110 地方特考三等 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 全機率定理
2. 貝氏定理
3. 事前機率（prior probability）
4. 事後機率（posterior probability）

令：

• $F_1$：產品由第一工廠生產
• $F_2$：產品由第二工廠生產
• $F_3$：產品由第三工廠生產
• $D$：產品為不良品

題目給定各工廠的產量比例，因此：

$$P(F_1)=0.3,\qquad P(F_2)=0.5,\qquad P(F_3)=0.2$$

各工廠的不良率為：

$$P(D\mid F_1)=0.03,\qquad P(D\mid F_2)=0.02,\qquad P(D\mid F_3)=0.01$$

其中，$P(D\mid F_i)$ 表示「已知產品由第 $i$ 工廠生產時，產品為不良品的機率」。

---

解題方法

題目要求的是：已知發現產品為不良品，求該產品由第一工廠生產的機率，即：

$$P(F_1\mid D)$$

這是典型的「已知結果，反推原因」問題，應使用貝氏定理：

$$P(F_1\mid D) = \frac{P(F_1\cap D)}{P(D)}$$

其中分子是「第一工廠生產且為不良品」的機率，分母是「產品為不良品」的總機率。

---

第一步：計算第一工廠生產且為不良品的機率

由乘法法則：

$$P(F_1\cap D) = P(F_1)P(D\mid F_1)$$

代入題目數據：

$$P(F_1\cap D) = 0.3\times 0.03 = 0.009$$

因此，所有產品中，同時由第一工廠生產且為不良品的比例為 $0.009$，即 $0.9\%$。

---

第二步：計算產品為不良品的總機率

三個工廠所生產的產品構成全部產品，因此依全機率定理：

$$P(D) = P(F_1)P(D\mid F_1) + P(F_2)P(D\mid F_2) + P(F_3)P(D\mid F_3)$$

代入數據：

$$\begin{aligned} P(D) &= 0.3(0.03)+0.5(0.02)+0.2(0.01)\\ &= 0.009+0.010+0.002\\ &= 0.021 \end{aligned}$$

所以，任意抽取一件產品，其為不良品的總機率為：

$$P(D)=0.021=2.1\%$$

---

第三步：使用貝氏定理求事後機率

$$\begin{aligned} P(F_1\mid D) &= \frac{P(F_1)P(D\mid F_1)}{P(D)}\\ &= \frac{0.3\times 0.03}{0.021}\\ &= \frac{0.009}{0.021}\\ &= \frac{3}{7} \end{aligned}$$

因此：

$$P(F_1\mid D)=\frac{3}{7}\approx 0.4286$$

換算為百分比：

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 信賴區間的意義與標準差對區間寬度的影響。
2. 母體平均數 $\mu$ 與母體變異數 $\sigma^2$ 的點估計。
3. 母體為常態分配且 $\sigma$ 已知時，利用標準常態分配建立 $\mu$ 的信賴區間。

---

一、信賴區間與標準差的影響

1. 信賴區間的定義

信賴區間是根據樣本資料所建構，用來估計母體參數可能落入的區間。

例如，對母體平均數 $\mu$ 建立 $95\%$ 信賴區間，意義是：

若重複抽樣並以相同方法建立信賴區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會包含真正的母體平均數 $\mu$。

嚴格而言，$\mu$ 是固定參數，不能說「$\mu$ 有 $95\%$ 的機率落在這一次算出的區間內」；$95\%$ 是信賴區間建構方法的長期涵蓋率。

2. 標準差對信賴區間的影響

當樣本數 $n$、信賴度及其他條件固定時，母體標準差 $\sigma$ 越大，樣本平均數的波動越大，信賴區間越寬；$\sigma$ 越小，信賴區間越窄。

已知 $\sigma$ 時，平均數的信賴區間為：

$$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中誤差界限為：

$$E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

因此：

• $\sigma$ 增加，$E$ 等比例增加，區間變寬。
• $\sigma$ 減少，$E$ 等比例減少，區間變窄。
• 增加樣本數 $n$，因為分母為 $\sqrt{n}$，區間會縮窄。
• 提高信賴度，$z_{\alpha/2}$ 變大，區間會變寬。

---

二、母體參數的點估計

樣本資料為：

$$\{9,7,13,8,11,6\}$$

樣本數為：

$$n=6$$

1. 母體平均數 $\mu$ 的點估計

以樣本平均數 $\bar{x}$ 估計母體平均數：

$$\bar{x}=\frac{9+7+13+8+11+6}{6} =\frac{54}{6}=9$$

因此：

$$\boxed{\hat{\mu}=\bar{x}=9}$$

2. 母體變異數 $\sigma^2$ 的點估計

先計算各觀測值與樣本平均數的差平方：

$$\begin{array}{c|c|c} x_i & x_i-\bar{x} & (x_i-\bar{x})^2\\ \hline 9 & 0 & 0\\ 7 & -2 & 4\\ 13 & 4 & 16\\ 8 & -1 & 1\\ 11 & 2 & 4\\ 6 & -3 & 9 \end{array}$$

