107 地方特考三等 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量明渠均勻流（Uniform flow）之「邊界剪應力」與「剪速度」基本水力特性計算，涉及以下核心觀念與公式：

1. 水力半徑（Hydraulic Radius, $R$）： 定義為通水斷面積 $A$ 與潤周 $P$ 之比值： $R = \frac{A}{P}$ 開渠流動之頂部為自由液面，大氣與水面接觸處不計入固體潤周。
2. 均勻流平均邊界剪應力（Average Boundary Shear Stress, $\tau_0$）： 在均勻流條件下，順流方向重力分力與邊界總阻力達到動量平衡（控制體積受力平衡）： $W \sin\theta = \tau_0 P L \implies \tau_0 = \gamma R S_0 = \rho g R S_0$ 其中 $\gamma$ 為水之單位重（常溫下取 $9810\ \mathrm{N/m^3}$ 或 $9800\ \mathrm{N/m^3}$），$\rho$ 為水之密度（$1000\ \mathrm{kg/m^3}$），$g$ 為重力加速度（取 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$），$S_0$ 為渠道底床坡度（均勻流下底坡等於能量坡降 $S_0 = S_f$）。
3. 剪速度（Shear Velocity, $u_*$）： 又稱摩阻速度（Friction velocity），並非流體內部實際測得的流速，而是將邊界剪應力量綱轉換後所得的速度尺度： $u_* = \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}} = \sqrt{g R S_0}$

解題方法

步驟一：計算斷面幾何水力特性

矩形斷面渠寬 $B = 1\ \mathrm{m}$，水深 $y = 0.8\ \mathrm{m}$：

• 通水面積： $A = B \times y = 1 \times 0.8 = 0.8\ \mathrm{m^2}$
• 潤周（僅計與固體邊界接觸之兩側壁及底床）： $P = B + 2y = 1 + 2 \times 0.8 = 2.6\ \mathrm{m}$
• 水力半徑： $R = \frac{A}{P} = \frac{0.8}{2.6} = \frac{4}{13}\ \mathrm{m} \approx 0.3077\ \mathrm{m}$

步驟二：求解底床拖曳平均剪應力 $\tau_0$

假設此渠道水流為均勻流，底床縱坡 $S_0 = 0.001$。 取水之密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（水之單位重 $\gamma = \rho g = 9810\ \mathrm{N/m^3}$）： $\tau_0 = \gamma R S_0 = 9810 \times \frac{4}{13} \times 0.001 = \frac{39.24}{13} \approx 3.0185\ \mathrm{N/m^2}$

核心觀念

本題屬於開渠水力學中​「非稜柱形漸變段渠道之能量轉換與比能分析」​的經典考題，核心觀念包含：

1. 連續方程式（質量守恆）： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$
2. 能量方程式（伯努利方程式於明渠流之應用）： 取渠道基準面（Datum），兩斷面在無水頭損失（$h_L=0$）且動能修正係數 $\alpha_1=\alpha_2=1.0$ 的條件下，總水頭守恆： $z_1 + y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = z_2 + y_2 + \frac{V_2^2}{2g}$
3. 梯形斷面幾何水力特性： 底寬 $b$、水深 $y$、側坡比（垂直:水平 = $1:m$）之斷面面積公式為： $A = (b + my)y$
4. 比能（Specific Energy）與流況控制： 比能定義為 $E = y + \frac{V^2}{2g}$。給定比能時，方程式存在兩組正實數解（交替水深，Alternate Depths），分別對應緩流（亞臨界流，$Fr < 1$）與急流（超臨界流，$Fr > 1$）。明渠漸變段在無外力擾動與落差控制下，流況由下游狀況向上游延伸傳遞。

