111 地方特考三等 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於工程經濟學中的自製或外購分析（Make-or-Buy Decision）與損益兩平／無差異分析（Breakeven / Indifference Analysis）。其核心評估準則為等額年成本法（Equivalent Uniform Annual Cost, EUAC）。

相關公式與定義如下：

1. 外包方案年總成本： $EUAC_{\text{外包}} = C_v \times Q$ 其中 $C_v$ 為單位外包加工費（$$30/\text{個}$），$Q$ 為每年加工零件數量。
2. 自行加工方案年總成本： $EUAC_{\text{自製}} = CR + O\&M$ 其中 $CR$ 為設備之資本回收成本（Capital Recovery Cost），$O\&M$ 為每年操作維護成本。
3. 資本回收成本（Capital Recovery, $CR$）公式： $CR = (P - S)(A/P, i\%, n) + S \times i$ 或 $CR = P(A/P, i\%, n) - S(A/F, i\%, n)$

• $P$：初始設備購置成本（$$800{,}000$）
• $S$：使用年限期末之預估殘值（$$50{,}000$）
• $n$：設備耐用年限（$8$ 年）
• $i$：最低吸引投資報酬率（$\text{MARR} = 5\%$）
• $(A/P, i\%, n) = \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$：資金回收因子（Capital Recovery Factor）

兩方案選擇「無差異」之條件為：兩者之等額年成本相等（$EUAC_{\text{外包}} = EUAC_{\text{自製}}$）。

解題方法

步驟一：計算折現因子

當利率 $i = 5\%$、$n = 8$ 年時： $(1+i)^n = (1+0.05)^8 \approx 1.477455$ $(A/P, 5\%, 8) = \frac{0.05 \times 1.477455}{1.477455 - 1} = \frac{0.073873}{0.477455} \approx 0.154722$

步驟二：計算自行加工方案之等額年成本（$EUAC_{\text{自製}}$）

1. 設備之資本回收成本（$CR$）： 採用公式 $CR = (P - S)(A/P, i%, n) + S \times i

核心觀念

本題屬於工程經濟學中的設備汰換分析（Replacement Analysis），特別指定採用**機會成本方法（Opportunity Cost Approach）**進行評估。核心觀念與公式如下：

1. 機會成本法（Opportunity Cost Approach）： 又稱為「局外人觀點（Outsider's Viewpoint）」。在評估現有設備（舊機器，即防守者 Defender）時，將決策當下舊機器若出售可得的市場淨變現價值，視為「繼續保留舊機器所放棄的機會成本」，連同保留舊機所需立即支付的任何改裝或大修費用，一併作為舊機器在第 $0$ 期的期初投資成本： $P_{\text{舊}} = \text{舊機器現有市場價值} + \text{立即大修費用}$

2. 沉沒成本（Sunk Cost）原則： 舊機器於 4 年前以 $$400{,}000$ 購買的歷史取得成本，屬於過去已發生、無法透過現有或未來決策改變的「沉沒成本」，在理性工程經濟決策中不予考慮。

3. 研究期間與評估準則： 新舊機器兩者剩餘（預期）使用年限皆為 $N = 4$ 年，壽命相等，可直接比較兩者的等額年成本（Equivalent Uniform Annual Cost, $EUAC$）或現值成本（Present Worth of Cost, $PW$）。成本較低者為優。

4. 等額年成本（$EUAC$）公式： $EUAC = P(A/P, i, N) + AOC - S(A/F, i, N)$ 亦可利用資本回收成本（Capital Recovery, $CR$）表示： $CR = (P - S)(A/P, i, N) + S \times i$ $EUAC = CR + AOC$ 其中：

• $P$：期初投資成本
• $S$：期末殘值
• $AOC$：年操作維護成本（Annual Operating and Maintenance Cost）
• $i$：最低可接受報酬率（$\text{MARR} = 10\%$）
• $N$：使用年限（$4$ 年）

解題方法

本題為等壽命（$N = 4$ 年）之互斥方案評估，採「機會成本法」計算舊機器與新機器各自之等額年成本（$EUAC$）並進行優劣比較。

1. 資金折現因子計算（$i = 10\%, N = 4$）

• 資金回收因子： $(A/P, 10\%, 4) = \frac{0.10(1 + 0.10)^4}{(1 + 0.10)^4 - 1} = \frac{0.14641}{0.4641} \approx 0.315471$
• 償債基金因子： $(A/F, 10\%, 4) = (A/P, 10\%, 4) - i = 0.315471 - 0.10 = 0.215471$
• 等額年金現值因子： $(P/A, 10\%, 4) = \frac{(1 + 0.10)^4 - 1}{0.10(1 + 0.10)^4} \approx 3.169865$
• 單一付款現值因子： $(P/F, 10\%, 4) = (1 + 0.10)^{-4} \approx 0.683013$

2. 舊機器（防守者，Defender）之成本分析

依機會成本法定義參數：

• 期初成本 $P_D = \text{市場賣得價值 }$$$100{,}000 + \text{立即大修費用 }$$$20{,}000 =$$$120{,}000$
• 期末殘值 $S_D =$$$80{,}000$
• 年操作維護成本 $AOC_D =$$$10{,}000$
• 使用年限 $N = 4$ 年

計算舊機器等額年成本 $EUAC_D$： $CR_D = (P_D - S_D)(A/P, 10\%, 4) + S_D \times i$ $CR_D = (120{,}000 - 80{,}000) \times 0.315471 + 80{,}000 \times 0.10 = 12{,}618.84 + 8{,}000 = \$20{,}618.84$ $EUAC_D = CR_D + AOC_D = 20{,}618.84 + 10{,}000 = \$30{,}618.84$

