113 年地方特考三等工業工程考古題與詳解

Question 1

一批扣件廠從其某批量產品中抽出 50 個樣本並記錄重量資料（單位：mg），如下：

第一列：310、308、312、305、307、309、311、314、306、308
第二列：310、307、309、313、315、306、308、310、309、311
第三列：312、310、308、307、309、305、310、311、313、314
第四列：310、309、308、312、310、307、309、311、313、315
第五列：310、308、309、311、312、310、307、308、309、310

（一）試計算該批產品的平均重量與標準差。

（二）若規格為 $310\pm5\ \mathrm{mg}$ ，試計算製程能力指標 $C_p$ 與 $C_{pk}$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 樣本平均數 $\bar{x}$ - 樣本標準差 $s$ - 製程能力指標 $Cp$ - 製程能力指標 $C{pk}$ 規格為 $$ 310\pm5	ext{ mg} $$ 因此： $$ USL=315	ext{ mg},\qquad LSL=305	ext{ mg} $$ 其中 $USL$ 為規格上限，$LSL$ 為規格下限。 --- 解題方法 （一）平均重量與標準差 樣本數為 $n=50$。將各筆資料加總： $$ \sum xi=15485 $$ 因此樣本平均數為： $$ \bar{x}=\frac{\sum xi}{n} =\frac{15485}{50} =309.7	ext{ mg} $$ 計算各資料與平均數的離差平方後： $$ \sum{i=1}^{50}(xi-\bar{x})^2=288.5 $$ 因題目明確表示抽出 50 個樣本，標準差採樣本標準差： $$ s=\sqrt{\frac{\sum (xi-\bar{x})^2}{n-1}} $$ 代入得： $$ s=\sqrt{\frac{288.5}{49}} =\sqrt{5.8878} \approx2.426	ext{ mg} $$ 所以： $$ \boxed{\bar{x}=309.7	ext{ mg}} $$ $$ \boxed{s\approx2.426	ext{ mg}} $$ --- （二）計算 $Cp$ 與 $C{pk}$ 1. 製程能力指標 $Cp$ $Cp$ 衡量規格寬度相對於製程自然變異寬度的大小： $$ Cp=\frac{USL-LSL}{6s} $$ 代入： $$ Cp=\frac{315-305}{6(2.426)} =\frac{10}{14.558} \approx0.687 $$ 因此： $$ \boxed{Cp\approx0.687} $$ --- 2. 製程能力指標 $C{pk}$ $C{pk}$ 同時考慮製程變異與製程中心位置：

Question 2

某品牌的果汁以 $1000$ 毫升的罐裝出售。每罐果汁的平均填充量為 $980$ 毫升，標準差為 $20$ 毫升。假設填充量符合常態分配，請問填充機造成溢出的機率，即填充量超過 $1000$ 毫升的機率是多少？

已知標準常態分配表如下：

$z=0.5$ 時， $p$ 為 $0.1915$ ；
$z=1$ 時， $p$ 為 $0.3413$ ；
$z=1.5$ 時， $p$ 為 $0.4332$ ；
$z=2$ 時， $p$ 為 $0.4772$ ；
$z=2.5$ 時， $p$ 為 $0.4938$ ；
$z=3$ 時， $p$ 為 $0.4987$ 。

Accepted Answer

核心觀念 填充量 $X$ 服從常態分配，平均數為 $\mu=980$ 毫升、標準差為 $\sigma=20$ 毫升。要求「溢出」機率，也就是填充量超過罐裝容量 $1000$ 毫升的右尾機率： $$ P(X1000) $$ 將原始常態變數標準化為標準常態變數 $Z$： $$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $$ 解題方法 先將溢出門檻 $1000$ 毫升轉換成 $z$ 值： $$ z=\frac{1000-980}{20}=1 $$ 因此： $$ P(X1000)=P(Z1) $$

