道、底孔排砂）之關鍵設計參數。

(二) 基載發電（Base-load Power Generation）

1. 定義： 在電力系統全天 $24$ 小時的負載曲線（Load curve）中，用以承擔連續不斷出現之最低基礎用電需求（基載），所持續進行全載或高負載運轉之發電模式。
2. 運轉特點：

• 承擔長時間穩定的供電任務，設備利用率高、啟動與停機所需時間長或成本高。
• 機組多具備「固定投資成本高、邊際運轉燃料成本低」之經濟特性。

3. 水利工程之應用：

• 在水力發電分類中，無調節庫容之川流式水力電廠（Run-of-river plant）​因水流無法長時間蓄存，必須配合河川基流持續發電，常作為系統基載使用；相對地，具調節庫容之水庫式水力發電與抽蓄式水力發電則多擔負反應迅速之「尖載（Peak load）」調節任務。

(三) 水錘（Water Hammer）

核心觀念

本題考核水文頻率分析中極端值第一型分布（Extreme Value Type I Distribution，簡稱 EVI 或 Gumbel 分布）​的數學架構、重現期（Return Period）​的統計定義，以及年最大值系列（Annual Maximum Series, AMS）​的取樣限制。

1. 重現期 $T$ 與累積機率 $F(x)$ 的定義關係： 在年最大值系列水文分析中，重現期為 $T$ 年之極端事件，其每年超越機率為 $P(X \ge x_T) = \frac{1}{T}$，其未超越機率（累積機率）為： $F(x_T) = P(X \le x_T) = 1 - P(X \ge x_T) = 1 - \frac{1}{T}$
2. EVI 分布累積機率分布函數（CDF）： $F(x) = \exp\left[-\exp\left(-\frac{x - u}{\alpha}\right)\right] = e^{-e^{-y}}$ 其中 $u$ 為位置參數、$\alpha$ 為尺度參數（$\alpha > 0$），$y = \frac{x - u}{\alpha}$ 稱為簡化變量（Reduced Variate）。
3. Chow 頻率因子公式： $x_T = \bar{X} + K_T S_x$ 其中 $K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left[ 0.5772 + \ln\left(\ln \frac{T}{T - 1}\right) \right]$。

解題方法

本題可由「數學解析推導」與「水文物理機制」兩個切入點進行完整論證：

一、數學解析推導的矛盾

推求特定重現期 $T$ 的水文設計量，須將累積機率代入分布的反函數中求算分位數（Quantile）：

1. 由簡化變量（Reduced Variate）推導： 根據 EVI 分布之累積機率公式： $F(x_T) = e^{-e^{-y}}$ 兩邊取自然對數： $\ln[F(x_T)] = -e^{-y}$ 再取一次自然對數並移項： $y = -\ln\left[-\ln F(x_T)\right] = -\ln\left[-\ln\left(1 - \frac{1}{T}\right)\right]$

當重現期 $T = 1$ 年時： $F(x_1) = 1 - \frac{1}{1} = 0$ 代入簡化變量公式： $\lim_{F(x) \to 0^+} \ln F(x) = -\infty$ $-\ln[F(x)] \to +\infty$ $y = -\ln(+\infty) \to -\infty$

由於推估流量 $x_T = u + \alpha y$，尺度參數 $\alpha > 0$，故： $\lim_{T \to 1^+} x_T = u + \alpha(-\infty) = -\infty$

2. 由頻率因子（Frequency Factor $K_T$）推導： 耿貝爾頻率因子定義為： $K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left[ 0.5772 + \ln\left(\ln \frac{T}{T - 1}\right) \right]$ 當 $T \to 1^+$ 時，項次 $\frac{T}{T - 1} \to +\infty$：

核心觀念

本題旨在考驗水資源工程規劃中之工程經濟分析（Engineering Economic Analysis）​與計畫可行性評估準則。主要涵蓋以下核心概念與公式：

1. 貨幣時間價值與折現公式： 水資源工程壽齡長達數十年，評估必須採用動態折現法。以折現率（資本利率）$i$、營運年限 $n$ 計算資本回收係數（Capital Recovery Factor, $\text{CRF}$）​與償債基金係數（Sinking Fund Factor, $\text{SFF}$）： $\text{CRF}(i, n) = \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$ $\text{SFF}(i, n) = \frac{i}{(1+i)^n - 1} = \text{CRF}(i, n) - i$

