113 地方特考三等 工業工程 生產計劃與管制 考古題詳解

核心觀念

本題考「移動平均預測法」與「平均絕對偏差」（MAD）。$n$ 季移動平均預測值，是預測季之前最近 $n$ 季實際值的算術平均：

$$F_t=\frac{A_{t-1}+A_{t-2}+\cdots+A_{t-n}}{n}$$

其中 $A_t$ 是第 $t$ 季實際值，$F_t$ 是第 $t$ 季預測值。MAD 則是各期預測誤差絕對值的平均：

$$\mathrm{MAD}=\frac{\sum_{t=1}^{m}|A_t-F_t|}{m}$$

MAD 越小，代表預測值平均偏離實際值越少。

解題方法

（一）預測 2024 年第 2 季人均 GDP

預測 2024 年第 2 季時，依各移動平均期數，取其前最近幾季的實際值。

**2 季移動平均：**取 2023 年第 4 季與 2024 年第 1 季：

$$F_{2024/2}^{(2)} =\frac{8{,}429+8{,}245}{2} =\frac{16{,}674}{2} =\boxed{8{,}337\text{ 美元}}$$

**3 季移動平均：**取 2023 年第 3、4 季與 2024 年第 1 季：

$$F_{2024/2}^{(3)} =\frac{8{,}205+8{,}429+8{,}245}{3} =\frac{24{,}879}{3} =\boxed{8{,}293\text{ 美元}}$$

**4 季移動平均：**取 2023 年第 2、3、4 季與 2024 年第 1 季：

$$F_{2024/2}^{(4)} =\frac{7{,}944+8{,}205+8{,}429+8{,}245}{4} =\frac{32{,}823}{4} =\boxed{8{,}205.75\text{ 美元}}$$

（二）以 MAD 比較預測法

題目要求將所有能預測的各季納入 MAD。因資料從 2023 年第 1 季開始，2 季移動平均最早能預測 2023 年第 3 季；3 季移動平均最早能預測 2023 年第 4 季；4 季移動平均最早能預測 2024 年第 1 季。

核心觀念

本題考兩機台流程型排程（two-machine flow shop scheduling），每個工件都必須先在機器 A 加工，再到機器 B 加工，且工件在兩台機器上的加工順序相同。目標是運用 Johnson 法則（Johnson’s Rule） 排定工件順序，使最大完工時間（makespan，記為 $C_{\max}$）最小。

Johnson 法則的操作規則如下：

1. 在尚未排入順序的工件中，找出所有機台加工時間的最小值。
2. 若最小值出現在機器 A，將該工件排在最前方尚未填入的位置。
3. 若最小值出現在機器 B，將該工件排在最後方尚未填入的位置。
4. 移除該工件，重複以上步驟，直到所有工件排定。

解題方法

依各工件的加工時間逐步套用 Johnson 法則：

工件	機器 A	機器 B
1	6	10
2	4	9
3	3	12
4	7	5
5	8	2

• 全部加工時間中的最小值為工件 5 在機器 B 的 $2$ 天，因此工件 5 排在最後。
• 移除工件 5 後，最小值為工件 3 在機器 A 的 $3$ 天，因此工件 3 排在最前。
• 剩餘工件中，最小值為工件 2 在機器 A 的 $4$ 天，因此工件 2 排在工件 3 之後。
• 剩餘工件 1、4 中，最小值為工件 4 在機器 B 的 $5$ 天，因此工件 4 排在最後一個尚未填入的位置。
• 工件 1 排入剩餘位置。

因此，排程順序為：

$$3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 4 \rightarrow 5$$

依此順序計算各工件的開工與完工時間。機器 A 按序連續加工；機器 B 每件工件的開工時間，須不早於該工件在 A 的完工時間，也須不早於前一件工件在 B 的完工時間。

工件順序	機器 A 開工	機器 A 完工	機器 B 開工	機器 B 完工
3	0	3	3	15

核心觀念

本題考 物料需求規劃（MRP） 與 BOM 展開。MRP 依據成品需求，逐層計算各品項的總需求、淨需求與計劃訂單發放時點。

基本計算關係如下：

• 淨需求量＝總需求量－可用庫存－計劃接收量；若結果小於零，淨需求以零計。
• 計劃訂單接收量須滿足淨需求；本題不考慮批量，因此訂單量等於淨需求量。
• 計劃訂單發放時點＝計劃訂單接收時點往前扣除前置時間。
• 子件總需求量＝父件計劃訂單發放量 × BOM 用量。