Question 3

某公司隨機選取 10 個產品進行產品壓力測試，其數據如下（單位：psi）：

$65$ 、 $70$ 、 $72$ 、 $68$ 、 $75$ 、 $60$ 、 $74$ 、 $69$ 、 $71$ 、 $73$ 。

假設產品壓力呈現常態分配，試計算其產品平均壓力之 $95\%$ 信賴區間（ $t_{0.025,9}\simeq2.262$ ）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查母體變異數未知、樣本數較小時，母體平均數的信賴區間。已知母體壓力呈常態分配，且只有 $n=10$ 個樣本，因此以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差，使用自由度 $n-1=9$ 的 $t$ 分配。

母體平均數 $\mu$ 的 $95\%$ 信賴區間為

\bar{x}\pm t_{0.025,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數， $s$ 為樣本標準差。

解題方法

先計算樣本平均數：

\bar{x} =\frac{65+70+72+68+75+60+74+69+71+73}{10} =\frac{697}{10} =69.7\text{ psi}.

再計算樣本標準差。各數據與平均數的離差平方和為

\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 =188.1.

因此樣本變異數及樣本標準差為

Question 4

某家汽車零組件製造公司，其產品由四條生產線製造，產量分別為 $30\%$、$25\%$、$20\%$、$25\%。四條生產線的平均不良率分別為 $3\%$、$2\%$、$1.5\%$、$4\%$。 試計算若發現不良品，該不良品由第二條生產線生產的機率？

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗貝氏定理：已知抽到的是不良品，反求它來自特定生產線的機率。 設 $Li$ 表示產品來自第 $i$ 條生產線，$D$ 表示產品為不良品。題目提供各線的產量比例 $P(Li)$ 與不良率 $P(D\mid Li)$。由於各線產量不同，不能只比較各線的不良率；須先計算各線對整體不良品的貢獻。 解題方法 要求的是 $P(L2\mid D)$。依貝氏定理： $$ P(L2\mid D) =\frac{P(L2)P(D\mid L2)}{P(D)} $$ 其中，整體不良率 $P(D)$ 為各生產線產量比例與該線不良率的加權平均：

Question 5

某製品進行研發新品實驗之因子與實驗結果（愈大愈好）如下。假設各因子間無交互作用，請計算各因子之主效應，並說明最佳參數組合。

因子水準：

A：壓力
水準一： $5$
水準二： $8$

B：時間
水準一： $20$
水準二： $25$

C：厚度
水準一： $2500$
水準二： $3000$

D：間隙
水準一： $0.2$
水準二： $0.3$

實驗結果：

次序 1： $A=1$ 、 $B=1$ 、 $C=1$ 、 $D=1$ ；第一次： $0.242$ ；第二次： $0.146$ ；第三次： $0.247$
次序 2： $A=1$ 、 $B=1$ 、 $C=2$ 、 $D=2$ ；第一次： $0.256$ ；第二次： $0.160$ ；第三次： $0.261$
次序 3： $A=1$ 、 $B=2$ 、 $C=1$ 、 $D=2$ ；第一次： $0.254$ ；第二次： $0.161$ ；第三次： $0.259$
次序 4： $A=1$ 、 $B=2$ 、 $C=2$ 、 $D=1$ ；第一次： $0.225$ ；第二次： $0.120$ ；第三次： $0.214$
次序 5： $A=2$ 、 $B=1$ 、 $C=1$ 、 $D=2$ ；第一次： $0.237$ ；第二次： $0.140$ ；第三次： $0.145$
次序 6： $A=2$ 、 $B=1$ 、 $C=2$ 、 $D=1$ ；第一次： $0.232$ ；第二次： $0.127$ ；第三次： $0.130$
次序 7： $A=2$ 、 $B=2$ 、 $C=1$ 、 $D=1$ ；第一次： $0.230$ ；第二次： $0.127$ ；第三次： $0.128$
次序 8： $A=2$ 、 $B=2$ 、 $C=2$ 、 $D=2$ ；第一次： $0.231$ ；第二次： $0.126$ ；第三次： $0.127$

