113 地方特考三等 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查常態分配的標準化與條件機率。補助條件是依有無心疾設定不同 BMI 門檻，因此先分別計算兩群人符合補助條件的機率，再用貝氏定理計算補助者中有心疾者的比例。

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，則標準化後 $Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$，且

$$P(X>a)=1-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),$$

其中 $\Phi$ 為標準常態分配的累積分配函數。

解題方法

設 $H$ 表示有心疾，$\bar H$ 表示無心疾；$S$ 表示符合補助條件。題目給定

$$P(H)=0.10,\qquad P(\bar H)=0.90.$$

（一）無心疾者中可獲補助的比例

無心疾者的補助條件為 BMI 大於 32。其 BMI 平均數為 22、標準差為 4，因此標準化：

$$z=\frac{32-22}{4}=2.5.$$

故無心疾者符合補助條件的比例為

$$P(S\mid \bar H)=P(X>32\mid \bar H) =1-\Phi(2.5) \approx 1-0.9938 =0.0062.$$

所以無心疾者中約有 $0.62\%$ 可獲補助。

（二）補助者中屬於有心疾者的比例

有心疾者的補助條件為 BMI 大於 28。其 BMI 平均數為 25、標準差為 5，因此

核心觀念

本題考兩個常態母體在「變異數相同」假設下的合併變異數估計、母體共同變異數的信賴區間，以及兩獨立樣本平均數的 pooled $t$ 檢定。

令甲、乙兩中心的母體平均數分別為 $\mu_1,\mu_2$，樣本數為 $n_1=12,n_2=15$，樣本平均數為 $\bar{x}_1=58,\bar{x}_2=65$，樣本標準差為 $s_1=4,s_2=5$。共同變異數的合併估計量為

$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.$$

在常態且共同變異數假設下，

$$\frac{(n_1+n_2-2)s_p^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n_1+n_2-2}.$$

檢定兩母體平均數是否相等時，使用合併變異數 $t$ 統計量，自由度為 $n_1+n_2-2$。

解題方法

（一）共同變異數估計值與 95% 信賴區間

先計算合併變異數：

$$s_p^2 =\frac{(12-1)(4^2)+(15-1)(5^2)}{12+15-2} =\frac{11(16)+14(25)}{25} =\frac{526}{25} =21.04.$$

因此，$\sigma^2$ 的估計值為 $21.04$；相應的合併標準差為 $s_p=\sqrt{21.04}\approx4.587$。

自由度為

$$\nu=n_1+n_2-2=25.$$

共同變異數 $\sigma^2$ 的 $95\%$ 信賴區間為

$$\left( \frac{\nu s_p^2}{\chi^2_{0.975,\nu}}, \frac{\nu s_p^2}{\chi^2_{0.025,\nu}} \right),$$

其中 $\chi^2_{p,\nu}$ 表示自由度 $\nu$ 的卡方分配第 $p$ 分位數。查表得 $\chi^2_{0.975,25}\approx40.646$、$\chi^2_{0.025,25}\approx13.120$，故

核心觀念

本題考兩種適合度檢定：

1. 常態分配適合度檢定：以樣本估計常態分配的平均數與標準差，再比較各組實際人數與常態模型下的期望人數。
2. 類別分布適合度檢定：比較疫情後樣本中三種閱讀等級的比例，是否符合疫情前已知比例 $30\%、50\%、20\%$。

兩者皆使用 Pearson 卡方統計量：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i},$$

其中 $O_i$ 為觀察次數，$E_i$ 為虛無假設下的期望次數。期望次數足夠大時，統計量近似服從卡方分配。

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（一）常態分配適合度檢定

解題方法

設成績服從常態分配為虛無假設：

$$H_0:X\sim N(\mu,\sigma^2), \qquad H_1:X\text{ 不服從常態分配}.$$

以樣本平均數 $\bar{x}=56$、樣本標準差 $s=18$ 估計常態分配參數。將各組界限標準化：

$$z=\frac{x-56}{18}.$$

常態模型下，各組期望比例為相對應標準常態區間的機率。端點採連續型分配的區間機率計算；首、末組分別延伸至 $-\infty$ 與 $+\infty$。

標準化界限為：

分數界限	標準化值
0	$-3.111$
20	$-2.000$
40	$-0.889$
60	$0.222$
80	$1.333$
100	$2.444$

由標準常態分配累積機率求得各組期望人數約為：

分數組別	觀察人數 $O_i$	常態模型期望人數 $E_i$
$[0,20]$	54	15.0
$(20,40]$	144	112.0
$(40,60]$	252	245.3
$(60,80]$	120	143.0
$(80,100]$	30	76.8

期望次數合計為 $592.1$，小於樣本數 600，原因是所估常態模型在量尺範圍 $[0,100]$ 外仍有約 $7.9$ 人的機率質量。題目將資料分成五個有限分數區間，因此檢定時須把範圍外的常態機率合併到兩端組：第一組取 $(-\infty,20]$，最後一組取 $(80,\infty)$。相應期望人數約為：

$$(E_1,E_2,E_3,E_4,E_5) =(15.0,112.0,245.3,143.0,84.7).$$

其總和為 600。代入卡方統計量：

核心觀念

本題考線性迴歸中斜率估計值、時間趨勢預測、斜率單尾檢定，以及平均絕對誤差（mean absolute deviation, MAD）的計算。

令月份指標為 $t=1,2,\ldots,12$，迴歸模型為

$$y_t=\beta_0+\beta_1t+\varepsilon_t,$$

其中 $\beta_0$ 為截距，$\beta_1$ 為每月價格變動趨勢。題目未指定月份編碼，以下採用第一月至第十二月依序編為 $1$ 至 $12$；若改編為 $0$ 至 $11$，截距會改變，但斜率與相同月份的預測值不變。

解題方法

（一）斜率係數估計值

含截距的最小平方法迴歸線通過樣本平均點 $(\bar t,\bar y)$。因此

$$\hat\beta_1=\frac{\bar y-\hat\beta_0}{\bar t}.$$

月份指標的平均數為

$$\bar t=\frac{1+2+\cdots+12}{12} =\frac{78}{12}=6.5.$$

代入 $\bar y=63$ 與 $\hat\beta_0=50$：

$$\hat\beta_1 =\frac{63-50}{6.5} =2.$$

故估計的每坪平均交易價格每月增加 $2$ 萬元。

（二）預測接下來兩個月的價格

估計迴歸式為

$$\hat y_t=50+2t.$$

接下來兩個月分別是第 $13$、$14$ 個月：

$$\hat y_{13}=50+2(13)=76, \qquad \hat y_{14}=50+2(14)=78.$$

（三）在 $0.05$ 顯著水準檢定斜率是否為正

設定單尾假設：

$$H_0:\beta_1\le 0, \qquad H_1:\beta_1>0.$$

簡單線性迴歸的斜率檢定統計量為