核心觀念

本題考查抽樣設計下的：

1. 單元包含機率 $\pi_i$。
2. 估計量的設計期望值與不偏性。
3. 均方誤（MSE）。
4. 設計變異數。

母體平均為

$$\mu=\frac{10+30+10+50}{4}=25.$$

第一個樣本單元以簡單隨機抽樣選出，因此每一單元成為第一個樣本單元的機率均為 $\frac14$。

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解題方法：列出所有可能樣本組合

依題目規則：

• 若第一個抽到的單元其 $y_i\leq 20$，第二個單元從另一組隨機抽取。
• 若第一個抽到的單元其 $y_i>20$，第二個單元固定選同組的另一單元。

各種情況如下：

第一個單元	$y_i$	第二個單元	樣本組合	機率
$1$	$10$	從 $3,4$ 隨機抽取	$\{1,3\}$、$\{1,4\}$	各 $\frac18$
$2$	$30$	固定選 $1$	$\{1,2\}$	$\frac14$
$3$	$10$	從 $1,2$ 隨機抽取	$\{1,3\}$、$\{2,3\}$	各 $\frac18$
$4$	$50$	固定選 $3$	$\{3,4\}$	$\frac14$

因此，合併相同的無序樣本組合後：

$$\begin{array}{c|c} \text{樣本組合} & \text{機率}\\ \hline \{1,3\} & \frac14\\ \{1,4\} & \frac18\\ \{1,2\} & \frac14\\ \{2,3\} & \frac18\\ \{3,4\} & \frac14 \end{array}$$

注意：第一個單元為 $2$ 或 $4$ 時，因為 $y_i>20$，第二個單元是同組另一單元，而不是另一組單元。

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（一）單元 $2$ 的包含機率

單元 $2$ 被包含的情況有：

• 第一個抽到單元 $2$：機率 $\frac14$。
• 第一個抽到單元 $3$，再從 $1,2$ 中抽到單元 $2$：機率 $\frac14\times\frac12=\frac18$。
• 第一個抽到單元 $4$ 時，第二個固定為單元 $3$，不包含單元 $2$。
• 第一個抽到單元 $1$ 時，第二個從 $3,4$ 中選取，也不包含單元 $2$。

所以

$$\pi_2 = \frac14+\frac18 = \boxed{\frac38}.$$

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（二）$\bar y$ 是否為母體平均 $\mu$ 的不偏估計量

由上表，各樣本組合的樣本平均如下：

$$\begin{array}{c|c|c} \text{樣本組合} & \bar y & \text{機率}\\ \hline \{1,3\} & \frac{10+10}{2}=10 & \frac14\\ \{1,4\} & \frac{10+50}{2}=30 & \frac18\\ \{1,2\} & \frac{10+30}{2}=20 & \frac14\\ \{2,3\} & \frac{30+10}{2}=20 & \frac18\\ \{3,4\} & \frac{10+50}{2}=30 & \frac14 \end{array}$$

因此，樣本平均的設計期望值為

$$E_d(\bar y) = 10\left(\frac14\right) +30\left(\frac18\right) +20\left(\frac14\right) +20\left(\frac18\right) +30\left(\frac14\right).$$

計算得

$$E_d(\bar y) = \frac{10}{4}+\frac{30}{8}+\frac{20}{4}+\frac{20}{8}+\frac{30}{4} =22.5.$$

而母體平均為

$$\mu=25.$$

由於

$$E_d(\bar y)=22.5\neq 25=\mu,$$

所以 $\bar y$ 在本抽樣設計及本母體下為有偏估計量，偏誤為

$$\operatorname{Bias}_d(\bar y) = E_d(\bar y)-\mu = 22.5-25 = -2.5.$$

故答案為：

$$\boxed{\bar y\text{ 不具不偏性}}$$

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核心觀念

本題考查：

1. 群集抽樣（cluster sampling）：舊式公寓以「公寓棟」為抽樣單位，抽中公寓後調查該棟全部住戶。
2. 分層抽樣（stratified sampling）：集合式大樓以每座大樓為一層，各層內再進行簡單隨機抽樣。
3. 不偏估計量及其變異數估計。
4. 有限母體修正因子：