解題方法

步驟一：計算下游梯形渠道（斷面 2）之水力要素與水頭

設定下游梯形渠道之底床高程為基準面，即 $z_2 = 0\ \mathrm{m}$。

• 底寬 $b_2 = 23\ \mathrm{m}$，水深 $y_2 = 6.7\ \mathrm{m}$。
• 側坡比 $\mathrm{V:H} = 1:2$，即垂直升降 $1$ 單位對應水平寬展 $m = 2$ 單位。
• 斷面通水面積 $A_2$： $A_2 = (b_2 + m y_2) y_2 = (23 + 2 \times 6.7) \times 6.7 = (23 + 13.4) \times 6.7 = 36.4 \times 6.7 = 243.88\ \mathrm{m^2}$
• 斷面平均流速 $V_2$： $V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{357}{243.88} \approx 1.464\ \mathrm{m/s}$
• 流速水頭 $\frac{V_2^2}{2g}$（取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$）： $\frac{V_2^2}{2g} = \frac{(1.464)^2}{2 \times 9.81} \approx 0.109\ \mathrm{m}$
• 斷面 2 之總水頭 $H_2$： $H_2 = z_2 + y_2 + \frac{V_2^2}{2g} = 0 + 6.7 + 0.109 = 6.809\ \mathrm{m}$

步驟二：建立兩斷面間之能量守恆方程式

已知矩形渠槽底床較梯形渠道底床高 $0.5\ \mathrm{m}$，則上游斷面 1 之底床高程為 $z_1 = 0.5\ \mathrm{m}$。

• 上游矩形斷面寬度 $b_1 = 15\ \mathrm{m}$，通水面積 $A_1 = b_1 y_1 = 15 y_1$。
• 上游斷面平均流速 $V_1$： $V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{357}{15 y_1} = \frac{23.8}{y_1}$
• 上游流速水頭： $\frac{V_1^2}{2g} = \frac{(23.8/y_1)^2}{2 \times 9.81} = \frac{566.44}{19.62 y_1^2} \approx \frac{28.871}{y_1^2}$
• 依無水頭損失之能量方程式 $H_1 = H_2$： $z_1 + y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = H_2$ $0.5 + y_1 + \frac{28.871}{y_1^2} = 6.809$ $y_1 + \frac{28.871}{y_1^2} = 6.309$

步驟三：求解矩形渠槽之水深 $y_1$ 並判定合理流況

將比能方程式整理為一元三次代數方程式： $y_1^3 - 6.309 y_1^2 + 28.871 = 0$

1. 臨界水深檢驗： 矩形斷面之單位寬度流量 $q_1 = \frac{Q}{b_1} = \frac{357}{15} = 23.8\ \mathrm{m^2/s}$。 臨界水深 $y_{c1}$ 為：

核心觀念

本題旨在考查渠道水力學中等速流（Uniform Flow，亦稱等流）​之水力特性、寬廣渠道（Wide Open Channel）​之幾何簡化，以及物理學最高守則——連續方程式（Continuity Equation，質量守恆）​之應用。

1. 寬廣渠道之幾何特性： 渠道寬度 $B$ 遠大於水深 $y$（$B \gg y$）時，潤周 $P = B + 2y \approx B$，水力半徑可簡化為水深： $R = \frac{A}{P} = \frac{By}{B} = y$

2. 連續方程式（質量守恆定律）： 同一渠道相連之兩渠段，在穩定流條件下流量守恆（$Q_1 = Q_2 = Q$）。渠道寬度 $B$ 不變，則單位寬度流量 $q$ 亦守恆： $q = \frac{Q}{B} = v_1 y_1 = v_2 y_2 = \text{常數}$ 平均流速比與水深比必然互為倒數： $\frac{v_2}{v_1} = \frac{y_1}{y_2}$

3. 等流公式： 當水流達等速流時，重力沿流向之分力與邊界摩擦阻力平衡：

• 曼寧公式（Manning's Formula）： $v = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}$
• 蔡斯公式（Chezy's Formula）： $v = C \sqrt{RS} = C R^{1/2} S^{1/2}$ 兩渠段之內面工材質相同（糙率 $n_1 = n_2 = n$；蔡斯係數 $C_1 = C_2 = C$），水深之所以不同（$y_2 / y_1 = 0.5$），其物理成因正是兩渠段具有不同之縱坡（$S_1 \neq S_2$）。

