110 地方特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查兩個統計觀念：

1. 分布型態：利用平均數、中位數與眾數的相對位置判斷偏態。

• 右偏分布通常呈現：平均數 $>$ 中位數 $>$ 眾數。
• 左偏分布通常呈現：平均數 $<$ 中位數 $<$ 眾數。
• 對稱分布通常呈現：平均數、中位數、眾數大致相等。

2. 異常值判斷：利用盒狀圖的四分位距法：

• 四分位距：$IQR=Q_3-Q_1$
• 下界：$Q_1-1.5IQR$
• 上界：$Q_3+1.5IQR$
• 超出上下界的觀察值，視為異常值。

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解題方法

先將資料由小到大排列：

$$24,\ 25,\ 26,\ 28,\ 29,\ 30,\ 30,\ 32,\ 34,\ 42$$

（一）判斷分布型態

1. 計算平均數

$$\bar{x} =\frac{28+30+26+24+29+32+34+25+42+30}{10} =\frac{300}{10} =30$$

2. 計算中位數

共有 $10$ 筆資料，因此中位數為第 $5$ 筆與第 $6$ 筆資料的平均：

$$\text{Median} =\frac{29+30}{2} =29.5$$

3. 判斷偏態

資料中 $42$ 日明顯偏大，使右側尾端拉長，且：

$$\text{平均數 }30>\text{中位數 }29.5$$

此外，資料的眾數為 $30$，平均數受到高值 $42$ 的影響而略高於中位數。故此分布呈現右側尾端較長的特徵。

因此，這十年間的高溫日數分布為右偏分布。

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（二）判斷是否有異常過多或過少年份

採用四分位距法判斷異常值。

1. 求第一四分位數與第三四分位數

下半部資料為：

$$24,\ 25,\ 26,\ 28,\ 29$$

因此：

核心觀念

本題母體為常態分配，但母體變異數未知，且樣本數僅 $n=7$，因此：

• 檢定母體平均數：使用單一樣本 $t$ 檢定。
• 信賴區間：使用自由度為 $n-1=6$ 的 $t$ 分配。
• 題目要判斷平均來客數是否「大於」200 人，因此採右尾檢定。

樣本平均數與樣本標準差分別為

$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$ $$s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

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（一）檢定平均來客數是否大於 200 人

1. 建立假設

令 $\mu$ 表示週日下午 4 點至晚上 8 點的平均來客數。

$$H_0:\mu\leq 200$$ $$H_1:\mu>200$$

計算檢定統計量時，將虛無假設的邊界值 $\mu_0=200$ 帶入。

2. 計算樣本平均數

七週來客數總和為

$$175+210+190+225+250+190+230=1470$$

因此

$$\bar{x}=\frac{1470}{7}=210$$

3. 計算樣本變異數與樣本標準差

各觀測值與平均數 $210$ 的離差平方和為

$$\begin{aligned} \sum (x_i-\bar{x})^2 &=(-35)^2+0^2+(-20)^2+15^2+40^2+(-20)^2+20^2\\ &=4250 \end{aligned}$$

故樣本變異數為

$$s^2=\frac{4250}{7-1}=\frac{4250}{6}=708.333$$

樣本標準差為

$$s=\sqrt{708.333}\approx 26.616$$

4. 計算檢定統計量

單一樣本 $t$ 檢定統計量為

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

代入資料：

$$t=\frac{210-200}{26.616/\sqrt{7}} \approx \frac{10}{10.059} \approx 0.994$$

其自由度為

$$df=n-1=6$$

5. 臨界值與判斷

顯著水準為 $\alpha=0.1$，採右尾檢定，因此臨界值為

$$t_{0.90,6}\approx 1.440$$

拒絕域為

核心觀念

本題考查：

1. 布瓦松過程的發生率
2. 布瓦松過程在固定時間內的事件數
3. 獨立布瓦松過程合併後，第一件事件來源的機率

若某生產線的不良品產出服從發生率為 $\lambda$ 的布瓦松過程，則：

• 經過時間 $t$ 產出的不良品件數 $N(t)$ 服從 $N(t)\sim \operatorname{Poisson}(\lambda t)$
• 等待第一件不良品的時間服從指數分配： $T\sim \operatorname{Exponential}(\lambda)$
• 在時間 $t$ 內沒有產出不良品的機率為： $P[N(t)=0]=e^{-\lambda t}$

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（一）第一件不良品由生產線 A 生產的機率

1. 求兩條生產線的發生率

生產線 A 平均每 $2$ 小時產出一件不良品，因此其發生率為：

$$\lambda_A=\frac{1}{2}\quad\text{件／小時}$$

生產線 B 平均每 $3$ 小時產出一件不良品，因此其發生率為：

$$\lambda_B=\frac{1}{3}\quad\text{件／小時}$$

令 $T_A$、$T_B$ 分別表示兩條生產線產出第一件不良品的等待時間，則：

$$T_A\sim \operatorname{Exponential}\left(\frac12\right),\qquad T_B\sim \operatorname{Exponential}\left(\frac13\right)$$