2. 等額年資本成本（Equivalent Uniform Annual Capital Cost, $AC_{\text{cap}}$）： 考量初期投入資本 $C$ 與期末殘值（資產剩餘價值）$S$，年化資本成本之標準計算式為： $AC_{\text{cap}} = (C - S) \times \text{CRF}(i, n) + S \times i$ （此式物理意義為：折舊耗損本金 $(C - S)$ 於 $n$ 年內平均攤還本利，殘值 $S$ 則每期僅需負擔資金利息） 亦等價於： $AC_{\text{cap}} = C \times \text{CRF}(i, n) - S \times \text{SFF}(i, n)$

3. 年營運操作維護費用（Operation and Maintenance Cost, $OM$）： 水資源與水力發電工程實務上，年營運維護費用率通常依初期總投資額（資本額）之固定百分比計列： $OM = C \times (\text{O\&M 百分比})$

4. 經濟可行性判別準則：

• 淨年效益法（Net Annual Benefit, $NAB$）：$NAB = B - AC_{\text{total}} > 0$ 則可行（其中 $B$ 為年效益／售電年收入，$AC_{\text{total}} = AC_{\text{cap}} + OM$ 為總等額年成本）。
• 效益成本比法（Benefit-Cost Ratio, $B/C$）：$B/C = \frac{B}{AC_{\text{total}}} > 1.0$ 則可行。

解題方法

步驟一：彙整題目已知條件

• 工程總投資額（資本額）$C = 220$ 億元
• 營運年限 $n = 50$ 年
• 停止運轉後之資產殘值 $S = 20$ 億元
• 資本利息率（折現率）$i = 8\% = 0.08$
• 營運操作費用率 $m = 3\% = 0.03$
• 每年售電收入（年效益）$B = 25$ 億元

步驟二：計算複利因數

計算 $50$ 年期、利率 $8\%$ 之終值複利因子： $(1+i)^n = (1 + 0.08)^{50} \approx 46.9016$

計算資本回收係數 $\text{CRF}(8\%, 50)$： $\text{CRF}(8\%, 50) = \frac{0.08 \times (1.08)^{50}}{(1.08)^{50} - 1} = \frac{0.08 \times 46.9016}{46.9016 - 1} = \frac{3.7521}{45.9016} \approx 0.081743$

步驟三：計算等額年資本費用（$AC_{\text{cap}}$）

將期末資產殘值納入計算： $AC_{\text{cap}} = (C - S) \times \text{CRF}(8\%, 50) + S \times i$ $AC_{\text{cap}} = (220 - 20) \times 0.081743 + 20 \times 0.08$ $AC_{\text{cap}} = 200 \times 0.081743 + 1.60 = 16.3486 + 1.60 = 17.9486 \text{ 億元/年}$

核心觀念

本題考查水資源工程學中水文分析的時間－面積法（Time-Area Method）。該方法為一種純水力平移（Translation-only）的逕流推估模式，核心觀念如下：

1. 等時線與產流面積（Isochrones & Contributing Area）： 將集水區依水流流達出口處所需的時間劃分等時線。集水區累積產流面積隨時間變化的關係稱為時間－面積曲線（Time-Area Curve）；兩相鄰等時線之間的面積差，即為該流達時間區間內的增量產流面積（Incremental Area, $\Delta A$）。
2. 離散卷積（Discrete Convolution）： 降雨在集水區各分區產生的逕流，以水流平移方式歷經各自的流達時間抵達出口。任一時段 $j$ 出口處的流量，為過去各時段超滲降雨落於對應流達時間之分區面積上所產生的流量疊加： $Q_j = \sum_{i=1}^{\min(j, M)} I_i \cdot \Delta A_{j - i + 1} \times \text{單位換算係數}$ 其中 $I_i$ 為第 $i$ 時段之超滲降雨強度，$\Delta A_k$ 為流達時間在第 $k$ 時段之增量面積。
3. 單位換算： 降雨強度單位為 $\text{mm/h}$，面積單位為公頃（$\text{ha}$），要求出口流量單位為 $\text{m}^3/\text{s}$： $1\text{ ha} = 10^4\text{ m}^2,\quad 1\text{ mm/h} = \frac{10^{-3}\text{ m}}{3600\text{ s}}$ $1\text{ mm/h} \times 1\text{ ha} = \frac{10^4 \times 10^{-3}}{3600}\text{ m}^3/\text{s} = \frac{1}{360}\text{ m}^3/\text{s}$ 因此流量計算公式為： $Q = \frac{1}{360} \sum I \cdot \Delta A$