3. 新機器（挑戰者，Challenger）之成本分析

新機器參數：

• 期初購置成本 $P_C =$$$200{,}000$
• 期末殘值 $S_C =$$$100{,}000$

核心觀念

本題考查工程經濟學中通貨膨脹（Inflation）下的現金流量折現分析，核心在於區分「實際貨幣」與「定值貨幣」以及對應之折現利率配對。

1. 貨幣與利率定義：

• 實際貨幣（Actual Dollar, $A'_t$）：又稱名目貨幣或當期貨幣，代表各期實際收付之金額，包含通貨膨脹之物價上漲效果。
• 定值貨幣（Constant Dollar, $A_t$）：又稱實質貨幣，以特定「基期（Base Year）」之購買力表示之現金流量，已剔除通貨膨脹影響。
• 市場利率（Market Interest Rate, $i$）：又稱名目利率，包含實質增值率與通貨膨脹補償之綜合利率。
• 通貨膨脹率（Inflation Rate, $f$）：物價水準每年的上漲比率。
• 實質利率（Real Interest Rate, $i'$）：在無通貨膨脹或購買力恆定情況下的真實資金回報率。

2. 費雪方程式（Fisher Equation）： 三者之間的精確關係式為： $1 + i = (1 + i')(1 + f)$ 求解實質利率： $i' = \frac{1 + i}{1 + f} - 1 = \frac{i - f}{1 + f}$

3. 定值貨幣分析法（Constant Dollar Analysis）：

• 若以第 0 年為基期，將各期之實際貨幣 $A'_t$ 轉換為定值貨幣 $A_t$： $A_t = A'_t (1 + f)^{-t}$
• 以實質利率 $i'$ 對定值貨幣折現至第 0 年現值（$PW$）： $PW = \sum_{t=1}^n A_t (1 + i')^{-t}$

解題方法

題目指定以定值貨幣分析法求解，步驟如下：

步驟一：計算實質利率 $i'$

已知市場利率 $i = 10\%$，通貨膨脹率 $f = 5\%$： $i' = \frac{i - f}{1 + f} = \frac{0.10 - 0.05}{1 + 0.05} = \frac{0.05}{1.05} = \frac{1}{21} \approx 4.7619\%$

步驟二：將各期實際貨幣轉換為第 0 年基期之定值貨幣

每年底實際支付款均為 $A'_t =$$$40{,}000$（$t = 1, 2, 3, 4

核心觀念

本題為典型的**互斥方案評估（Mutually Exclusive Alternatives Evaluation）與損益平衡分析（Breakeven Analysis）**題型，核心考點包含以下四項：

1. 名義利率與實質年利率之轉換（Nominal vs. Effective Interest Rate） 當計息期（複利週期，Compounding Period）小於支付期（以年為單位）時，必須先將年名義利率轉換為實質年利率（Effective Annual Rate, $i$）： $i = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$ 其中 $r$ 為年名義利率，$m$ 為一年內的複利次數。

2. 壽命不相等方案之共同研究期法（Study Period Approach / Analysis Period） A 型壽命為 8 年，B 型壽命為 12 年。題目明確指定「以 8 年為評估期（生產計畫期間）」，因此不採用最小公倍數法（LCM，24 年），而是直接以 8 年為研究期：

• A 型設備恰好於第 8 年末除役，取得既定殘值 $$50{,}000$。
• B 型設備於第 8 年末提前處分，其第 8 年末之處分價值（Market/Salvage Value, 設為 $S_{B,8}$）為未知數，視為第 8 年末之現金流入。題目所列「12 年壽命之殘值 $$35{,}000$」在此評估期下不直接使用。

3. 現值成本法（Present Worth of Cost, $PW_C$） 兩型號皆為提供相同生產服務之設備（服務型方案），決策準則為成本最小化。公司偏好 B 型機器的充分必要條件為「B 型的現值成本小於 A 型的現值成本」： $PW_{C, B} < PW_{C, A}$

4. 折現因子公式

• 等額年金現值因子：$(P/A, i, N) = \frac{(1+i)^N - 1}{i(1+i)^N}$
• 單筆複利現值因子：$(P/F, i, N) = \frac{1}{(1+i)^N} = (1+i)^{-N}$

解題方法

步驟一：計算實質年利率（$i$）

年名義利率 $r = 10\%$，每半年複利一次（$m = 2$），實質年利率為： $i = \left(1 + \frac{0.10}{2}\right)^2 - 1 = (1.05)^2 - 1 = 0.1025 = 10.25\%$

步驟二：計算 8 年期折現因子

評估期 $N = 8$ 年，利率 $i = 10.25\%$： $(1+i)^8 = \left[(1.05)^2\right]^8 = (1.05)^{16} \approx 2.182875$

1. 單筆複利現值因子： $(P/F, 10.25\%, 8) = \frac{1}{(1+i)^8} = \frac{1}{2.182875} \approx 0.458112$
2. 等額年金現值因子： $(P/A, 10.25\%, 8) = \frac{(1+i)^8 - 1}{i(1+i)^8} = \frac{2.182875 - 1}{0.1025 \times 2.182875} = \frac{1.182875}{0.223745} \approx 5.286717$

步驟三：建立 A 型與 B 型之現值成本（$PW_C$）式

成本支出取正號，期末殘值回收取負號：

• A 型機器之現值成本（$PW_{C, A}$）： $PW_{C, A} = P_A + A_A(P/A, 10.25\%, 8) - S_A(P/F, 10.25\%, 8)$ $PW_{C, A} = 450{,}000 + 75{,}000 \times 5.286717 - 50{,}000 \times 0.458112$ $PW_{C, A} = 450{,}000 + 396{,}503.78 - 22{,}905.60 = 823{,}598.18 \text{ 元}$