107 地方特考三等 水利工程 土壤力學與基礎工程 考古題詳解

核心觀念

本題為公職國家考試經典的觀念綜合題，涵蓋土壤力學四項基礎核心範疇：

1. 土壤剪力強度（Shear Strength）：莫爾－庫倫（Mohr-Coulomb）極限平衡準則之物理本質、強度指標（內聚力與摩擦角）之意義，以及決定參數之室內標準試驗法。
2. 土壤工程分類（Soil Classification）：AASHTO（美國州公路及運輸官員協會）分類系統中對粒徑級配界線之規範，考生須能明確辨別與統一土壤分類法（USCS）之界線差異。
3. 側向土壓力（Lateral Earth Pressure）：朗金（Rankine）塑性平衡理論在砂土（無內聚力土壤）狀態下之靜止、主動與被動土壓力係數公式。
4. 土壤結構指標（Physical Index Properties）：以孔隙比（Void Ratio）表徵砂土緊密程度之相對密度（Relative Density）定義。

解題方法與詳細解析

(一) 莫爾－庫倫破壞準則、剪力強度參數與常見室內試驗

1. 莫爾－庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion）

• 定義：該準則主張材料破壞面的剪力強度，取決於該破壞面上所承受的法向應力。當破壞面上的剪應力達到該法向應力所能發揮的極限剪力阻抗時，即發生剪力破壞。莫爾包絡線（Mohr's envelope）在工程應力範圍內可簡化為一條直線。
• 數學表示式：
• 總應力形式： $\tau_f = c + \sigma \tan\phi$
• 有效應力形式： $\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'$ 式中，$\tau_f$ 為破壞面上的剪力強度；$\sigma$、$\sigma'$ 分別為破壞面上的總法向應力與有效法向應力；$c$、$c'$ 分別為總內聚力與有效內聚力；$\phi$、$\phi'$ 分別為總內摩擦角與有效內摩擦角。

2. 土壤剪力強度參數（Parameters of Shear Strength） 土壤剪力強度參數即為決定莫爾包絡線位置與斜率的兩個常數：

• 內聚力（Cohesion, $c$ 或 $c'$）：指破壞面上法向應力為零時所具備的剪力強度，主要源自黏土顆粒間的靜電引力、水化膜鍵結及膠結作用（砂土的 $c \approx 0$）。
• 內摩擦角（Angle of Internal Friction, $\phi$ 或 $\phi'$）：代表剪力破壞面上法向應力轉化為抗剪阻抗之比率（$\tan\phi$ 為摩擦係數），主要源自土顆粒滑動時的表面摩擦阻力以及顆粒間的互鎖效應（Interlocking）。

3. 求得剪力強度參數之兩種常見室內試驗

• 直接剪力試驗（Direct Shear Test, DST）： 將土樣置於剪力盒中，施加固定的垂直垂直應力（Normal Stress, $\sigma$），再施加水平剪力強制土樣沿預定水平面剪斷。透過不同垂直應力下測得的極限剪應力 $\tau_f$，於 $\tau-\sigma$ 坐標軸繪製破壞包絡線，求得 $c$ 與 $\phi$。
• 三軸壓縮試驗（Triaxial Compression Test, TXT）： 將圓柱形土樣包覆於橡皮膜內置於壓力室，先施加均勻圍壓（側向應力 $\sigma_3$），再施加軸向偏應力（$\Delta\sigma = \sigma_1 - \sigma_3$）直至剪力破壞。依排水條件可分為：不壓密不排水試驗（UU）、壓密不排水試驗（CU）及壓密排水試驗（CD）。利用不同圍壓下的主應力狀態繪製莫爾破壞應力圓，其公切線即為破壞包絡線，進而求出強度參數。

(二) AASHTO 土壤分類法之砂土、粉土與黏土之顆粒尺寸範圍

依據 AASHTO M 145 規範標準，各粒徑之定義範圍如下：

1. 砂土（Sand）：

• 顆粒尺寸介於 $2.0\text{ mm}$（No. 10 篩）至 $0.075\text{ mm}$（No. 200 篩） 之間。
• 細分區間：
• 粗砂（Coarse sand）：$2.0\text{ mm}$（No. 10 篩）至 $0.425\text{ mm}$（No. 40 篩）。
• 細砂（Fine sand）：$0.425\text{ mm}$（No. 40 篩）至 $0.075\text{ mm}$（No. 200 篩）。