解題方法

步驟一：計算各時段增量產流面積（$\Delta A$）

時段間隔 $\Delta t = 5\text{ min}$。題目所給為累積產流面積 $A(t)$，各時段的增量產流面積 $\Delta A$ 如下：

• $0\sim5\text{ min}$（$\Delta A_1$）：$3 - 0 = 3\text{ ha}$
• $5\sim10\text{ min}$（$\Delta A_2$）：$9 - 3 = 6\text{ ha}$
• $10\sim15\text{ min}$（$\Delta A_3$）：$25 - 9 = 16\text{ ha}$
• $15\sim20\text{ min}$（$\Delta A_4$）：$51 - 25 = 26\text{ ha}$
• $20\sim25\text{ min}$（$\Delta A_5$）：$91 - 51 = 40\text{ ha}$
• $25\sim30\text{ min}$（$\Delta A_6$）：$100 - 91 = 9\text{ ha}$

總面積 $\sum \Delta A = 3 + 6 + 16 + 26 + 40 + 9 = 100\text{ ha}$（全集水區面積）。

步驟二：超滲降雨強度（$I$）

降雨持續至 $20\text{ min}$，共 $M = 4$ 個時段：

• $I_1$（$0\sim5\text{ min}$）：$132\text{ mm/h}$
• $I_2$（$5\sim10\text{ min}$）：$84\text{ mm/h}$
• $I_3$（$10\sim15\text{ min}$）：$60\text{ mm/h}$
• $I_4$（$15\sim20\text{ min}$）：$36\text{ mm/h}$
• $t > 20\text{ min}$：$I = 0\text{ mm/h}$

步驟三：逕流歷線基期判定

• 降雨歷時 $t_r = 20\text{ min}$（$4$ 個時段）
• 集水區最大流達時間 $t_c = 30\text{ min}$（$6$ 個時段）
• 逕流基期 $t_b = t_r + t_c = 20 + 30 = 50\text{ min}$ 非零流量時段數為 $M + N - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$ 個（對應 $t = 5, 10, \dots, 45\text{ min}$）。

步驟四：各時間點流量（$Q$）詳細計算

由公式 $Q_j = \frac{1}{360} \sum I_i \Delta A_{j-i+1}$ 計算：

1. $t = 0\text{ min}$： $Q(0) = 0\text{ m}^3/\text{s}$

2. $t = 5\text{ min}$： $Q(5) = \frac{1}{360}(I_1 \Delta A_1) = \frac{1}{360}(132 \times 3) = \frac{396}{360} = 1.10\text{ m}^3/\text{s}$

3. $t = 10\text{ min}$： $Q(10) = \frac{1}{360}(I_1 \Delta A_2 + I_2 \Delta A_1) = \frac{1}{360}(132 \times 6 + 84 \times 3) = \frac{792 + 252}{360} = \frac{1044}{360} = 2.90\text{ m}^3/\text{s}$

4. $t = 15\text{ min}$： $Q(15) = \frac{1}{360}(I_1 \Delta A_3 + I_2 \Delta A_2 + I_3 \Delta A_1) = \frac{1}{360}(132 \times 16 + 84 \times 6 + 60 \times 3) = \frac{2112 + 504 + 180}{360} = \frac{2796}{360} \approx 7.77\text{ m}^3/\text{s}$

5. $t = 20\text{ min}$：

核心觀念

本題為水資源工程與水文學中典型的「水庫洪水演算」（Reservoir Flood Routing）問題，核心依據為連續方程式（質量守恆定律）： $I - Q = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$ 其中 $I$ 為入流量（$\mathrm{m}^3/\mathrm{s}$）、$Q$ 為出流量（$\mathrm{m}^3/\mathrm{s}$）、$S$ 為蓄水量、$\Delta t$ 為計算時距。

