113 地方特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

113 年・地方特考・三等・經建行政
試題代碼 統計學

第 一 題20 分

假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值 μ\mu 為 140140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差 σ\sigma 為 3.53.5。請回答下列問題：

（一）假設今隨機抽樣 2525 位民眾測其血液中鈉離子，請問這 2525 位民眾血液中鈉離子的平均濃度高於 140.5140.5 mEq/L 的機率約為何？

（二）在母體的標準差 σ\sigma 未知情形下，假設今隨機抽樣 2525 名民眾，其樣本的標準差 ss 為 55。請問這 2525 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介於 138∼142138\sim142 mEq/L 之間的機率為何？

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核心觀念

本題考「樣本平均數的抽樣分配」與標準化。若母體為常態分布，則樣本平均數 Xˉ\bar X 亦為常態分布，其平均數為 μ\mu、標準差為標準誤：

SE⁡(Xˉ)=σn\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}

母體標準差 σ\sigma 已知時，使用標準常態分配 ZZ；σ\sigma 未知且以樣本標準差 ss 估計時，使用自由度為 n−1n-1 的 tt 分配。

解題方法

（一）母體標準差已知

已知 μ=140\mu=140、σ=3.5\sigma=3.5、n=25n=25，故樣本平均數的標準誤為

SE⁡(Xˉ)=3.525=0.7\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{3.5}{\sqrt{25}}=0.7

將 140.5140.5 標準化：

Z=140.5−1400.7≈0.7143Z=\frac{140.5-140}{0.7}\approx 0.7143

因此，

P(Xˉ>140.5)=P(Z>0.7143)=1−Φ(0.7143)≈0.2376P(\bar X>140.5)=P(Z>0.7143) =1-\Phi(0.7143)\approx 0.2376

故機率約為 0.2380.238，亦即 23.8%23.8\%。

（二）母體標準差未知

以樣本標準差 s=5s=5 估計母體標準差。樣本平均數的標準誤估計值為

sn=525=1\frac{s}{\sqrt n}=\frac{5}{\sqrt{25}}=1
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第 二 題20 分

今隨機變數 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 彼此獨立且具有相同分配：

f(x)=θxθ−1,0≤x≤1,0<θ<∞f(x)=\theta x^{\theta-1},\qquad 0\leq x\leq1,\quad 0<\theta<\infty

請回答下列問題：

（一）試求 θ\theta 的最大概似估計子（MLE）。

（二）試求題（一）估計子的一階動差。

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核心觀念

本題考最大概似估計（MLE）與估計量的一階動差。樣本彼此獨立且同分配，因此聯合概似函數是各樣本密度的乘積。求得 MLE 後，再計算該估計量的期望值；此期望值即其一階動差。

解題方法

（一）由獨立性，樣本的概似函數為

L(θ)=∏i=1nθxiθ−1=θn(∏i=1nxi)θ−1,0≤xi≤1.L(\theta) =\prod_{i=1}^{n}\theta x_i^{\theta-1} =\theta^n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\theta-1}, \qquad 0\le x_i\le 1.

取對數概似函數：

ℓ(θ)=nln⁡θ+(θ−1)∑i=1nln⁡xi.\ell(\theta) =n\ln\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_i.

對 θ\theta 微分並令其等於零：

dℓdθ=nθ+∑i=1nln⁡xi=0,\frac{d\ell}{d\theta} =\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\ln x_i=0,

因此

θ^MLE=−n∑i=1nln⁡Xi.\widehat{\theta}_{\mathrm{MLE}} =-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\ln X_i}.

由於 0<Xi<10<X_i<1 幾乎必然成立，故 ln⁡Xi<0\ln X_i<0，此估計值為正。又

d2ℓdθ2=−nθ2<0,\frac{d^2\ell}{d\theta^2}=-\frac{n}{\theta^2}<0,

所以此駐點為對數概似函數的極大值點。

（二）令 Yi=−ln⁡XiY_i=-\ln X_i。對 y≥0y\ge 0，

P(Yi>y)=P(Xi<e−y)=∫0e−yθxθ−1 dx=e−θy.P(Y_i>y) =P(X_i<e^{-y}) =\int_0^{e^{-y}}\theta x^{\theta-1}\,dx =e^{-\theta y}.