因此：

$$\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 =0+4+16+1+4+9=34$$

樣本變異數採用分母 $n-1$：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1} =\frac{34}{5}=6.8$$

因此：

$$\boxed{\hat{\sigma}^2=s^2=6.8}$$

補充而言，樣本標準差為：

$$s=\sqrt{6.8}\approx 2.608$$

---

三、估計區間 $[8,12]$ 的信賴度

題目給定：

$$\sigma=2.6$$

核心觀念

變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）的目的，是在同時比較三個以上母體平均數時，判斷各組平均數是否具有顯著差異。

其核心思想不是直接比較各組平均數，而是將資料總變異分解為：

1. 組間變異（Between-group variation）：各組平均數彼此不同所造成的變異。
2. 組內變異（Within-group variation）：同一組內個別觀測值自然波動所造成的變異。

若組間變異相對於組內變異很大，表示各組平均數的差異可能是處理因素所造成；若兩者差異不大，則平均數差異可能只是抽樣誤差。

---

解題方法

以單因子變異數分析（One-way ANOVA）為例。假設有 $k$ 組資料，第 $i$ 組有 $n_i$ 個觀測值，總樣本數為

$$N=\sum_{i=1}^{k}n_i$$

第 $i$ 組的樣本平均數為 $\bar{x}_i$，全體資料的總平均數為 $\bar{x}$。

一、建立假設

欲檢定各組母體平均數是否相同：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$ $$H_1:\text{至少有一組母體平均數不同}$$

注意，拒絕 $H_0$ 只能表示「至少一組平均數不同」，不能直接表示所有組平均數均不相同。

---

二、資料總變異分解

對第 $i$ 組第 $j$ 個觀測值 $x_{ij}$，其與總平均數的偏差可拆成：

$$x_{ij}-\bar{x} = (x_{ij}-\bar{x}_i)+(\bar{x}_i-\bar{x})$$

其中：

• $x_{ij}-\bar{x}_i$：個別觀測值與該組平均數的差異，代表組內變異。
• $\bar{x}_i-\bar{x}$：該組平均數與總平均數的差異，代表組間變異。

將平方和加總後，可得：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

其中：

• $SS_T$：總平方和（Total Sum of Squares）
• $SS_B$：組間平方和（Between-group Sum of Squares）
• $SS_W$：組內平方和（Within-group Sum of Squares）

---

三、計算總平方和

總平方和為所有觀測值與總平均數差異平方的總和：

$$SS_T=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x})^2$$

若各組樣本數相同，也可用修正公式計算：

$$SS_T=\sum x_{ij}^2-\frac{T^2}{N}$$

其中 $T=\sum x_{ij}$，為全部觀測值總和。

---

四、計算組間平方和

組間平方和衡量各組平均數與總平均數之間的差異：

$$SS_B=\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2$$

組間平方和必須乘以各組樣本數 $n_i$，因為某組的平均數偏離總平均數時，該組觀測值越多，對總變異的貢獻越大。

也可寫成：

$$SS_B=\sum_{i=1}^{k}\frac{T_i^2}{n_i}-\frac{T^2}{N}$$

其中 $T_i$ 為第 $i$ 組觀測值總和。

---

五、計算組內平方和

組內平方和衡量每組內個別觀測值與該組平均數的差異：

$$SS_W=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2$$

也可利用平方和分解快速求得：

$$SS_W=SS_T-SS_B$$

計算時必須滿足：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

這是重要的驗算關係。

---

六、計算自由度

總自由度為：

$$df_T=N-1$$

組間自由度為：

$$df_B=k-1$$

組內自由度為：

$$df_W=N-k$$

且：

$$df_T=df_B+df_W$$

---

七、計算均方

平方和除以相對應的自由度，即得均方：

$$MS_B=\frac{SS_B}{k-1}$$ $$MS_W=\frac{SS_W}{N-k}$$

其中 $MS_W$ 通常被視為誤差變異的估計值。

---

八、計算 $F$ 統計量

變異數分析的檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

在虛無假設成立時，組間均方與組內均方皆可估計相同的誤差變異，因此 $F$ 值應接近 $1$。

若各組平均數確實存在差異，則 $MS_B$ 會相對增大，使 $F$ 值顯著大於 $1$。

---

核心觀念

本題考查兩個 Poisson 母體平均缺點數是否相同的假設檢定。

若每一製品的缺點數可視為 Poisson 分配，則：

• A 公司缺點數：$X_A\sim \operatorname{Poisson}(\lambda_A)$
• B 公司缺點數：$X_B\sim \operatorname{Poisson}(\lambda_B)$