$$1-f=1-\frac{n}{N}$$

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（一）舊式公寓住戶

1. 抽樣設計

舊式公寓共有 $M=50$ 棟、$N=240$ 戶，先以簡單隨機抽樣不放回抽出 $n=5$ 棟，再調查抽中公寓的全部住戶。

因此屬於：

一階段群集抽樣：以公寓棟為群集單位，對公寓棟進行簡單隨機抽樣，抽中後全查該棟住戶。

令第 $i$ 棟公寓的戶數為 $M_i$，贊成戶數為 $y_i$。由題目資料：

$y_i=M_i\hat p_i$

故五棟公寓的贊成戶數為：

$4(1)=4,\quad 4(0.5)=2,\quad 5(1)=5,\quad 5(0.6)=3,\quad 5(0)=0$

所以：

$\sum_{i\in s}y_i=4+2+5+3+0=14$

2. 舊式公寓贊成比例之不偏估計

公寓棟總數為 $M=50$，抽出 $n=5$ 棟，因此贊成戶數總數的不偏估計量為：

$$\hat Y_A=\frac{M}{n}\sum_{i\in s}y_i =\frac{50}{5}(14)=140$$

舊式公寓共有 $N_A=240$ 戶，所以贊成比例估計為：

$$\hat p_A=\frac{\hat Y_A}{N_A} =\frac{140}{240} =0.5833$$

因此，舊式公寓住戶贊成比例估計為：

$\boxed{\hat p_A=0.5833}$

3. 變異數估計

五棟樣本公寓的贊成戶數為：

$4,\ 2,\ 5,\ 3,\ 0$

其樣本平均數為：

$\bar y_s=\frac{14}{5}=2.8$

樣本變異數為：

$$s_y^2 =\frac{\sum(y_i-\bar y_s)^2}{n-1}$$

$=\frac{(4-2.8)^2+(2-2.8)^2+(5-2.8)^2+(3-2.8)^2+(0-2.8)^2}{4}$

$=\frac{14.8}{4}=3.7$

群集總數估計量的變異數估計為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat Y_A) =M^2\left(1-\frac{n}{M}\right)\frac{s_y^2}{n}$$

比例估計量的變異數估計為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_A) = \left(\frac{M}{N_A}\right)^2 \left(1-\frac{n}{M}\right) \frac{s_y^2}{n}$$

代入數值：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_A) = \left(\frac{50}{240}\right)^2 \left(1-\frac{5}{50}\right) \frac{3.7}{5}$$

$=0.02891$

所以：

$\boxed{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_A)=0.02891}$

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（二）集合式大樓住戶

1. 抽樣設計

集合式大樓共有四座，且每座大樓內各自抽出 $20$ 戶進行調查。

因此屬於：

分層抽樣：以四座集合式大樓作為四個階層，各階層內以簡單隨機抽樣不放回抽出 $20$ 戶。

各大樓的樣本比例估計分別為：

$$\hat p_1=0.2,\quad \hat p_2=0.3,\quad \hat p_3=0.2,\quad \hat p_4=0.4$$

2. 集合式大樓贊成比例之不偏估計

分層抽樣的整體比例估計量為：

$\hat p_B=\sum_{h=1}^4 W_h\hat p_h$

其中：

$W_h=\frac{N_h}{N_B}$

集合式大樓總戶數為：

$N_B=75+400+100+125=700$

因此：

$$\hat p_B = \frac{75}{700}(0.2) +\frac{400}{700}(0.3) +\frac{100}{700}(0.2) +\frac{125}{700}(0.4)$$ $$= \frac{15+120+20+50}{700} =\frac{205}{700} =0.2929$$

所以：

$\boxed{\hat p_B=0.2929}$

3. 變異數估計

各大樓內每層抽樣戶數皆為 $n_h=20$。由二元變數樣本比例估計層內變異數：

$s_h^2=\frac{n_h}{n_h-1}\hat p_h(1-\hat p_h)$

核心觀念

本題考查：

1. 簡單線性迴歸最小平方法估計量。
2. 標準化變數後，迴歸截距與斜率的變化。
3. 類別變數使用虛擬變數時的「虛擬變數陷阱」。
4. 更換基準組後，虛擬變數迴歸係數的轉換。

