111 地方特考三等 工業工程 設施規劃 考古題詳解

核心觀念

直接集群法（Direct Clustering Algorithm, DCA）利用工作－機器矩陣中的 $0$、$1$，反覆排序工作列與機器欄，使相互關聯的工作與機器聚集成區塊。每次排序時，依目前欄序或列序賦予二進位權重，計算各列或各欄的加權分數，再依分數由大至小排列；排序結果不再改變時即停止。

本題的目標是找出矩陣中的對角區塊，據此決定機器單元與對應工件族群。

解題方法與計算

先依機器欄序 $A,B,C,D,E$ 計算各工作列的二進位加權分數，權重依序為 $16,8,4,2,1$：

依列分數由大至小排列，工作順序為 $1,4,2,3,5,6$。工作 $1$ 與 $4$ 同分且加工需求相同，彼此順序不影響結果。

接著依新工作順序 $1,4,2,3,5,6$，計算各機器欄的加權分數。列權重由上而下依序為 $32,16,8,4,2,1$：

依欄分數由大至小排列，機器順序為 $A,C,B,D,E$。機器 $D$ 與 $E$ 同分，且兩欄加工需求相同，因此兩者順序不影響結果。

核心觀念

本題評量設施規劃（Facilities Planning）與作業研究（Operations Research）之跨領域核心主題：廠區布置問題（Facility Layout Problem）的數學規劃模式構建。

1. 二次指派問題（Quadratic Assignment Problem, QAP）： 由 Koopmans 與 Beckmann 於 1957 年提出，是古典等面積設施布置問題的標準數學模式。當考慮部門間的物料流動（Flow）與位置間的距離（Distance）時，總物料搬運成本取決於兩部門「同時被指派至特定兩位置」之決策交集。此交互作用在目標函數中呈現為兩個二元決策變數相乘（$x_{ij} \cdot x_{kl}$），形成二次非線性項，為典型的 NP-hard 問題。
2. 混合整數規劃（Mixed Integer Programming, MIP）： 由於非線性二次整數規劃在大型問題中極難直接求解，實務與演算法常透過雙線性項線性化技術（McCormick 封閉不等式 / 輔助變數轉換法），引入連續型輔助變數取代二次交叉項。將二次目標式轉化為線性目標式，並增列對應的線性約束，使原模式轉變為含有「0-1 二元整數變數」與「非負連續變數」的混合整數線性規劃模式，以便利用標準的分支界定法（Branch and Bound）或商用求解器進行求解。

解題方法

本題要求構建兩套數學模式： 第一步，建立古典 QAP 模式，完整定義符號、變數、目標式與限制式； 第二步，利用輔助變數消去二次交叉項，嚴謹推導並建立等價的 MIP 模式。

一、古典設施布置之二次數學規劃模式（QAP）

1. 符號與參數定義

• $n$：設施（部門）與位置之總數量（假設有 $n$ 個設施需分派至 $n$ 個預定位置）。
• $i, k$：設施（部門）之索引標籤，$i, k \in \{1, 2, \dots, n\}$。
• $j, l$：布置位置之索引標籤，$j, l \in \{1, 2, \dots, n\}$。
• $f_{ik}$：設施 $i$ 到設施 $k$ 之間的物料搬運流量（Flow）。
• $d_{jl}$：位置 $j$ 到位置 $l$ 之間的距離（Distance）。
• $c_{ik}$：設施 $i$ 到設施 $k$ 間，每單位流量、每單位距離的物料搬運成本（Unit Cost）。若成本單純與流量及距離成正比，可設 $c_{ik} = 1$ 或直接併入運費矩陣。

2. 決策變數

• $x_{ij} \in \{0, 1\}$：二元整數變數（0-1 變數）。 $x_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{若設施 } i \text{ 被指派至位置 } j \\ 0, & \text{其他情形} \end{cases}$

3. 目標函數（最小化總物料搬運成本）

$\min Z = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n f_{ik} c_{ik} d_{jl} x_{ij} x_{kl}$

說明：當且僅當設施 $i$ 在位置 $j$（$x_{ij}=1$）且設施 $k$ 在位置 $l$（$x_{kl}=1$）時，$x_{ij} x_{kl} = 1$，此時產生相應之搬運成本 $f_{ik} c_{ik} d_{jl}$。當 $i=k$ 或 $j=l$ 時，$d_{jj}=0$ 且 $f_{ii}=0$，不產生內部搬運費用。

4. 限制條件

• 設施指派限制：每個設施必須且只能被指派至一個位置。 $\sum_{j=1}^n x_{ij} = 1, \quad \forall i = 1, 2, \dots, n$
• 位置容納限制：每個位置必須且只能容納一個設施。 $\sum_{i=1}^n x_{ij} = 1, \quad \forall j = 1, 2, \dots, n$
• 變數型態限制： $x_{ij} \in \{0, 1\}, \quad \forall i, j = 1, 2, \dots, n$

二、改寫為混合整數規劃模式（MIP）

1. 線性化推導切入點

原 QAP 目標式之非線性來自雙線性項 $x_{ij} x_{kl}$。 定義新的輔助變數 $y_{ikjl} \ge 0$，用以代表乘積 $x_{ij} x_{kl}$。 為使 $y_{ikjl} = x_{ij} x_{kl}$ 在二元變數下恆成立，必須滿足下列布林邏輯關係：

• 若 $x_{ij} = 1$ 且 $x_{kl} = 1$，則 $y_{ikjl} = 1$。
• 若 $x_{ij} = 0$ 或 $x_{kl} = 0$，則 $y_{ikjl} = 0$。