2. 設定事件

第一件不良品由 A 生產，表示 A 比 B 更早產出第一件不良品：

$$P(\text{第一件由 A 產出})=P(T_A<T_B)$$

兩個相互獨立的指數分配變數滿足：

$$P(T_A<T_B)=\frac{\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B}$$

代入發生率：

$$P(T_A<T_B) = \frac{\frac12}{\frac12+\frac13} = \frac{\frac12}{\frac56} = \frac35$$

因此：

$$\boxed{P(\text{第一件不良品由 A 產出})=\frac35=0.6}$$

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核心觀念

本題分為兩部分：

1. 以列聯表的 Pearson 卡方獨立性檢定，判斷「吸菸量」與「是否罹患心臟血管疾病」是否相關。
2. 將吸菸習慣合併為「不吸菸」與「吸菸者」，使用兩母體比例單尾檢定，比較兩組罹患疾病的機率。

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（一）吸菸量與心臟血管疾病是否相關

1. 假設

令吸菸量分為四類：不吸菸、偶爾吸菸、吸菸、大量吸菸。

• 虛無假設 $H_0$：吸菸量與是否罹患心臟血管疾病相互獨立，兩者無相關。
• 對立假設 $H_1$：吸菸量與是否罹患心臟血管疾病不相互獨立，兩者有相關。

顯著水準為

$$\alpha=0.05$$

2. 計算期望次數

各列、各欄合計如下：

• 無疾病合計：$800$
• 有疾病合計：$200$
• 不吸菸合計：$550$
• 偶爾吸菸合計：$140$
• 吸菸合計：$230$
• 大量吸菸合計：$80$
• 總樣本數：$1000$

期望次數公式為

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{n}$$

因此期望次數表為：

心臟血管疾病 \ 吸菸習慣	不吸菸	偶爾吸菸	吸菸	大量吸菸
無	$440$	$112$	$184$	$64$
有	$110$	$28$	$46$	$16$

所有期望次數均大於 $5$，適合使用 Pearson 卡方檢定。

3. 檢定統計量

Pearson 卡方統計量為

$$\chi^2 = \sum_{i}\sum_{j} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

代入觀察次數與期望次數：

$$\begin{aligned} \chi^2 ={}& \frac{(500-440)^2}{440} +\frac{(100-112)^2}{112} +\frac{(150-184)^2}{184} +\frac{(50-64)^2}{64} \\ &+\frac{(50-110)^2}{110} +\frac{(40-28)^2}{28} +\frac{(80-46)^2}{46} +\frac{(30-16)^2}{16} \\ ={}&94.06 \end{aligned}$$

自由度為

$$df=(列數-1)(欄數-1) =(2-1)(4-1)=3$$

在 $\alpha=0.05$、自由度 $3$ 下，

$$\chi^2_{0.05,3}=7.815$$

拒絕域為

$$\chi^2>7.815$$

4. 結論

因為

$$94.06>7.815$$

故拒絕 $H_0$。在顯著水準 $0.05$ 下，有充分證據認為吸菸量與是否罹患心臟血管疾病具有顯著相關。

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（二）不吸菸者的罹病機率是否小於吸菸者

核心觀念

將三類吸菸者合併為一組：

• 不吸菸者：總人數 $550$，罹病人數 $50$
• 吸菸者：偶爾吸菸、吸菸、大量吸菸合計 總人數為 $140+230+80=450$，罹病人數為 $40+80+30=150$

令

核心觀念

本題比較 3 種製程方式對產量的影響，但不同工廠本身的生產條件可能不同，因此將「工廠」視為區集因素（block），將「製程方式」視為處理因素（treatment）。

每一個工廠都使用 A、B、C 三種製程各生產一次，故屬於：

隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）

其中：

• 處理數：$t=3$ 種製程方式
• 區集數：$b=5$ 個工廠
• 總觀測值：$N=tb=15$

RCBD 的變異分解為：

$$SS_T=SS_{\text{製程}}+SS_{\text{工廠}}+SS_E$$

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（一）實驗設計及其優點

1. 實驗設計

本題為隨機完全區集設計。

• 處理因素：製程方式 A、B、C
• 區集因素：工廠甲、乙、丙、丁、戊
• 每一區集均包含全部 3 種處理，因此是「完全區集」
• 各工廠內的製程方式應以隨機方式配置，以避免系統性偏誤