Accepted Answer

核心觀念

本題採用二水準直交實驗之「主效應分析」。因各因子間無交互作用，因此可分別比較各因子在水準一與水準二下的平均實驗結果。

因題目要求「愈大愈好」，各因子應選擇平均結果較大的水準。

每一組實驗有三次結果，先計算各次序的平均值：

\bar y_i=\frac{\text{第一次}+\text{第二次}+\text{第三次}}{3}

解題方法

一、計算各次序平均值

次序	平均實驗結果
1	$\frac{0.242+0.146+0.247}{3}=0.211667$
2	$\frac{0.256+0.160+0.261}{3}=0.225667$
3	$\frac{0.254+0.161+0.259}{3}=0.224667$
4	$\frac{0.225+0.120+0.214}{3}=0.186333$
5	$\frac{0.237+0.140+0.145}{3}=0.174000$
6	$\frac{0.232+0.127+0.130}{3}=0.163000$
7	$\frac{0.230+0.127+0.128}{3}=0.161667$
8	$\frac{0.231+0.126+0.127}{3}=0.161333$

二、計算各因子之主效應

主效應定義為：

\text{主效應}=\text{水準二平均值}-\text{水準一平均值}

因子 A：壓力

A 水準一出現在次序 $1,2,3,4$ ：

\bar y_{A1} =\frac{0.211667+0.225667+0.224667+0.186333}{4} =0.212083

A 水準二出現在次序 $5,6,7,8$ ：

\bar y_{A2} =\frac{0.174000+0.163000+0.161667+0.161333}{4} =0.165000

因此：

E_A=\bar y_{A2}-\bar y_{A1} =0.165000-0.212083 =-0.047083

A 水準一較佳，即壓力選 $5$ 。

因子 B：時間

B 水準一出現在次序 $1,2,5,6$ ：

\bar y_{B1} =\frac{0.211667+0.225667+0.174000+0.163000}{4} =0.193583

B 水準二出現在次序 $3,4,7,8$ ：

\bar y_{B2} =\frac{0.224667+0.186333+0.161667+0.161333}{4} =0.183500

因此：

E_B=0.183500-0.193583 =-0.010083

B 水準一較佳，即時間選 $20$ 。

因子 C：厚度

C 水準一出現在次序 $1,3,5,7$ ：

\bar y_{C1} =\frac{0.211667+0.224667+0.174000+0.161667}{4} =0.193000

C 水準二出現在次序 $2,4,6,8$ ：

113 地方特考三等工業工程工程統計學與品質管制考古題詳解

第一、題20 分

核心觀念

解題方法

（一）平均重量與標準差

（二）計算 $C_p$ 與 $C_{pk}$

1. 製程能力指標 $C_p$

2. 製程能力指標 $C_{pk}$

第二、題20 分

第三、題20 分

核心觀念

解題方法

第四、題20 分

核心觀念

解題方法

第五、題20 分

核心觀念

解題方法

一、計算各次序平均值

二、計算各因子之主效應

因子 A：壓力

因子 B：時間

因子 C：厚度

其他考古題

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113 地方特考三等 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

第 一、 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）平均重量與標準差

（二）計算 CpC_pCp​ 與 CpkC_{pk}Cpk​

1. 製程能力指標 CpC_pCp​

2. 製程能力指標 CpkC_{pk}Cpk​

第 二、 題20 分

第 三、 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四、 題20 分

核心觀念

解題方法

第 五、 題20 分

核心觀念

解題方法

一、計算各次序平均值

二、計算各因子之主效應

因子 A：壓力

因子 B：時間

因子 C：厚度

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113 地方特考三等工業工程工程統計學與品質管制考古題詳解

第一、題20 分

（二）計算 $C_p$ 與 $C_{pk}$

1. 製程能力指標 $C_p$

2. 製程能力指標 $C_{pk}$

第二、題20 分

第三、題20 分

第四、題20 分

第五、題20 分