109 地方特考三等 衛生行政 生物統計學 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・衛生行政
試題代碼 生物統計學

第 一 題25 分

衛生福利部國民健康署對體位的分類如下：

體位成人肥胖定義：身體質量指數（BMI）（kg/m2\mathrm{kg/m^2}）
體重過輕BMI<18.5\mathrm{BMI}<18.5
健康體位18.5≤BMI<2418.5\leq\mathrm{BMI}<24
過重24≤BMI<2724\leq\mathrm{BMI}<27
肥胖27≤BMI27\leq\mathrm{BMI}

若已知某地區成人身體質量指數服從常態分布，平均值為 23 kg/m223\ \mathrm{kg/m^2}，標準差為 44。

請算出成人身體質量指數的四分位差，及體重過輕、過重與肥胖的比例。

再者，若隨機抽取 3636 位文書工作者測量其體位，得到其平均 BMI 值為 2626，請計算文書工作者 BMI 平均值的 95%95\% 信賴區間。

註：Φ(0.25)=0.60\Phi(0.25)=0.60、Φ(0.674)=0.75\Phi(0.674)=0.75、Φ(0.75)=0.77\Phi(0.75)=0.77、Φ(0.95)=0.829\Phi(0.95)=0.829、Φ(0.975)=0.835\Phi(0.975)=0.835、Φ(1)=0.841\Phi(1)=0.841、Φ(1.125)=0.87\Phi(1.125)=0.87、Φ(1.645)=0.95\Phi(1.645)=0.95、Φ(1.96)=0.975\Phi(1.96)=0.975。

其中，Φ\Phi 為常態分布累積分布函數。

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核心觀念

本題考常態分布的分位數與標準化、利用常態累積分布函數計算各體位比例，以及母體標準差已知時，母體平均數的 95%95\% 信賴區間。

若 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，標準化後為 Z=(X−μ)/σ∼N(0,1)Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)。四分位數分別是第 2525 百分位數 Q1Q_1 與第 7575 百分位數 Q3Q_3。本題的「四分位差」按常見用法指四分位距 Q3−Q1Q_3-Q_1；若教材將「四分位差」定義為半四分位距，則為 (Q3−Q1)/2(Q_3-Q_1)/2。

解題方法

已知 X∼N(23,42)X\sim N(23,4^2)。

  1. 四分位差

標準常態分布的第 2525 百分位數為 z=−0.674z=-0.674，第 7575 百分位數為 z=0.674z=0.674。因此：

Q1=23−0.674(4)=20.304Q_1=23-0.674(4)=20.304 Q3=23+0.674(4)=25.696Q_3=23+0.674(4)=25.696

四分位距為：

Q3−Q1=25.696−20.304=5.392 kg/m2Q_3-Q_1=25.696-20.304=5.392\ \mathrm{kg/m^2}

若依半四分位距的定義，則為：

Q3−Q12=5.3922=2.696 kg/m2\frac{Q_3-Q_1}{2}=\frac{5.392}{2}=2.696\ \mathrm{kg/m^2}
  1. 體重過輕、過重與肥胖比例

體重過輕的界線為 18.518.5：

z=18.5−234=−1.125z=\frac{18.5-23}{4}=-1.125

利用對稱性，P(X<18.5)=Φ(−1.125)=1−Φ(1.125)=1−0.87=0.13P(X<18.5)=\Phi(-1.125)=1-\Phi(1.125)=1-0.87=0.13，所以體重過輕比例為 13%13\%。

過重的範圍是 24≤X<2724\leq X<27。兩個界線標準化後分別為：

24−234=0.25,27−234=1\frac{24-23}{4}=0.25,\qquad \frac{27-23}{4}=1

因此：

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第 二 題25 分

某研究欲評估兩種新冠肺炎疫苗（廠牌 A 與 B）對於接種者是否可產生有效中和抗體。該研究遂進行隨機臨床分派平行試驗，並且以接種者產生之中和抗體效價數值（Geometric mean titer, GMT），作為疫苗抗原反應之主要評估指標，結果如下：