題目未提供其他訂單需求，且未列計劃接收量，因此各品項計劃接收量均為零。以下以第 10 週成品需求為 50 件，逐週向前排程；庫存均於需求發生時優先扣抵。

（一）產品 A 的 BOM 結構樹

產品 A
├── 組件 B：2 個
└── 組件 C：1 個

每生產 1 件產品 A，需要 2 個組件 B 及 1 個組件 C。

（二）MRP 計劃

1. 產品 A（成品）

產品 A 第 10 週總需求為 50 件，現有庫存 15 件，沒有計劃接收量：

$$\text{第 10 週淨需求} =50-15-0=35\text{ 件}$$

因此第 10 週需計劃接收 35 件。產品 A 前置時間為 1 週，故應於第 9 週發放 35 件計劃訂單。

2. 組件 B

組件 B 的需求來自產品 A 的計劃訂單發放量。產品 A 於第 9 週發放 35 件訂單，每件產品 A 用 2 個 B：

$$\text{第 9 週 B 的總需求}=35\times2=70\text{ 個}$$

B 現有庫存 20 個，因此第 9 週淨需求為：

$$70-20-0=50\text{ 個}$$

B 的前置時間為 2 週，故需於第 7 週發放 50 個計劃訂單，以供第 9 週需求使用。

3. 組件 C

組件 C 的需求同樣依產品 A 的計劃訂單發放量展開。每件產品 A 用 1 個 C：

$$\text{第 9 週 C 的總需求}=35\times1=35\text{ 個}$$

C 現有庫存 15 個，因此第 9 週淨需求為：

$$35-15-0=20\text{ 個}$$

核心觀念

本題考查專案網路圖與 CPM（Critical Path Method，關鍵路徑法）。活動採「活動節點式」表示，每個活動的工期寫在節點內，箭線表示前後置關係。

• 最早完成時間：$EF=ES+\text{工期}$
• 有多個前置活動時：$ES=\max(\text{各前置活動的 }EF)$
• 最晚開始時間：$LS=LF-\text{工期}$
• 有多個後續活動時：$LF=\min(\text{各後續活動的 }LS)$
• 關鍵活動的總浮時為 $0$；由關鍵活動組成的路徑即為關鍵路徑。

資料完整性

題目最後一列僅保留「前置活動為 B」，但未提供該活動的代號與工期。因此，無法唯一決定完整網路圖、所有活動的數值時程、關鍵路徑及專案工期。

以下以 $X$ 表示該列缺漏活動，工期設為 $t$ 天，並依題意假設 $X$ 的唯一前置活動為 $B$。這是保留缺漏資料的參數化解法，不替題目補造工期。

（一）網路圖與時程計算

依已知前置關係，網路圖可表示為：

 ┌──→ B ──┬──→ E
起點 → A ─┤ └──→ X
 └──→ C ─────→ E

起點 ──→ D

E、X、D 均為終止活動

正推：計算 ES、EF

以專案起始時間 $0$ 為基準：

• $A$ 無前置活動：$ES_A=0$，$EF_A=0+4=4$。
• $B$、$C$ 均以前置活動 $A$ 為準：$ES_B=ES_C=EF_A=4$。
• $E$ 須等 $B$、$C$ 都完成：$ES_E=\max(9,10)=10$。
• $X$ 的前置活動為 $B$：$ES_X=EF_B=9$。
• $D$ 無前置活動：$ES_D=0$。

活動	工期	ES	EF
A	4	0	4
B	5	4	9
C	6	4	10
D	7	0	7
E	3	10	13
X（缺漏列）	$t$	9	$9+t$

專案完成時間須涵蓋所有終止活動，因此：

$T=\max(13,\ 7,\ 9+t)=\max(13,\ 9+t)$

反推：計算 LS、LF

由專案完成時間 $T$ 反向計算。終止活動的 $LF$ 均為 $T$：