欲檢定兩公司產品品質是否有差異，即檢定：

$$H_0:\lambda_A=\lambda_B$$ $$H_1:\lambda_A\ne\lambda_B$$

由於題目給定的缺點數為 $40$ 與 $24$，且數值不小，可利用常態近似進行雙尾檢定。

解題方法

令觀察到：

$$x_A=40,\qquad x_B=24$$

在虛無假設 $H_0:\lambda_A=\lambda_B$ 成立時，兩個獨立 Poisson 變數之差近似服從常態分配，且其變異數為兩者平均數之和。因此檢定統計量可寫為：

$$Z=\frac{x_A-x_B}{\sqrt{x_A+x_B}}$$

代入資料：

$$Z=\frac{40-24}{\sqrt{40+24}} =\frac{16}{\sqrt{64}} =\frac{16}{8} =2.00$$

因為題目問「有無差異」，屬於雙尾檢定。

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，拒絕域為：

$$|Z|>Z_{0.025}=1.96$$

本題：

$$|Z|=2.00>1.96$$

因此拒絕 $H_0$，表示在百分之五顯著水準下，A、B 兩公司產品的平均缺點數具有顯著差異。

核心觀念

本題考查二水準部分因子實驗中的「解析度」（Resolution）與「混淆結構」（alias structure）。

在部分因子實驗中，不同效應可能使用同一欄位估計，因此無法單獨分辨，稱為「混淆」或「混淆效應」。若以 $A,B,C,\ldots$ 表示因子，則交互作用欄位由欄位乘積決定，例如：

$$AB=C$$

表示 $AB$ 交互作用與因子效應 $C$ 混淆。

解析度的定義，是「定義關係中最短字長」：

• 解析度 III：最短定義字長為 $3$。
• 解析度 IV：最短定義字長為 $4$。
• 解析度 V：最短定義字長為 $5$。

定義關係中的 $I$ 表示恆等欄。例如：

$$I=ABC$$

將某一效應乘上定義字，即可得到與它混淆的效應：

$$C(ABC)=AB$$

因此 $C$ 與 $AB$ 混淆。

---

三種解析度的效應關係

解析度	因子效應與交互作用	交互作用與交互作用
Resolution III	主效應與二因子交互作用混淆	二因子交互作用可能彼此混淆，且常與主效應形成混淆鏈
Resolution IV	主效應不與二因子交互作用混淆，但會與三因子交互作用混淆	二因子交互作用彼此混淆
Resolution V	主效應不與二因子、三因子交互作用混淆，但會與四因子交互作用混淆	二因子交互作用通常與三因子交互作用混淆，不與另一個二因子交互作用混淆

這些關係可由定義字長直接判斷。

一、Resolution III

最短定義字長為 $3$，例如：

$$I=ABC$$

因子效應 $C$ 與二因子交互作用 $AB$ 混淆：

$$C=AB$$

因此，主效應無法與二因子交互作用分開估計。

在解析度 III 設計中，二因子交互作用也可能與其他二因子交互作用混淆。若定義關係中存在四因子定義字，例如：

$$I=ABCD$$

則：

$$AB(CD)=ABCD=I$$

所以：

$$AB=CD$$

因此，解析度 III 的設計對二因子交互作用的估計能力最弱，適合用於初步篩選重要因子，不適合精確研究交互作用。

二、Resolution IV

最短定義字長為 $4$，例如：

$$I=ABCD$$

主效應 $A$ 與定義字相乘：

$$A(ABCD)=BCD$$

所以：

$$A=BCD$$

主效應與三因子交互作用混淆，但不會與二因子交互作用混淆。

然而，二因子交互作用仍可能互相混淆。例如：

$$AB(CD)=ABCD=I$$

故：

$$AB=CD$$

因此，解析度 IV 可以清楚估計主效應，不適合同時分辨所有二因子交互作用。

三、Resolution V

最短定義字長為 $5$，例如：

$$I=ABCDE$$

主效應 $A$ 與定義字相乘：

$$A(ABCDE)=BCDE$$

故：

$$A=BCDE$$

主效應不會與二因子、三因子交互作用混淆。

二因子交互作用 $AB$ 與定義字相乘：

$$AB(ABCDE)=CDE$$

故：

$$AB=CDE$$

因此，二因子交互作用不會彼此混淆，但會與三因子交互作用混淆。

解析度 V 適合研究二因子交互作用，前提是三因子以上交互作用可以合理假設為不重要。

---

以 $L_8(2^7)$ 為例

$L_8(2^7)$ 表示：

• 有 $8$ 次實驗；
• 每個欄位有 $2$ 個水準；
• 最多可安排 $7$ 個二水準欄位。

$L_8$ 的七個欄位可表示為：

$$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G$$

其中欄位可依下列方式形成：

$$A,\ B,\ AB,\ D,\ AD,\ BD,\ ABD$$

若將七個實際欄位命名為 $A$ 至 $G$，則其基本欄位關係可寫為：