108 地方特考三等 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查明渠水力學的五個基本名詞：流速分布造成的能量修正、均勻流的水深、量測流量的水工設施、非恆定流中的潰壩波，以及控制溢流的溢洪道堰面。作答時應掌握各名詞的定義、用途與主要特性。

解題方法

（1）能量修正係數 $\alpha$（Energy correction factor）

明渠斷面上的流速通常不均勻，若直接以斷面平均流速計算動能，會與實際動能通量有差異。能量修正係數 $\alpha$ 用來修正此差異，其定義為：

$$\alpha = \frac{\displaystyle\int_A v^3\,dA} {A\bar{V}^{\,3}}$$

其中 $v$ 為斷面局部流速、$A$ 為通水斷面積，$\bar V=Q/A$ 為斷面平均流速。因此，斷面能量水頭可寫為：

$$H=z+y+\alpha\frac{\bar V^{\,2}}{2g}$$

流速分布愈不均勻，$\alpha$ 通常愈大；流速均勻時 $\alpha=1$。在水力計算中，$\alpha$ 修正的是速度水頭所代表的動能項。

（2）正常水深（Normal depth）

正常水深是渠道在定床、定坡及定流量條件下，流況達到均勻流時的水深。均勻流的水深、平均流速及流速分布沿渠道縱向均不變，水面線、渠底線與能量線彼此平行，且能量坡降等於渠底坡降。

正常水深通常由曼寧公式求得：

$$Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S_0^{1/2}$$

其中 $n$ 為曼寧粗糙係數、$A$ 為通水斷面積、$R=A/P$ 為水力半徑、$S_0$ 為渠底坡度。給定流量、渠道幾何與坡度後，代入各水深所對應的 $A$、$R$，即可求出使公式成立的水深，即正常水深。

（3）巴歇爾水槽（Parshall flume）

巴歇爾水槽是一種用於明渠流量量測的固定式量水槽，常設於灌溉渠道或排水渠道。其主要構造包含收縮段、喉道及擴散段；喉道渠底具有特定坡度，水槽幾何尺寸則依標準規格製作。

水流通過收縮段與喉道時形成控制流況，藉由量測指定位置的水位，並套用該規格水槽的水位—流量關係，即可推算流量。巴歇爾水槽具有量測方便、適用於含懸浮物或泥砂的水流等特點；

核心觀念

第一水力指數 $M$（First hydraulic exponent）用來描述明渠斷面積 $A$ 隨水力深度 $D$ 變化的關係。對固定斷面形狀，$M$ 定義為：

$$M=\frac{d\ln A}{d\ln D} =\frac{D}{A}\frac{dA}{dD}$$

其中水力深度 $D=A/T$，$T$ 為水面寬。由於 $dA/dy=T$、$dD/dy=d(A/T)/dy$，也可用水深 $y$ 表示：

$$M=\frac{D}{A}\frac{dA/dy}{dD/dy} =\frac{T^2}{A\left(1-\dfrac{D}{T}\dfrac{dT}{dy}\right)}$$

此指數表示水深改變時，斷面積相對變化的程度；計算時須依題目所給斷面幾何，先求 $A$、$T$ 與 $D$，再代入定義。

解題方法

對稱梯形渠道底寬為 $b$，水深為 $y$，邊坡坡度以水平：垂直表示為 $z:1$。題目邊坡角為 $45^\circ$，因此 $z=\cot 45^\circ=1$。