因此 YiY_i 服從率參數為 θ\theta 的指數分配。設

S=∑i=1nYi=−∑i=1nln⁡Xi,S=\sum_{i=1}^{n}Y_i=-\sum_{i=1}^{n}\ln X_i,

則 SS 服從形狀參數 nn、率參數 θ\theta 的 Gamma 分配，且

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第 三 題15 分

陳老師為了解創新教學方法是否能提升學生學習成效，於是他針對課堂 77 位學生，分別記錄使用創新教學方法前及使用創新教學方法後的測驗成績，成績越高代表學習成效越好，資料如下：

學生1234567
使用前84726178838671
使用後90867280858880

在 0.050.05 的顯著水準下，請利用 pp 值法檢定創新教學方法是否會提高學生學習成效？

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核心觀念

本題比較同一批學生在「使用前」與「使用後」的成績，兩組資料具有配對關係，因此應採用「成對樣本 tt 檢定」（paired-sample tt test），而非兩獨立樣本 tt 檢定。

令每位學生的成績差為：

Di=使用後成績−使用前成績D_i=\text{使用後成績}-\text{使用前成績}

欲檢定創新教學方法是否能提高學習成效，屬於右尾檢定：

H0:μD≤0H_0:\mu_D\leq 0 H1:μD>0H_1:\mu_D>0

其中 μD\mu_D 表示全體學生使用前後成績差的平均數。

由於樣本數 n=7n=7，且母體差值變異數未知，使用自由度為 n−1=6n-1=6 的 tt 分配。

解題方法與計算

1. 計算各學生的成績差

Di=(6,14,11,2,2,2,9)D_i=(6,14,11,2,2,2,9)

因此：

∑Di=46\sum D_i=46

樣本平均差為：

Dˉ=467=6.5714\bar D=\frac{46}{7}=6.5714

再計算：

∑Di2=62+142+112+22+22+22+92=446\sum D_i^2 =6^2+14^2+11^2+2^2+2^2+2^2+9^2 =446

差值的樣本變異數為：

sD2=∑Di2−(∑Di)2nn−1s_D^2 =\frac{\sum D_i^2-\frac{(\sum D_i)^2}{n}}{n-1} =446−46276=50321=23.9524=\frac{446-\frac{46^2}{7}}{6} =\frac{503}{21} =23.9524

故樣本標準差為：

sD=23.9524=4.8941s_D=\sqrt{23.9524}=4.8941

2. 計算檢定統計量

成對樣本 tt 統計量為：

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第 四 題15 分

使用了三種肥料後農作物的生長高度（cm）如下表所示：

ABC
202721
272417
262120
242522

請建立 ANOVA 表，並在顯著水準 0.10.1 下檢定三種肥料對農作物的平均生長高度是否不同？

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核心觀念

本題比較三種肥料下農作物的平均生長高度，應使用「單因子變異數分析」（one-way ANOVA）。

假設為：

  • H0:μA=μB=μCH_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C
  • H1:H_1: 三種肥料的平均生長高度不全相同

其中：

  • 組間平方和 SSBSS_B：反映三組平均數彼此差異。
  • 組內平方和 SSWSS_W：反映同一肥料內個體間的差異。
  • 檢定統計量：
F=MSBMSWF=\frac{MS_B}{MS_W}

在顯著水準 α=0.1\alpha=0.1 下，若計算所得的 FF 大於臨界值，則拒絕 H0H_0。

解題方法與計算

一、計算各組平均數與總平均數

三組資料為：

A:20,27,26,24A:20,27,26,24 B:27,24,21,25B:27,24,21,25 C:21,17,20,22C:21,17,20,22

各組總和與平均數：

XˉA=974=24.25\bar X_A=\frac{97}{4}=24.25 XˉB=974=24.25\bar X_B=\frac{97}{4}=24.25 XˉC=804=20\bar X_C=\frac{80}{4}=20