解題方法

本題可透過兩種途徑求解：直接由質量守恆求解，或結合等流公式推導底坡比後聯立求解。兩種方法殊途同歸，均能嚴謹證得流速比。

方法一：由連續方程式直接求解（最精準且基本之物理方法）

兩渠段前後串聯且為同一渠道，無旁側入流或出流，由連續方程式： $Q_1 = Q_2 \implies A_1 v_1 = A_2 v_2$ 因寬度 $B$ 相同，代入斷面積 $A = B y$： $B y_1 v_1 = B y_2 v_2 \implies v_1 y_1 = v_2 y_2$ 整理可得平均速度比： $\frac{v_2}{v_1} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{1}{\dfrac{y_2}{y_1}}$ 已知水深比 $\dfrac{y_2}{y_1} = 0.5$，代入得： $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{0.5} = 2$ 此結果完全奠基於質量守恆定律，無論後續採用何種水阻力公式（曼寧公式或蔡斯公式），只要水流連續，流速比皆必然為 $2$。

方法二：依各小題指定公式結合等流條件推導

若依題意分別以曼寧公式與蔡斯公式展開，必須先利用等流流量守恆求出兩段之底坡比 $\dfrac{S_2}{S_1}$，再回代至流速公式中：

(一) 以曼寧公式計算：

1. 寬廣渠道 $R_1 = y_1$、$R_2 = y_2$，兩渠段曼寧平均流速分別為： $v_1 = \frac{1}{n} y_1^{2/3} S_1^{1/2}$ $v_2 = \frac{1}{n} y_2^{2/3} S_2^{1/2}$ 兩式相除得流速比： $\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{2/3} \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^{1/2}$

2. 由等速流之流量守恆條件 $Q_1 = Q_2$： $B y_1 \cdot \frac{1}{n} y_1^{2/3} S_1^{1/2} = B y_2 \cdot \frac{1}{n} y_2^{2/3} S_2^{1/2} \implies y_1^{5/3} S_1^{1/2} = y_2^{5/3} S_2^{1/2}$ 解得底坡項之比值： $\left(\frac{S_2}{S_1}\right)^{1/2} = \left(\frac{y_1}{y_2}\right)^{5/3}$

3. 將底坡項代回流速比式中：

核心觀念

本題旨在測驗一維漸變非均勻不穩定流（變量流，1D Unsteady Flow）的聖維南連續方程式（Saint-Venant Continuity Equation）​應用與水力控制體積的質量守恆分析。

一維不穩定流之連續方程式通式為： $\frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial t} = q_\ell$

式中：

• $Q$：河川斷面流量（$\mathrm{m^3/s}$）
• $A$：水流斷面積（$\mathrm{m^2}$）
• $x$：沿水流方向之縱向坐標（向水流下游為正，$\mathrm{m}$）
• $t$：時間（$\mathrm{s}$）
• $q_\ell$：單位長度之側向入流量（$\mathrm{m^3/s/m}$），本題無側向入流，故 $q_\ell = 0$

對於斷面水面頂寬為 $B$ 之河道，斷面積隨時間之變化率可表示為： $\frac{\partial A}{\partial t} = B \frac{\partial y}{\partial t}$ 其中 $y$ 為水深（或水位），$\frac{\partial y}{\partial t}$ 為水位上升率。

將其代入連續方程式，可得流量沿程空間變化率與水位時變率之基本關係式： $\frac{\partial Q}{\partial x} + B \frac{\partial y}{\partial t} = 0 \implies \frac{\partial Q}{\partial x} = -B \frac{\partial y}{\partial t}$

物理意義： 當水位隨時間上升（$\frac{\partial y}{\partial t} > 0$）時，表示水流在該河段內蓄積（河道蓄水量增加），此時流量隨流向遞減（$\frac{\partial Q}{\partial x} < 0$），即「上游流入量大於下游流出量」。

解題方法

假設在觀測站鄰近河段內，水面平均寬度 $B$ 與水位上升率 $\frac{\partial y}{\partial t}$ 均視為常數（均勻分佈），採用一階差分（線性近似）進行估算： $\Delta Q \approx \frac{\partial Q}{\partial x} \Delta x = -B \frac{\partial y}{\partial t} \Delta x$