疫苗廠牌受試者人數GMT 平均值GMT 標準差
廠牌 A3232180.1180.12020
廠牌 B3232190.0190.02020

請應用統計檢定方法評估兩廠牌疫苗接種後之免疫反應是否有所不同，並寫出三個該檢定方法需遵循的重要假設（Assumptions），以及評論本研究是否符合。

型一誤差 α=0.05\alpha=0.05。

註 1：需寫出假說檢定步驟及統計檢定結論的依據。

註 2：Z0.95=1.645Z_{0.95}=1.645、Z0.975=1.96Z_{0.975}=1.96、t0.95,1=6.31t_{0.95,1}=6.31、t0.95,2=2.92t_{0.95,2}=2.92、t0.95,30=1.697t_{0.95,30}=1.697、t0.95,32=1.694t_{0.95,32}=1.694、t0.95,60=1.671t_{0.95,60}=1.671、t0.95,62=1.670t_{0.95,62}=1.670、t0.975,1=12.71t_{0.975,1}=12.71、t0.975,2=4.30t_{0.975,2}=4.30、t0.975,30=2.042t_{0.975,30}=2.042、t0.975,32=2.037t_{0.975,32}=2.037、t0.975,60=2.0t_{0.975,60}=2.0、t0.975,62=1.998t_{0.975,62}=1.998。

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核心觀念

本題是兩個獨立樣本的平均數比較。研究以兩種疫苗接種者的 GMT 作為免疫反應指標，欲檢驗兩廠牌的平均免疫反應是否不同。題目未提供個別受試者資料，因此以下將表列平均值及標準差視為兩組原始 GMT 的樣本摘要，採用獨立樣本、合併變異數 tt 檢定。

設定虛無假說與對立假說：

H0:μA=μB,H1:μA≠μBH_0:\mu_A=\mu_B,\qquad H_1:\mu_A\ne\mu_B

因題目問「是否有所不同」，採雙尾檢定，顯著水準 α=0.05\alpha=0.05。

解題方法與計算

兩組樣本來自不同受試者，且題目未指出母體變異數已知；因此在常態及等變異數假設下，使用合併變異數 tt 檢定。

合併變異數為：

sp2=(nA−1)sA2+(nB−1)sB2nA+nB−2=31(202)+31(202)62=400s_p^2= \frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2} = \frac{31(20^2)+31(20^2)}{62} =400

所以 sp=20s_p=20。平均數差的標準誤為：

SE=sp1nA+1nB=20132+132=20116=5SE=s_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}} =20\sqrt{\frac{1}{32}+\frac{1}{32}} =20\sqrt{\frac{1}{16}} =5

檢定統計量：

t=xˉA−xˉBSE=180.1−190.05=−1.98t=\frac{\bar{x}_A-\bar{x}_B}{SE} =\frac{180.1-190.0}{5} =-1.98

自由度為：

df=nA+nB−2=32+32−2=62df=n_A+n_B-2=32+32-2=62

雙尾檢定的臨界值為 ±t0.975,62=±1.998\pm t_{0.975,62}=\pm1.998。因為 ∣t∣=1.98<1.998|t|=1.98<1.998，未達拒絕域；等價地，pp 值大於 0.050.05。

統計結論

在 α=0.05\alpha=0.05 下，不拒絕 H0H_0。本研究沒有足夠統計證據顯示 A、B 兩廠牌疫苗接種後的平均免疫反應有所不同。這不代表已證明兩者完全相同，只表示依本題資料，差異未達統計顯著。

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第 三 題25 分

校園線上課程在近年來逐漸成長。為了解家長與學生對線上課程的接受度是否有關，A 校針對該校 100100 位學生進行問卷調查，並同時調查這 100100 位學生的家長之接受度。假設同一個家庭內，家長與學生彼此間會互相影響。

若將接受度分為高、低兩類，結果發現學生族群高接受度的占 33%33\%，家長的高接受度比例為 25%25\%，且 100100 個家庭中家長和學生同時都顯示高接受度的有 15%15\%。

請將上述問題整理成列聯表，並提出適當統計檢定方法針對此資料進行假說檢定。

型一誤差 α=0.05\alpha=0.05。

註：需寫出假說檢定步驟及統計檢定結論的依據。

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核心觀念

本題要判斷家長與學生的高、低接受度是否有關，資料是同一家庭內家長與學生各一筆二分類結果，屬於配對類別資料，不是兩個彼此獨立的族群。

因此應使用 McNemar 檢定，檢驗配對二分類結果的一致性是否偏離「兩種不一致方向的機率相同」。本題不是檢定兩個獨立族群的比例，故不採用獨立樣本卡方檢定。

解題方法與列聯表

以學生接受度作為列、家長接受度作為欄。共有 100100 個家庭，因此題目給的百分比可換算為人數：

  • 學生高接受度：3333 人，學生低接受度：100−33=67100-33=67 人。
  • 家長高接受度：2525 人，家長低接受度：100−25=75100-25=75 人。
  • 家長與學生同為高接受度：1515 人。