2. 此設計的優點

不同工廠的設備、技術人員、原料條件及管理方式可能造成產量差異。將工廠作為區集，可以控制工廠間的差異，主要優點如下：

1. 排除工廠差異的干擾 製程方式的比較是在同一工廠內進行，能降低工廠本身差異對結果的影響。

2. 提高檢定精確度 工廠間的變異被納入區集效果後，不會全部落入誤差項，使誤差變異減少，提升檢定製程差異的能力。

3. 具有配對或區內比較的效果 每個工廠都使用三種製程，可直接比較同一工廠內 A、B、C 的產量。

4. 設計平衡且分析簡單 每種製程均有 5 筆觀測值，每個工廠均有 3 筆觀測值，適合利用二因子無重複觀測的 ANOVA 分析。

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（二）變異數分析

1. 假設

令 $\mu_A,\mu_B,\mu_C$ 分別代表三種製程方式的平均產量。

虛無假設：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C$$

對立假設：

$$H_1:\text{至少有一個製程方式的平均產量不同}$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.05$$

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2. 製程方式平方和

三種製程的平均產量為：

$$\bar{x}_{A\cdot}=13.2,\qquad \bar{x}_{B\cdot}=13.2,\qquad \bar{x}_{C\cdot}=15.6$$

整體平均為 $\bar{x}_{\cdot\cdot}=14$。

製程方式平方和為：

$$SS_{\text{製程}} =b\sum_{j=1}^{t} \left(\bar{x}_{\cdot j}-\bar{x}_{\cdot\cdot}\right)^2$$

代入 $b=5$：

$$\begin{aligned} SS_{\text{製程}} &=5\left[(13.2-14)^2+(13.2-14)^2+(15.6-14)^2\right]\\ &=5(0.64+0.64+2.56)\\ &=19.20 \end{aligned}$$

自由度為：

$$df_{\text{製程}}=t-1=3-1=2$$

因此：

$$MS_{\text{製程}} =\frac{19.20}{2}=9.60$$

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3. 工廠平方和

五個工廠的平均產量為：

$$16,\ 14,\ 12,\ 15,\ 13$$

工廠平方和為：

$$SS_{\text{工廠}} =t\sum_{i=1}^{b} \left(\bar{x}_{i\cdot}-\bar{x}_{\cdot\cdot}\right)^2$$

代入 $t=3$：

核心觀念

本題考查一元簡單線性迴歸及 ANOVA 表的填寫，主要公式如下：

$$\hat{Y}=b_0+b_1X$$

其中：

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}$$

平方和分解為：

$$SST=SSR+SSE$$

決定係數：

$$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}$$

迴歸係數的檢定統計量為：

$$t=\frac{\text{估計值}}{\text{標準誤}}$$

簡單線性迴歸中，迴歸平方和的自由度為 $1$，殘差自由度為 $n-2$，總自由度為 $n-1$。

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解題方法與計算

已知：

• $n=5$
• $\bar{X}=8$
• $\bar{Y}=16$
• $s_X^2=8.5$
• $s_Y^2=34.5$
• $r=0.847$

由原始資料可計算：

$$S_{xx}=\sum (x_i-\bar X)^2=(5-8)^2+(12-8)^2+\cdots+(7-8)^2=34$$ $$S_{yy}=\sum (y_i-\bar Y)^2=(-6)^2+9^2+(-4)^2+(-1)^2+2^2=138$$ $$S_{xy}=\sum (x_i-\bar X)(y_i-\bar Y)$$ $$=(-3)(-6)+4(9)+(-2)(-4)+2(-1)+(-1)(2)=58$$

因此迴歸斜率為：

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{58}{34}=1.7059$$

截距為：

$$b_0=\bar Y-b_1\bar X =16-(1.7059)(8) =2.3529$$

故迴歸方程式為：

$$\hat Y=2.3529+1.7059X$$

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迴歸係數與檢定

迴歸平方和：

$$SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} =\frac{58^2}{34} =98.9412$$

總平方和：

$$SST=S_{yy}=138$$

殘差平方和：

$$SSE=SST-SSR =138-98.9412 =39.0588$$

殘差均方：

$$MSE=\frac{SSE}{n-2} =\frac{39.0588}{3} =13.0196$$

斜率估計值的標準誤：

$$SE(b_1)=\sqrt{\frac{MSE}{S_{xx}}} =\sqrt{\frac{13.0196}{34}} =0.6189$$

因此：

$$t=\frac{1.7059}{0.6189}=2.756$$

其雙尾 $P$ 值為 $0.0702$。

截距估計值的標準誤題目已給為 $5.21$，故：

$$t=\frac{2.3529}{5.21}=0.451$$

其 $P$ 值為 $0.6820$。

決定係數：

$$R^2=\frac{SSR}{SST} =\frac{98.9412}{138} =0.7170$$

調整後決定係數：

$$\bar R^2 =1-\frac{SSE/(n-2)}{SST/(n-1)}$$ $$=1-\frac{39.0588/3}{138/4} =0.6226$$

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ANOVA 表計算