1. 基本物理量單位換算與計算

• 水面寬度：$B = 500\ \mathrm{m}$
• 觀測站處流量：$Q_0 = 8000\ \mathrm{m^3/s}$
• 水位上升率： $\frac{\partial y}{\partial t} = 0.5\ \mathrm{m/hr} = \frac{0.5}{3600}\ \mathrm{m/s} = \frac{1}{7200}\ \mathrm{m/s}$
• 流量沿程空間變化率： $\frac{\partial Q}{\partial x} = -B \frac{\partial y}{\partial t} = -500 \times \frac{0.5}{3600} = -\frac{250}{3600} = -\frac{5}{72}\ \mathrm{m^3/(s\cdot m)}$ 換算為每公里之流量遞減率： $\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{5}{72} \times 1000 = -\frac{625}{9}\ \mathrm{m^3/(s\cdot km)} \approx -69.444\ \mathrm{m^3/(s\cdot km)}$

核心觀念

1. 正湧浪（Positive Surge）之水力特性： 正湧浪為明渠中因閘門突然開關或流量驟變所引起之非恆定急變流（Unsteady Rapidly Varied Flow），波前伴隨水深急遽增加。
2. 相對坐標系轉換（Galilean Transformation）： 將坐標系錨定於以波速 $c$（或 $V_w$）移動之湧浪波前，對全場疊加相反方向之波速 $-c$，使非恆定流轉換為「等效恆定流」（Equivalent Steady Flow）。此時正湧浪之水力力學行為完全等同於移動坐標系下之水躍（Hydraulic Jump）。
3. 連續方程式與動量方程式：

• 相對連續方程式： $Q_r = u_1 A_1 = u_2 A_2$ 其中 $u_1 = c$ 為波前相對入流速度（相對於靜水或未受擾動水流之波速 celerity），$u_2$ 為湧浪後之相對流速。
• 動量方程式（忽略極短波前長度內之渠底摩擦力與渠底坡度分力）： $F_{p1} - F_{p2} = \rho Q_r (u_2 - u_1)$ 式中靜水壓力合力 $F_p = \gamma A \bar{y}$，$\bar{y}$ 為過水斷面形心至水面之垂直距離。

4. 任意稜柱形渠道之正湧浪波速公式： 由連續與動量方程式聯立可得： $c = \sqrt{\frac{g A_2}{A_1 (A_2 - A_1)} (A_2 \bar{y}_2 - A_1 \bar{y}_1)}$
5. 梯形斷面幾何與靜水壓力矩公式： 底寬為 $b$、側坡比為 $1:z$（垂直:水平，本題側坡比 $1:1$ 故 $z = 1$）、水深為 $y$ 之梯形斷面：

• 斷面面積： $A = (b + z y) y$
• 斷面對水面之一次面積矩（靜水壓力矩因子）： $A \bar{y} = \frac{1}{2} b y^2 + \frac{1}{3} z y^3$

解題方法

步驟一：整理已知條件與斷面幾何參數

• 渠道底寬 $b = 6\ \mathrm{m}$
• 側坡比 $1:1 \implies z = 1$
• 湧浪前水深 $y_1 = 2.0\ \mathrm{m}$
• 正湧浪高度 $\Delta y = 0.8\ \mathrm{m}$
• 湧浪後水深 $y_2 = y_1 + \Delta y = 2.0 + 0.8 = 2.8\ \mathrm{m}$
• 重力加速度取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$（亦併列 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 之結果）

步驟二：計算湧浪前（斷面 1）之水力幾何

• 通水面積 $A_1$： $A_1 = (b + z y_1) y_1 = (6 + 1 \times 2.0) \times 2.0 = 8.0 \times 2.0 = 16.0\ \mathrm{m^2}$
• 斷面 1 對水面之面積矩 $A_1 \bar{y}_1$： $A_1 \bar{y}_1 = \frac{1}{2} b y_1^2 + \frac{1}{3} z y_1^3 = \frac{1}{2}(6)(2.0)^2 + \frac{1}{3}(1)(2.0)^3 = 12 + \frac{8}{3} = \frac{44}{3}\ \mathrm{m^3} \approx 14.667\ \mathrm{m^3}$

步驟三：計算湧浪後（斷面 2）之水力幾何

• 通水面積 $A_2$： $A_2 = (b + z y_2) y_2 = (6 + 1 \times 2.8) \times 2.8 = 8.8 \times 2.8 = 24.64\ \mathrm{m^2}$
• 面積差值 $\Delta A$： $\Delta A = A_2 - A_1 = 24.64 - 16.0 = 8.64\ \mathrm{m^2}$
• 斷面 2 對水面之面積矩 $A_2 \bar{y}_2$：