令

$$S_{xx}=\sum_{i=1}^{30}(x_i-\bar{x})^2,\qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^{30}(y_i-\bar{y})^2,$$ $$S_{xy}=\sum_{i=1}^{30}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).$$

先計算：

$$\bar{x}=\frac{396}{30}=13.2,$$ $$\bar{y}=\frac{1644.302}{30}=54.8100667.$$

（一）求 $\hat{\beta}_0$ 與 $\hat{\beta}_1$

最小平方法估計量為

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}.$$

先求各平方和與交叉乘積：

$$S_{xx} =\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n} =5852-\frac{396^2}{30} =624.8.$$ $$S_{xy} =\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$$ $$=23255.832-\frac{396(1644.302)}{30} =23255.832-21704.7864 =1551.0456.$$

因此

$$\hat{\beta}_1 =\frac{1551.0456}{624.8} \approx 2.48247.$$

再求截距：

$$\hat{\beta}_0 =54.8100667-(2.48247)(13.2) \approx 22.04149.$$

所以迴歸方程式為

$$\boxed{\hat{Y}=22.04149+2.48247X}.$$

斜率的意義是：讀書時間 $X$ 每增加一單位，預測考試成績平均增加約 $2.48247$ 分。

（二）標準化變數後的迴歸係數

定義

$$X_i^*=\frac{x_i-\bar{x}}{s_x}, \qquad Y_i^*=\frac{y_i-\bar{y}}{s_y}.$$

由於標準化後的變數平均數均為 $0$，因此最小平方法迴歸截距為

$$\hat{\beta}_0^*=0.$$

標準化迴歸斜率為相關係數：

$$\hat{\beta}_1^* =r_{XY} =\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.$$

先求 $S_{yy}$：

$$S_{yy} =\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n}$$ $$=94202.131-\frac{1644.302^2}{30} =4077.82876.$$

因此

核心觀念

本題考查複迴歸分析中的：

1. 調整複判定係數 $\bar R^2$。
2. 複迴歸模型的整體顯著性檢定。
3. 個別迴歸係數的 $t$ 檢定。

本題樣本數為 $n=20$，自變數個數為 $k=3$，因此誤差自由度為

$$n-k-1=20-3-1=16。$$

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（一）調整複判定係數

解題方法

調整複判定係數公式為

$$\bar R^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}.$$

代入 $R^2=0.8$、$n=20$、$k=3$：

$$\bar R^2 = 1-(1-0.8)\frac{20-1}{20-3-1}$$ $$= 1-(0.2)\frac{19}{16} = 1-0.2375 = 0.7625。$$

因此，

$$\boxed{\bar R^2=0.7625}$$

解釋

$R^2=0.8$ 表示模型中的 $X_1,X_2,X_3$ 合計可以解釋 $Y$ 變異的 $80\%$。

調整複判定係數考慮樣本數與模型中自變數的個數，對加入自變數所造成的虛增效果進行調整。因此，本模型在考慮模型複雜度後，有效解釋力約為

$$76.25\%。$$

與複判定係數的差異

• $R^2$ 只反映模型對應變數變異的解釋比例。加入新的自變數後，$R^2$ 不會下降。
• $\bar R^2$ 將自變數個數及樣本數納入考量。若新增自變數的解釋力不足，$\bar R^2$ 可能下降。
• 本題兩者差異為

$$R^2-\bar R^2 = 0.8-0.7625 = 0.0375。$$

因此，

$$\boxed{R^2\text{ 與 }\bar R^2\text{ 的差異為 }0.0375}$$

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（二）複迴歸模型的整體顯著性檢定

解題方法

檢定假設為

$$H_0:\beta_1=\beta_2=\beta_3=0$$ $$H_1:\beta_1,\beta_2,\beta_3\text{ 不全為 }0。$$

這是檢定所有自變數是否對 $Y$ 具有整體解釋能力，因此使用 $F$ 檢定。

檢定統計量為

$$F = \frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}。$$

代入數值：

$$F = \frac{0.8/3}{(1-0.8)/16} = \frac{0.2667}{0.0125} = 21.3336。$$

故

$$F=21.33。$$

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，自由度為

$$(df_1,df_2)=(3,16),$$

臨界值為

$$F_{0.05}(3,16)=3.239。$$

統計決策

因為

$$21.33>3.239，$$

所以拒絕 $H_0$。