2. 粉土（Silt）：

• 顆粒尺寸介於 $0.075\text{ mm}$（No. 200 篩）至 $0.002\text{ mm}$ 之間。

3. 黏土（Clay）：

• 顆粒尺寸 小於 $0.002\text{ mm}$（$< 0.002\text{ mm}$）。

(註：AASHTO 規範中通過 No. 200 篩之細粒料在工程分類群組判定時，係依據阿特堡限度之塑性指數（PI）進行工程性質劃分：$\text{PI} \le 10$ 為粉土質土壤，$\text{PI} \ge 11$ 為黏土質土壤；但純就「顆粒尺寸範圍」而言，則以 $0.002\text{ mm}$ 作為粉土與黏土之界線。)

(三) 砂土之靜止、主動與被動 Rankine 土壓係數公式

砂土屬於無內聚力土壤（$c' = 0$），在背填土表面水平且無壁面摩擦力（Rankine 條件）下，側向有效土壓力係數如下：

核心觀念

1. Terzaghi 淺基礎極限承載力公式： 對於連續條形基腳（Strip Footing），在一般剪力破壞（General Shear Failure）條件下，極限承載力 $q_{\mathrm{ult}}$ 之通式為： $q_{\mathrm{ult}} = c' N_c + q N_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma$ 其中：

• $c'$：土壤有效凝聚力。對於砂土層，$c' = 0$。
• $q$：基腳底面處之有效覆土壓力（Effective Surcharge），$q = \sigma'_v = \gamma D_f$。
• $B$：基腳寬度。
• $N_c, N_q, N_\gamma$：無因次承載力因數（Bearing Capacity Factors），僅為有效摩擦角 $\phi'$ 的函數。

2. 地下水位對承載力之折減影響：

• 基腳底面以上（覆土層）：計算有效覆土壓力 $q$ 時，水位以上土壤採濕單位重 $\gamma$，水位以下土壤則扣除水壓力（採浮單位重 $\gamma'$）。
• 基腳底面以下（剪力破壞區）：當地下水位恰位於基腳底面時，破壞剪切帶完全處於浸水狀態，第三項之土壤單位重必須以有效（浮）單位重 $\gamma' = \gamma_{\mathrm{sat}} - \gamma_w$ 計算。

解題方法

步驟一：整理已知條件與幾何配置

• 基腳型式：條形基腳，寬度 $B = 1.5\ \mathrm{m}$。
• 幾何位置：依原卷剖面圖示，基腳底面埋置深度 $D_f = 1.0\ \mathrm{m}$，地下水位剛好位於地表下 $1.0\ \mathrm{m}$（即恰位於基腳底面）。
• 土壤參數：
• 砂土有效凝聚力：$c' = 0$
• 砂土有效摩擦角：$\phi' = 35^\circ$
• 地下水位以上砂土單位重：$\gamma = 17\ \mathrm{kN/m^3}$
• 地下水位以下砂土飽和單位重：$\gamma_{\mathrm{sat}} = 19\ \mathrm{kN/m^3}$
• 水的單位重取常規值：$\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$（若取 $\gamma_w = 9.8\ \mathrm{kN/m^3}$ 亦於後續並列說明）

步驟二：查取 Terzaghi 承載力因數

依題意查附圖之 Terzaghi 承載力因數圖表，當 $\phi' = 35^\circ$ 時：

• $N_c = 57.75$（因 $c'=0$，此項不影響計算）
• $N_q = 41.44$（部分圖表概取 $41.4$）
• $N_\gamma = 45.41$（Terzaghi 原曲線查表值常落在 $42.4 \sim 45.4$ 區間，標準表列多取 $45.41$）