在數學規劃中，標準的雙線性轉換（McCormick 不等式）限制為：

1. $y_{ikjl} \le x_{ij}$
2. $y_{ikjl} \le x_{kl}$
3. $y_{ikjl} \ge x_{ij} + x_{kl} - 1$
4. $y_{ikjl} \ge 0$

由於目標函數為最小化且單位搬運成本係數 $f_{ik} c_{ik} d_{jl} \ge 0$，目標函數本身會驅使 $y_{ikjl}$ 盡可能取最小值：

• 當 $x_{ij}=1$ 且 $x_{kl}=1$ 時，第 3 式迫使 $y_{ikjl} \ge 1+1-1=1$；
• 當任一變數為 0 時，$x_{ij}+x_{kl}-1 \le 0$，在最小化驅動與非負約束下，$y_{ikjl}$ 自動取 0。 將 $y_{ikjl}$ 設為連續變數，即可與原 0-1 二元變數 $x_{ij}$ 共同構成混合整數規劃。

2. MIP 模式決策變數

• $x_{ij} \in \{0, 1\}$：二元整數變數，表示設施 $i$ 是否指派至位置 $j$。

核心觀念

本題考倉儲布置的「易接近性」：存放的物件應能依圖示的存取方向直接取放，且存取面須鄰接通道。若取放物件前必須先移開其他物件，或存取方向被牆面、貨架阻擋，就不符合易接近性。

易接近性著重每個物件是否能直接存取；物件不必從多個方向取放，只要圖示的存取方向有通道即可。

解題方法

逐一查看各貨架的箭頭，確認箭頭所示的存取方向是否對著通道或開放空間。圖中四種布置的貨架都面向通道，存取位置之間也沒有其他物件阻擋，因此各位置均可直接存取。

選項分析

核心觀念

設施規劃（Facilities Planning）在完成空間配置（Layout Design）與物料搬運系統設計後，必須針對所產生的多個替選方案進行評估與決策。評估方式主要分為「質化評估」（如優缺點比較、因素加權評分法）與「量化評估」。量化評估中的財務規劃，最標準且具說服力的方法即為工程經濟分析（Engineering Economic Analysis）。

本題旨在考驗考生是否掌握工程經濟評估之完整決策生命週期。經濟分析的核心假設在於「貨幣具有時間價值（Time Value of Money, TVM）」，分析架構主要奠基於以下原理：

1. 現金流量折現（Discounted Cash Flow, DCF）：將不同時間點發生的成本與效益，透過折現率折合為同一時點之價值。
2. 最低可接受報酬率（Minimum Attractive Rate of Return, MARR）：作為方案取捨的門檻折現率。
3. 評價指標公式：如現值法（Present Worth, PW）： $PW = \sum_{t=0}^{N} \frac{CF_t}{(1 + i)^t}$ 其中 $CF_t$ 為第 $t$ 期淨現金流，$i$ 為折現率（MARR），$N$ 為分析年限。

解題方法

本題為標準的程序型申論題。回答切入點應依循經典工程經濟學（如 Sullivan、Blank & Tarquin 等權威教科書）所確立之工程經濟分析七大步驟（The Seven-Step Procedure of Engineering Economic Analysis）。

作答時不可僅列出步驟標題，必須結合「設施規劃之實務場景」（如廠房擴建、自動化立體倉儲導入、動線重組等），說明各步驟之具體執行內容與評估工具，展現從「問題界定 $\to$ 方案量化 $\to$ 指標評估 $\to$ 事後追蹤」的完整邏輯鏈。

選項分析

本題屬申論題型，無選擇題選項。為獲取閱卷委員青睞，作答結構需針對七大程序逐層剖析，各步驟在試卷上的評分要點與內涵定位如下：

1. 第一程序（問題定義）：關鍵在於界定決策範圍與目標限制，避免「解決了錯誤的問題」。
2. 第二程序（替選方案發展）：強調方案之「互斥性（Mutually Exclusive）」與必須納入「現狀維持（Do-Nothing）」為比較基準。
3. 第三程序（現金流量預估）：著重於「未來增量現金流（Incremental Cash Flows）」之推估，非會計帳面利潤。
4. 第四程序（評估準則選定）：核心為確立 MARR 及決定評價指標（PW、AW、IRR 等）。
5. 第五程序（方案分析與比較）：核心為同一分析期（Study Period）之折現運算及敏感度分析（Sensitivity Analysis）。
6. 第六程序（最佳方案抉擇）：強調經濟數據與不可量化質化因素（如彈性、法規、ESG）之綜合決策。
7. 第七程序（實施與事後審查）：多數考生容易遺漏此步；強調管理控制與事後稽核（Post-Audit）之反饋機制。

解題技巧

1. 記憶口訣：利用「定、選、估、準、析、擇、行」快速提取記憶：

• 定：定義問題
• 選：選列替選方案
• 估：預估現金流量
• 準：確立評估準則
• 析：分析比較方案
• 擇：抉擇最佳方案
• 行：執行與事後審核

2. 常見失分陷阱：

• 誤以為經濟分析只做到「選出最佳方案」即結束，遺漏「第七步：實施與事後追蹤評估」，導致扣分。
• 混淆「現金流量（Cash Flow）」與「會計利潤（Accounting Profit）」；工程經濟只看實際收支與稅後增量現金流。
• 忽略「沈沒成本（Sunk Cost）」不應計入分析，以及「機會成本（Opportunity Cost）」必須納入考量之觀念。

3. 加分亮點：在第五與第六步驟中主動提及「敏感度分析」與「非貨幣／質化因素整合」，能顯著提高專業深度。

【答案】