111 地方特考三等 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題評量機率論之基礎定義與公理化運算，為公職考試「工程統計學」之基本送分題，主要測驗以下五大核心觀念：

1. 加法定理（Addition Rule）： 對任意兩事件 $A$ 與 $B$： $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
2. 獨立事件（Independent Events）之定義： 若事件 $A$ 與 $B$ 統計獨立，則其交集機率滿足乘法規則： $P(A\cap B) = P(A) \times P(B)$
3. 互斥事件（Mutually Exclusive Events）之定義： 若事件 $A$ 與 $B$ 互斥，則兩者不可能同時發生，即交集為空集合： $A\cap B = \emptyset \implies P(A\cap B) = 0$
4. 條件機率（Conditional Probability）之定義： 給定事件 $C$ 發生且 $P(C) > 0$ 之條件下，事件 $D$ 發生的機率為： $P(D\mid C) = \frac{P(D\cap C)}{P(C)}$
5. 事件分割與補事件性質： 任意事件 $A$ 可依事件 $B$ 及其補事件 $B'$ 分割為兩個互斥部分： $A = (A\cap B) \cup (A\cap B') \implies P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap B')$ 補事件機率為： $P(B') = 1 - P(B)$

解題方法與詳細推導

題目已知： $P(A) = 0.2$，$P(B) = 0.6$。由此可得補事件機率： $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.2 = 0.8$ $P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$

（一）求 $A$ 與 $B$ 互為獨立事件時之 $P(A\cup B)$

【步驟 1：求交集機率 $P(A\cap B)$】 因為事件 $A$ 與 $B$ 互為獨立事件，依獨立事件定義： $P(A\cap B) = P(A) \times P(B) = 0.2 \times 0.6 = 0.12$

【步驟 2：利用加法定理求聯集機率】 $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0.2 + 0.6 - 0.12 = 0.68$

另解（餘事件法）： 若 $A$ 與 $B$ 獨立，則其補事件 $A'$ 與 $B'$ 亦互為獨立： $P((A\cup B)') = P(A'\cap B') = P(A') \times P(B') = (1 - 0.2) \times (1 - 0.6) = 0.8 \times 0.4 = 0.32$ 故：

核心觀念

本題考查皮爾森積差相關係數 $r(x,y)$ 與判定係數 $R^2$。相關係數衡量兩變數線性關係的方向與強度；在簡單線性迴歸中，判定係數等於相關係數的平方：

解題方法

先利用題目提供的總和，計算離均差平方和與離均差乘積和：

因此相關係數為：

核心觀念

本題考一因子變異數分析（one-way ANOVA），用來檢定三條生產線的品質變數平均數是否相等。設三條生產線的平均數為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$，檢定假設為：

分析時將總變異分為「生產線間變異」與「誤差變異」，並以兩者均方的比值作為 $F$ 統計量：

在各組樣本獨立、母體近似常態且各組母體變異數相等的前提下，虛無假設成立時，$F$ 統計量服從自由度為 $(k-1,N-k)$ 的 $F$ 分配。

解題方法與計算

共有 $k=3$ 條生產線，每條抽取 $10$ 個樣本，因此總樣本數 $N=30$。自由度為：

總平方和等於生產線平方和加上誤差平方和，因此：

各變異來源的均方為平方和除以對應自由度：

因此：

核心觀念

本題評量統計製程管制（Statistical Process Control, SPC）與管制圖（Control Chart）的核心理論與實務應用，涉及以下重點觀念：

1. 變異來源的區分：休哈特（Walter A. Shewhart）提出的「機遇原因（Chance / Common Causes）」與「非機遇原因（Assignable / Special Causes）」。
2. 管制圖之目的與優勢：在線（On-line）即時預防不良、區分變異以防止過度調整（Tampering / Over-adjustment）。
3. 統計管制狀態（Statistical Control）的判斷準則：點落在管制界線內（Within Control Limits）僅為必要條件，非充分條件；需同時檢驗是否存在「非隨機型態（Non-random patterns）」（如 Western Electric Rules）。
4. 管制界線 vs. 規格界線：

• 管制界線（$\mu \pm 3\sigma$）：反映製程內在聲音（Voice of the Process）。
• 規格界線（$USL / LSL$）：反映顧客或工程需求（Voice of the Customer）。 製程處於統計管制狀態（穩定），不代表具備足夠的製程能力（Process Capability）或低不良率。