步驟三：計算有效覆土壓力與浮單位重

1. 基腳底面處有效覆土壓力 $q$： 基腳底面以上土層厚度為 $D_f = 1.0\ \mathrm{m}$，此區段全在地下水位以上： $q = \gamma \times D_f = 17\ \mathrm{kN/m^3} \times 1.0\ \mathrm{m} = 17\ \mathrm{kN/m^2}$

2. 基腳底面以下有效（浮）單位重 $\gamma'$： 因水位位於基底，下方剪力區土壤全處於飽和狀態： $\gamma' = \gamma_{\mathrm{sat}} - \gamma_w = 19 - 9.81 = 9.19\ \mathrm{kN/m^3}$

核心觀念

本題考查有限邊坡（finite slope）之平面滑動破壞（plane failure through toe），採用楔體力學平衡法（wedge analysis）。破壞面通過坡趾，滑動楔體為三角形。

需用到的核心公式體系：

• 楔體重量（幾何推導）
• Mohr-Coulomb 破壞準則：$\tau_f = c' + \sigma'\tan\phi'$
• 臨界角條件：令 $\partial H_{cr}/\partial\theta = 0$（或等價地令乘積 $\sin(\beta-\theta)\sin(\theta-\phi')$ 最大）

幾何設定與楔體重量

建立如下座標系：坡趾為原點，水平向右為 $x$，垂直向上為 $y$。

• 坡面：與水平面夾角 $\beta = 70°$，坡頂（crest）位於 $(H/\tan\beta,\; H)$
• 破壞面：通過坡趾，與水平面夾角 $\theta$（未知），交頂面於 $(H/\tan\theta,\; H)$

三頂點為： $A=(0,0),\quad B=\!\left(\frac{H}{\tan\beta},H\right),\quad C=\!\left(\frac{H}{\tan\theta},H\right)$

楔體面積（以行列式公式）：

$\text{Area} = \frac{1}{2}H^2\!\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}-\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right) = \frac{H^2\sin(\beta-\theta)}{2\sin\theta\sin\beta}$

（因 $\theta < \beta$，括號內為正）

楔體單位寬度重量：

$W = \gamma\cdot\text{Area} = \frac{\gamma H^2\sin(\beta-\theta)}{2\sin\theta\sin\beta}$

破壞面上的力平衡

破壞面（斜面 AC）的長度：

$L = \frac{H}{\sin\theta}$

分解 $W$ 至破壞面的法向與切向：

$N = W\cos\theta,\qquad T_{\text{驅動}} = W\sin\theta$

臨界狀態（安全係數 $F_S=1$，即驅動力 ＝ 抗滑力）：

$W\sin\theta = c'\cdot L + W\cos\theta\tan\phi'$

$W(\sin\theta - \cos\theta\tan\phi') = \frac{c'H}{\sin\theta}$

整理括號：

$W\cdot\frac{\sin(\theta-\phi')}{\cos\phi'} = \frac{c'H}{\sin\theta}$

代入 $W$：

$\frac{\gamma H^2\sin(\beta-\theta)}{2\sin\theta\sin\beta}\cdot\frac{\sin(\theta-\phi')}{\cos\phi'} = \frac{c'H}{\sin\theta}$

兩邊乘以 $\sin\theta$，消去 $H$ 一次後整理，得臨界坡高公式：

$\boxed{H_{cr}(\theta) = \frac{2c'\sin\beta\cos\phi'}{\gamma\,\sin(\beta-\theta)\sin(\theta-\phi')}}$

(一) 臨界破壞角 $\theta_{cr}$

$H_{cr}$ 越小，表示坡體越早失穩（最危險面）。因此求 $\theta_{cr}$ 使 $H_{cr}$ 最小，等價於使分母

$f(\theta) = \sin(\beta-\theta)\cdot\sin(\theta-\phi')$

最大化。

核心觀念

擋土牆設計須同時滿足「外部穩定（External Stability）」與「內部穩定（Internal Stability）」。本題針對外部穩定性之檢核與改善對策，依據我國《建築物基礎構造設計規範》（以命題當年民國 107 年規範為準），外部穩定檢核主要包含四種破壞模式：