梯形渠道的斷面積、水面寬與水力深度分別為：

$$A=by+zy^2,\qquad T=b+2zy,\qquad D=\frac{A}{T}$$

將斷面積對水深微分：

$$\frac{dA}{dy}=b+2zy=T$$

再由 $D=A/T$ 求導：

$$\frac{dD}{dy} =\frac{T(dA/dy)-A(dT/dy)}{T^2} =1-\frac{2zA}{T^2}$$

因此：

核心觀念

本題考查非對稱梯形渠道的斷面幾何、複合糙度與曼寧公式。渠道底床和兩側邊坡的糙度不同，因此先依各部分濕周計算代表曼寧係數，再求水力半徑，最後代入曼寧公式計算流量。

不同糙度渠道的複合曼寧係數採濕周加權：

$$n_{\mathrm{eq}} = \left( \frac{\sum_i P_i n_i^{3/2}}{P} \right)^{2/3}$$

其中 $P_i$ 是各部分的濕周，$P=\sum_i P_i$ 是總濕周。此式適用於各渠段水力坡降及平均流速相同的複合渠道估算。

曼寧公式為：

$$Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S_0^{1/2}, \qquad R=\frac{A}{P}$$

解題方法

1. 計算各部分濕周與總濕周

邊坡參數 $m$ 表示水平距離與垂直距離之比，因此垂直高度為 $y_0$ 時，邊坡長度為 $y_0\sqrt{1+m^2}$。

左側邊坡濕周：

$$P_1=3\sqrt{1+1^2}=3\sqrt{2}=4.2426\ \mathrm{m}$$

底床濕周：

$$P_2=B=10.0\ \mathrm{m}$$

右側邊坡濕周：

$$P_3=3\sqrt{1+2^2}=3\sqrt{5}=6.7082\ \mathrm{m}$$

因此總濕周為：

$$P=P_1+P_2+P_3 =4.2426+10.0+6.7082 =20.9508\ \mathrm{m}$$

2. 計算代表曼寧係數

依各段濕周及其糙度代入複合糙度公式：

核心觀念

本題考查矩形渠道的臨界水深、曼寧正常水深，以及依「正常水深與臨界水深的大小關係」判定渠道坡度與漸變流水面線。

矩形渠道寬度 $b=3.0\ \mathrm{m}$、流量 $Q=21.0\ \mathrm{m^3/s}$，單位寬流量為

$$q=\frac{Q}{b}=\frac{21}{3}=7.0\ \mathrm{m^2/s}$$

臨界水深由矩形渠道的臨界流條件求得：

$$y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3} =\left(\frac{7^2}{9.81}\right)^{1/3} \approx 1.71\ \mathrm{m}$$

渠道寬度與流量在三個渠段都相同，因此三段的臨界水深相同。正常水深則受各段坡度 $S_0$ 與曼寧係數 $n$ 影響，須分段計算。

解題方法

矩形渠道的曼寧公式為

$$Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S_0^{1/2}$$

其中

$$A=by,\qquad R=\frac{A}{P}=\frac{by}{b+2y}$$

將各渠段的 $b$、$n$、$S_0$ 代入，求解使曼寧公式成立的水深，即為正常水深 $y_0$。

渠段	$S_0$	$n$	臨界水深 $y_c$	正常水深 $y_0$
A	0.0004	0.015	$1.71\ \mathrm{m}$	約 $0.57\ \mathrm{m}$
B	0.009	0.012	$1.71\ \mathrm{m}$	約 $1.11\ \mathrm{m}$
C	0.0008	0.015	$1.71\ \mathrm{m}$	約 $3.37\ \mathrm{m}$

例如渠段 A 的正常水深須滿足

$$21=\frac{1}{0.015}(3y) \left(\frac{3y}{3+2y}\right)^{2/3}(0.0004)^{1/2}$$

解得 $y_0\approx0.57\ \mathrm{m}$。其餘渠段以相同方式代入各自的 $n$ 與 $S_0$ 求解。

坡度與水面線判定

比較各段 $y_0$ 與 $y_c$：

• 若 $y_0<y_c$，為陡坡（S）。
• 若 $y_0>y_c$，為緩坡（M）。

渠段 A、B 的正常水深均小於臨界水深，故 A、B 為陡坡；渠段 C 的正常水深大於臨界水深，故 C 為緩坡。

由各段相接時的水深關係，可判定主要水面線如下：