總平均數為：

Xˉ⋅⋅=97+97+8012=27412=22.8333\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{97+97+80}{12} =\frac{274}{12} =22.8333

二、計算組間平方和

公式為：

SSB=∑i=1kni(Xˉi−Xˉ⋅⋅)2SS_B=\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar X_i-\bar X_{\cdot\cdot})^2

因為三組樣本數皆為 44：

SSB=4(24.25−22.8333)2+4(24.25−22.8333)2+4(20−22.8333)2SS_B =4(24.25-22.8333)^2 +4(24.25-22.8333)^2 +4(20-22.8333)^2 SSB=4(1712)2+4(1712)2+4(−176)2=2896=48.1667SS_B =4\left(\frac{17}{12}\right)^2 +4\left(\frac{17}{12}\right)^2 +4\left(-\frac{17}{6}\right)^2 =\frac{289}{6} =48.1667

三、計算組內平方和

公式為：

SSW=∑i=1k∑j=1ni(Xij−Xˉi)2SS_W=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar X_i)^2

A 組：

SSA=(20−24.25)2+(27−24.25)2+(26−24.25)2+(24−24.25)2=28.75SS_A=(20-24.25)^2+(27-24.25)^2+(26-24.25)^2+(24-24.25)^2 =28.75

B 組：

SSB(within)=(27−24.25)2+(24−24.25)2+(21−24.25)2+(25−24.25)2=18.75SS_B^{(\text{within})} =(27-24.25)^2+(24-24.25)^2+(21-24.25)^2+(25-24.25)^2 =18.75

C 組：

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第 五 題30 分

醫藥人員想了解服藥的藥量（XX）與藥效維持時間（YY）的關係，於是記錄 88 位病人服藥的結果如下：

XX23425134
YY2020602575104060

（一）試用最小平方法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效維持時間的影響。

（二）在 0.050.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。

（三）此迴歸模型的解釋能力如何？

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核心觀念

本題考查一元線性迴歸分析：

Yi=β0+β1Xi+εiY_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i

其中：

  • β0\beta_0：截距
  • β1\beta_1：藥量對藥效維持時間的平均影響
  • εi\varepsilon_i：誤差項

最小平方法估計式為：

β^1=SxySxx,β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}

檢定藥量是否有顯著影響，設定：

H0:β1=0,H1:β1≠0H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\neq 0

解題方法

（一）建立迴歸方程式

資料為：

n=8n=8

計算平均數：

Xˉ=248=3\bar{X}=\frac{24}{8}=3 Yˉ=3108=38.75\bar{Y}=\frac{310}{8}=38.75

計算離均差平方和與乘積和：

Sxx=∑(Xi−Xˉ)2=12S_{xx}=\sum (X_i-\bar{X})^2=12 Sxy=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=205S_{xy}=\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=205

因此斜率估計值為：

β^1=SxySxx=20512=17.0833\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{205}{12} =17.0833

截距估計值為：

β^0=Yˉ−β^1Xˉ=38.75−(17.0833)(3)=−12.5\hat{\beta}_0 =\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X} =38.75-(17.0833)(3) =-12.5

所以最小平方法迴歸方程式為：

Y^=−12.5+17.0833X\boxed{\hat{Y}=-12.5+17.0833X}

解釋為：藥量每增加 11 單位，藥效維持時間的平均值增加約 17.083317.0833 單位。

（二）檢定藥量是否有顯著影響

先計算總離均差平方和：

Syy=∑(Yi−Yˉ)2=3937.5S_{yy}=\sum(Y_i-\bar{Y})^2=3937.5

迴歸平方和：

SSR=Sxy2Sxx=205212=3502.0833SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} =\frac{205^2}{12} =3502.0833

誤差平方和：

SSE=Syy−SSR=3937.5−3502.0833=435.4167SSE=S_{yy}-SSR =3937.5-3502.0833 =435.4167

ANOVA 表如下：

變異來源平方和 SS自由度 df均方 MSFF 值
迴歸3502.08333502.0833113502.08333502.083348.26248.262
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