1. 基底滑動破壞（Sliding Failure）：背填土側向主動土壓力大於基底摩擦阻抗與前方被動土壓力。
2. 繞牆趾傾覆破壞（Overturning Failure）：土壓力所產生之傾覆力矩大於牆體及填土自重產生之抗傾覆力矩。
3. 基礎承載力破壞（Bearing Capacity Failure）：基底最大接觸應力超過地盤極限承載力，或合力偏心過大導致地盤壓陷與塑性剪力破壞。
4. 整體（深層）滑動破壞（Overall / Deep-seated Failure）：圓弧滑動面穿過牆體下方之深層軟弱地層，造成擋土牆與土體整體崩塌。

解題方法

第一子題：檢核擋土牆穩定性之四種破壞模式與圖解

【四種破壞模式示意圖】

 1. 滑動破壞 (Sliding) 2. 傾覆破壞 (Overturning)
 │ │ 回填土 │ │ 回填土
 │ 牆 │ ───┐ │ 牆 │ ───┐
 │ 體 │ │ │ 體 │ ↷ │
 └──┬─┘ │ └──┬─┘ 轉動│
 ─────┴───── ▼ P_a ─────┴───── ▼ P_a
 =======> 滑移 O(牆趾)
 (抗滑力不足) (繞牆趾 O 點傾覆)

 3. 承載力破壞 (Bearing Capacity) 4. 整體/深層滑動破壞 (Deep-seated)
 │ │ │ │
 │ 牆 │ │ 牆 │
 │ 體 │ │ 體 │
 ───┴──┬─┴── ───┴──┬─┴──
 │ │ (潛在滑動弧面)
 ／ ＼ 破壞剪切面 ( ＼ ／ )
 (地基土壤塑性剪力破壞) ( ＼________／ )

1. 基底滑動破壞（Sliding Failure）

• 破壞機制：牆背所受水平向推力（主動土壓力 $P_a$ 之水平分量 $P_{ah}$ 與水壓力）大於基底土壤所能提供之極限抗滑阻力（基底摩擦力、黏著力及牆趾有效被動土壓力 $P_p$）。
• 檢核公式： $FS_{\text{slide}} = \frac{\sum F_R}{\sum F_d} = \frac{\left(\sum V\right)\tan\delta + c_a B' + P_p}{P_{ah}} \ge 1.5$ （常時安全係數要求 $FS \ge 1.5$；其中 $\delta$ 為基底摩擦角，$c_a$ 為附著力，$B'$ 為有效接觸寬度）。

2. 繞牆趾傾覆破壞（Overturning Failure）

• 破壞機制：水平土壓力對牆趾（Toe, $O$ 點）產生之順時針傾覆力矩，超過牆身自重、踵版上方回填土自重對 $O$ 點所產生之逆時針抵抗力矩。
• 檢核公式： $FS_{\text{overturn}} = \frac{\sum M_R}{\sum M_O} \ge 2.0$ （常時安全係數要求 $FS \ge 2.0$，地震時容許降至 $1.5$）。

3. 基礎承載力破壞（Bearing Capacity Failure）

• 破壞機制：由於傾覆力矩之作用，基底接觸壓力呈偏心分佈。當基底最大接觸應力 $q_{\max}$ 超過地基極限承載力 $q_{ult}$，或偏心距 $e > B/6$ 導致基底張裂產生應力集中，將引發地盤局部或全面之剪力破壞。
• 檢核公式：
• 偏心距檢核：$e = \frac{B}{2} - \frac{\sum M_R - \sum M_O}{\sum V} \le \frac{B}{6}$（確保接觸面無拉應力）
• 承載力安全係數： $FS_{\text{bearing}} = \frac{q_{ult}}{q_{\max}} \ge 3.0$ 其中最大接觸應力為 $q_{\max} = \frac{\sum V}{B}\left(1 + \frac{6e}{B}\right)$。

4. 整體（深層）滑動破壞（Overall / Deep-seated Slope Stability Failure）

• 破壞機制：擋土牆座落於邊坡或地盤深處存在軟弱黏土層時，滑動面穿過牆基底以下之深層土體，形成圓弧形破壞面，造成擋土牆隨邊坡整體失穩滑動。
• 檢核公式（以極限平衡圓弧法檢核）：