令 aa 為學生高、家長高的人數，則 a=15a=15。由邊際合計可得：

  • 學生高、家長低：33−15=1833-15=18 人。
  • 學生低、家長高：25−15=1025-15=10 人。
  • 學生低、家長低：100−15−18−10=57100-15-18-10=57 人。
學生接受度＼家長接受度高低合計
高151833
低105767
合計2575100

假說檢定步驟

一、設定假說

令 b=18b=18 表示學生高、家長低的家庭數；令 c=10c=10 表示學生低、家長高的家庭數。

H0: pb=pcH_0:\ p_b=p_c

即兩種不一致方向的機率相同，家長與學生的接受度沒有系統性的差異。

H1: pb≠pcH_1:\ p_b\ne p_c

即兩種不一致方向的機率不同，家長與學生的接受度有關聯或呈現系統性差異。

二、設定顯著水準

α=0.05\alpha=0.05

三、選擇檢定統計量

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第 四 題25 分

研究者為了提高病人照護的便利性，開發無線生物感測裝置，希望藉由脈波到達時間（pulse arrival time, PAT）的資料進行收縮壓（Systolic Blood Pressure, SBP）的量測，以 3030 個樣本進行資料收集，得到以下結果：

變項平均值標準差
SBP1371379.39.3
PAT21121123.523.5

PAT 與 SBP 的散布圖如下。

圖中的方程式為利用最小平方法所得到的簡單直線迴歸方程式的估計結果。

請估計 PAT 與 SBP 的相關係數及上述迴歸模式的決定係數，並進一步解釋兩者代表的意義，最後寫出此簡單直線迴歸分析的變異數分析表格（ANOVA Table），檢定 PAT 與 SBP 的關係是否具統計上顯著意義。

型一誤差 α=0.05\alpha=0.05。

註 1：需寫出假說檢定步驟及統計檢定結論的依據。

註 2：F(0.95,1,28)=4.196F_{(0.95,1,28)}=4.196、F(0.95,29,29)=1.861F_{(0.95,29,29)}=1.861、F(0.975,1,28)=5.61F_{(0.975,1,28)}=5.61、F(0.975,29,29)=2.101F_{(0.975,29,29)}=2.101。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查簡單直線迴歸與相關分析的關係，以及如何用迴歸 ANOVA 檢定自變項 PAT 與依變項 SBP 是否有顯著線性關係。

簡單直線迴歸的斜率與相關係數關係為：

b1=rsysx⟹r=b1sxsyb_1=r\frac{s_y}{s_x} \quad\Longrightarrow\quad r=b_1\frac{s_x}{s_y}

在含截距的簡單直線迴歸中，決定係數為 R2=r2R^2=r^2。迴歸 ANOVA 則將總平方和分解為迴歸平方和與誤差平方和：

SST=SSR+SSESST=SSR+SSE

解題方法與計算

圖中迴歸式為 SBP^=195−0.275(PAT)\widehat{SBP}=195-0.275(PAT)，故斜率 b1=−0.275b_1=-0.275。已知 sx=23.5s_x=23.5、sy=9.3s_y=9.3：

r=b1sxsy=(−0.275)23.59.3≈−0.695r=b_1\frac{s_x}{s_y} =(-0.275)\frac{23.5}{9.3} \approx -0.695

因此，PAT 與 SBP 的樣本相關係數約為 −0.695-0.695，呈負向線性相關。

決定係數為：

R2=r2=(−0.695)2≈0.483R^2=r^2=(-0.695)^2\approx 0.483

也就是約 48.3% 的 SBP 樣本變異，可由 PAT 與 SBP 的線性迴歸模式解釋。這是線性模型對資料變異的解釋比例，不表示 PAT 造成了 SBP 變化。

迴歸 ANOVA 與假說檢定

檢定斜率是否為零：

  • H0:β1=0H_0:\beta_1=0：PAT 與 SBP 無線性關係。
  • H1:β1≠0H_1:\beta_1\ne 0：PAT 與 SBP 有線性關係。
  • 顯著水準 α=0.05\alpha=0.05。
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