110 地方特考三等 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考「內部報酬率（Internal Rate of Return, IRR）」的定義。

內部報酬率是使方案所有現金流量折算至基準時點後，淨現值（NPV）恰好等於零的折現率。因此，當方案的 IRR 為 $10\%$ 時，必須滿足：

$$NPV_{10\%}=0$$

各期現金流量須以第 $0$ 年為基準折現。

解題方法

依現金流量表，負現金流量發生於第 $0$ 年至第 $4$ 年，$X$ 發生於第 $5$ 年至第 $7$ 年，正現金流量發生於第 $8$ 年至第 $10$ 年。

因此，在 $10\%$ 折現率下：

$$-50-\frac{60}{1.1} -\frac{70}{(1.1)^2} -\frac{80}{(1.1)^3} -\frac{90}{(1.1)^4} +\frac{X}{(1.1)^5} +\frac{X}{(1.1)^6} +\frac{X}{(1.1)^7} +\frac{70}{(1.1)^8} +\frac{80}{(1.1)^9} +\frac{90}{(1.1)^{10}} =0$$

將含有 $X$ 的項目集中：

核心觀念

本題考查「名目利率按期複利換算有效年利率」及「分段利率下之現值與終值計算」。

解題重點如下：

1. 前 $10$ 年利率為年利率 $8\%$、按季複利，須先換算為有效年利率。
2. 將現在的 $20$ 萬元及前 $10$ 年每年存入的 $10$ 萬元，累積至第 $10$ 年底。
3. 第 $10$ 年底利率改變後，將第 $11$ 年底至第 $30$ 年底的提款視為期末付款之普通年金，共 $20$ 期。
4. 以第 $10$ 年底的帳戶餘額，等於提款年金在第 $10$ 年底的現值，求每年定額提款金額。

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解題方法

一、換算前 $10$ 年的有效年利率

前 $10$ 年為年利率 $8\%$ 按季複利，因此每季利率為

$$i_q=\frac{0.08}{4}=0.02$$

有效年利率為

$$i_1=(1+0.02)^4-1$$ $$i_1=1.02^4-1=0.0824328624$$

因此，前 $10$ 年的有效年利率約為 $8.2433\%$。

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二、求第 $10$ 年底帳戶累積金額

假設每年存款均於各年年底存入，則：

• 現在的 $20$ 萬元經過 $10$ 年累積；
• 每年年底存入的 $10$ 萬元，形成利率為 $i_1$、期數為 $10$ 的普通年金終值。

第 $10$ 年底帳戶金額為

$$F_{10} = 200,000(1+i_1)^{10} + 100,000\left[\frac{(1+i_1)^{10}-1}{i_1}\right]$$

因為

$$1+i_1=1.02^4$$

所以

$$(1+i_1)^{10}=1.02^{40}$$

代入得

$$F_{10} = 200,000(1.02)^{40} + 100,000 \left[ \frac{(1.02)^{40}-1}{(1.02)^4-1} \right]$$

計算：

$$(1.02)^{40}\approx 2.208039$$ $$F_{10} \approx 200,000(2.208039) + 100,000 \left( \frac{2.208039-1}{0.0824328624} \right)$$ $$F_{10} \approx 441,608+1,465,482$$ $$F_{10}\approx 1,907,090\text{ 元}$$

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三、換算第 $10$ 年後的有效年利率

第 $10$ 年後利率為年利率 $6\%$ 按月複利，因此每月利率為

核心觀念

本題考的是「內部報酬率法」在兩個互斥方案間的選擇程序。重點不是直接比較 $IRR_A$ 與 $IRR_B$ 的大小，而是比較「增額投資」所產生的增額報酬率。

內部報酬率（Internal Rate of Return, IRR）是使方案淨現值等於零的利率，即：

$$0=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+IRR)^t}$$

其中：

• $CF_t$：第 $t$ 期現金流量；
• $n$：方案壽命；
• $MARR$：公司最低吸引報酬率。

若方案彼此互斥，只能選擇其中一個，不能因為某方案的個別 $IRR$ 較高，就直接認定該方案較佳。原因是個別 $IRR$ 未反映「多投入的資金是否值得」。

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解題方法：增額內部報酬率分析

一、先確認方案性質與比較基準

兩方案壽命相同，且題目要求選擇最佳方案，通常視為互斥方案。先將「不投資」納入比較基準，並依初始投資額由小到大排列：

1. 不投資方案；
2. 初始投資額較小的方案；
3. 初始投資額較大的方案。

設初始投資額較小者為方案 $L$，初始投資額較大者為方案 $H$。

若題目已知：

• $I_A<I_B$，則 $L=A$、$H=B$；
• $I_B<I_A$，則 $L=B$、$H=A$。

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二、先檢驗低投資方案是否值得接受

將低投資方案與不投資方案比較：

$$IRR_L \mathrel{\geq} MARR$$

若：

$$IRR_L<MARR$$

表示低投資方案本身無法達到公司的最低要求，此時仍須檢查高投資方案是否能夠通過最低報酬率標準，不能僅因低投資方案不合格，就直接判定兩方案均不可採用。

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三、建立增額現金流量

高投資方案相對於低投資方案的增額現金流量為：

$$\Delta CF_t=CF_{H,t}-CF_{L,t}$$

其中第 $0$ 期通常為額外增加的投資，因此：

$$\Delta CF_0=CF_{H,0}-CF_{L,0}<0$$

接著求解增額內部報酬率 $\Delta IRR$：

$$0=\sum_{t=0}^{n}\frac{\Delta CF_t}{(1+\Delta IRR)^t}$$

此 $\Delta IRR$ 表示「由低投資方案升級為高投資方案時，額外投入資金所產生的報酬率」。

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四、將增額報酬率與 $MARR$ 比較

情況一：

$$\Delta IRR\geq MARR$$

表示額外投資所產生的報酬率至少達到公司的最低要求，因此應選擇高投資方案 $H$。

情況二：

$$\Delta IRR<MARR$$

表示額外投入的資金報酬不足，不值得由低投資方案升級至高投資方案，因此選擇低投資方案 $L$。

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套用至方案 A 與方案 B

若 $I_A<I_B$，則：

$$\Delta CF_t=CF_{B,t}-CF_{A,t}$$

求得：

核心觀念

本題考查資產出售時的「稅後現金流量」，包括：

1. 第 6 年的稅後營運現金流量。
2. 加工機出售價格扣除出售利益所產生的所得稅。

以命題當年（民國 110 年）法規及工程經濟學的稅後現金流量觀念為準。

直線折舊公式為：

$$\text{每年折舊}=\frac{\text{取得成本}-\text{期末帳面殘值}}{\text{折舊年限}}$$

題目未給殘值，依通常題意以 $0$ 元計算。

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解題方法

一、計算每年折舊

$$D=\frac{800-0}{10}=80$$

因此，每年折舊費用為 $80$ 元。

二、計算第 6 年稅後營運現金流量

每年稅前收益為 $150$ 元，每年維運成本為 $30$ 元，因此折舊前現金收益為：

$$150-30=120$$

扣除折舊後的應稅所得為：

$$120-80=40$$

所得稅為：

$$40\times 20\%=8$$

所以第 6 年的營運現金流量為：

$$150-30-8=112$$

亦可用公式驗算：

$$\text{稅後營運現金流量} =(\text{收益}-\text{現金成本})(1-T)+D$$ $$=(150-30)(1-20\%)+80 =120\times 0.8+80 =176$$

上式將折舊加回時，應以營業利益 $150-30-80=40$ 為基礎：

$$40(1-20\%)+80=32+80=112$$