在離散時距 $\Delta t$ 內，連續方程式以平均進出流量表示： $\frac{I_1 + I_2}{2} - \frac{Q_1 + Q_2}{2} = \frac{S_2 - S_1}{\Delta t}$ 常用於非受控溢洪道水庫演算之數值解法為修正脈衝法（Modified Puls Method，又稱蓄量指示法 Storage Indication Method），將已知項（時距起點）移至等式右側，未知項（時距終點）置於等式左側： $\left(\frac{2S_2}{\Delta t} + Q_2\right) = (I_1 + I_2) + \left(\frac{2S_1}{\Delta t} - Q_1\right)$ 以及連續推展關係式： $\left(\frac{2S_2}{\Delta t} - Q_2\right) = \left(\frac{2S_2}{\Delta t} + Q_2\right) - 2Q_2$

單位與起始條件說明：依水利工程考題常規與物理量級，蓄水量關係式 $S=0.015h^2$ 之蓄水量 $S$ 單位為百萬立方公尺（$10^6\ \mathrm{m}^3$），水深 $h$ 為公尺（$\mathrm{m}$），出流量關係式 $Q=50h^{0.5}$ 單位為 $\mathrm{m}^3/\mathrm{s}$。洪水來臨前（$t=0\ \mathrm{h}$）水庫處於平衡狀態，起始出流量等於起始入流量（$Q_0 = I_0 = 30\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$）。

解題方法

步驟一：推導蓄量指示函數與出流量的關係式 計算時距 $\Delta t = 4\ \text{小時} = 4 \times 3600\ \text{s} = 14400\ \text{s}$。 蓄水量以標準公制單位表示為： $S = 0.015 \times 10^6 h^2 = 15000 h^2\ (\mathrm{m}^3)$ 由出流量公式 $Q = 50h^{0.5}$ 可得： $h^{0.5} = \frac{Q}{50} \implies h = \left(\frac{Q}{50}\right)^2 \implies h^2 = \frac{Q^4}{50^4} = \frac{Q^4}{6.25 \times 10^6}$ 將 $h^2$ 代入蓄量關係式： $S = 15000 \times \frac{Q^4}{6.25 \times 10^6} = 0.0024 Q^4\ (\mathrm{m}^3)$ 計算 $\frac{2S}{\Delta t}$： $\frac{2S}{\Delta t} = \frac{2 \times 0.0024 Q^4}{14400} = \frac{Q^4}{3 \times 10^6}\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s})$ 由此建立蓄量指示函數 $G(Q) = \frac{2S}{\Delta t} + Q$： $G(Q) = \frac{2S}{\Delta t} + Q = \frac{Q^4}{3 \times 10^6} + Q$ $\frac{2S}{\Delta t} - Q = \frac{Q^4}{3 \times 10^6} - Q = G(Q) - 2Q$

步驟二：建立蓄量指示曲線參考數值表

步驟三：進行逐時序洪水演算（時距 $\Delta t = 4\ \mathrm{h}$）

1. $t = 0\ \mathrm{h}$： $I_0 = 30\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$，$Q_0 = 30\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$。 $\frac{2S_0}{\Delta t} - Q_0 = \frac{30^4}{3 \times 10^6} - 30 = 0.27 - 30 = -29.73\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$

2. $t = 4\ \mathrm{h}$： $I_1 = 80\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$，$I_0 + I_1 = 30 + 80 = 110\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$。 $\left(\frac{2S_1}{\Delta t} + Q_1\right) = 110 + (-29.73) = 80.27\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$ 解 $\frac{Q_1^4}{3 \times 10^6} + Q_1 = 80.27 \implies Q_1 \approx 71.5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$。 $\left(\frac{2S_1}{\Delta t} - Q_1\right) = 80.27 - 2(71.5) = -62.73\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$

3. $t = 8\ \mathrm{h}$： $I_2 = 120\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$，$I_1 + I_2 = 80 + 120 = 200\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$。 $\left(\frac{2S_2}{\Delta t} + Q_2\right) = 200 + (-62.73) = 137.27\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}$