5. 持續改善（Continuous Improvement）：消除非機遇原因僅使製程進入受控狀態；若要進一步縮小變異，必須針對機遇原因進行系統性改善。

解題方法

本題為典型觀念申論題，答題架構應分層切入、直指核心：

• 第（一）小題：從 SPC 的主要功能中選取最具代表性且互補的兩大好處（例如「預防性品質保證」與「科學區分變異以防誤判」），並闡述其工程管理意義。
• 第（二）小題：採「明確否定 $\to$ 兩大維度剖析」之切入策略：

1. 統計維度（是否代表穩定？）：界線內不等於隨機，若有連串（Runs）、趨勢（Trends）、週期等非隨機走勢，仍屬失控狀態。
2. 工程與品質管理維度（是否不需改善？）：

• 分辨「管制界線」與「規格界線」：製程穩定但變異過大或中心偏移，仍會產出大量不良品（$C_{pk} < 1$）。
• 戴明（W. E. Deming）哲學：受控狀態僅代表消除特殊原因，機遇原因變異仍需透過根本系統變革進行持續改善。

選項分析（命題敘述辨析）

本題為問答申論題，針對題幹核心陳述進行逐一辨析：

• 陳述一：「管制圖顯示製程點皆在管制界線內，代表製程穩定」
• 錯誤。管制界線（$UCL / LCL$）通常設定於 $\mu \pm 3\sigma$。點在界線內僅代表未出現「單點出界」的極端異常；若點的分佈違反隨機分佈假設（例如連續 9 點在中心線同側、連續 6 點遞增或遞減），依然判定製程受到非機遇原因干擾，處於不穩定（失控）狀態。
• 陳述二：「製程在管制界線內，不需進行任何改善」
• 錯誤。此陳述混淆了「製程管制」與「製程能力」。穩定製程的自然公差寬度（$6\sigma$）若大於顧客要求的工程規格公差（$USL - LSL$），不良率依然偏高。此外，現代品質管理強調全面品質管理（TQM）與六標準差（Six Sigma），受控是改善的起點而非終點。

解題技巧

1. 關鍵字給分法則：閱卷委員評閱此類題目時，主要尋找專業術語，答題務必包含：

• 「機遇原因（Common Causes）」與「非機遇原因（Special/Assignable Causes）」。
• 「過度調整（Over-adjustment / Tampering）」。

核心觀念

本題評量**計數值抽樣檢驗（Acceptance Sampling by Attributes）**中「單次選別抽樣計畫」（Single Rectifying Sampling Plan）的理論計算，核心包含兩大觀念：

1. 二項分配允收機率（Probability of Acceptance, $P_a$）： 在單次抽樣計畫 $(N, n, c)$ 中，若母體批量 $N$ 甚大或假設抽取為獨立試驗，抽出之樣本不良品數 $d$ 服從二項分配 $d \sim \text{Binomial}(n, p)$。當抽出的不良品數 $d \le c$ 時允收該批，其允收機率為累積機率： $P_a = P(d \le c) = \sum_{d=0}^{c} \binom{n}{d} p^d (1-p)^{n-d}$

2. 平均總檢驗數（Average Total Inspection, ATI）： 在「選別抽樣」（Rectifying Inspection，又稱全檢換修抽樣）機制下：

• 若該批被允收（機率為 $P_a$），僅檢驗樣本數 $n$ 件。
• 若該批被拒收（機率為 $1 - P_a$），則該批必須進行 $100\%$ 全數檢驗，檢驗數為整批批量 $N$ 件，並剔除或更換不良品。

因此，每批平均檢驗的件數 $\text{ATI}$ 公式定義為： $\text{ATI} = n \cdot P_a + N \cdot (1 - P_a) = n + (N - n)(1 - P_a)$

解題方法

題目給定已知參數：

• 批量 $N = 3000$
• 樣本數 $n = 100$
• 允收數 $c = 2$
• 不良率 $p = 0.05$

（一）求允收機率 $P_a$

令隨機變數 $d$ 代表抽驗 $n=100$ 件中所發現的不良品個數，題目指定使用二項分配： $d \sim \text{Binomial}(n=100, p=0.05)$

允收條件為 $d \le 2$，即 $P_a = P(d = 0) + P(d = 1) + P(d = 2)$。

1. 計算各點機率：

• 當 $d = 0$： $P(d=0) = \binom{100}{0} (0.05)^0 (0.95)^{100} = (0.95)^{100} \approx 0.005921$
• 當 $d = 1$： $P(d=1) = \binom{100}{1} (0.05)^1 (0.95)^{99} = 100 \times 0.05 \times (0.95)^{99} = 5 \times (0.95)^{99} \approx 0.031161$
• 當 $d = 2$： $P(d=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (0.95)^{98} = \frac{100 \times 99}{2} \times 0.0025 \times (0.95)^{98} = 12.375 \times (0.95)^{98} \approx 0.081182$