109 地方特考三等 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查四分位數與盒鬚圖、單一母體平均數的右尾 $t$ 檢定，以及皮爾森積差相關係數。共有 $n=22$ 筆縣市資料。

(一) 四分位數與四分位距

將扶養比由小至大排列：

採用「上下半部各自取中位數」的四分位數定義。因為資料筆數為偶數，中位數是第 11 與第 12 個觀測值的平均：

下半部的中位數為第 6 個觀測值，上半部的中位數為第 17 個觀測值，因此：

四分位距為：

(二) 盒鬚圖與離群值

盒鬚圖的離群值界限採用：

小於 $31.985$ 或大於 $46.105$ 的觀測值為離群值。因此：

• 金門縣：$29.74$
• 連江縣：$31.50$
• 臺北市：$46.47$

依此規則，盒鬚圖的下鬚延伸至最小非離群值 $36.52$，上鬚延伸至最大非離群值 $42.68$；盒子範圍為 $Q_1=37.28$ 至 $Q_3=40.81$，中位數為 $39.87$。

(三) 檢定母體平均病床數是否大於 6

解題方法

母體標準差未知，且題目假設母體服從常態分配，使用單一母體平均數 $t$ 檢定。設定：

由表中總和與平方和計算樣本平均數：

核心觀念

本題考查母體比例的區間估計、兩母體比例檢定，以及多組比例的同質性檢定。

• 估計單一母體比例時，以樣本比例 $\hat p=x/n$ 估計母體比例，常態近似的 $95\%$ 信賴區間為 $\hat p\pm1.96\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$。
• 比較兩個母體比例是否相等時，虛無假設下合併兩組資料估計共同比例，再計算雙尾 $z$ 檢定統計量。
• 比較三個城市的捷運偏好比例是否一致時，可將城市與交通工具偏好整理成 $3\times2$ 列聯表，進行卡方同質性檢定。

（一）新北市偏好搭乘公車比例的 $95\%$ 區間估計

新北市樣本總數為

其中偏好公車者 $x_1=364$，故樣本比例為

其標準誤為

因此，$95\%$ 信賴區間為

**答：**新北市市民日常偏好搭乘公車的母體比例，$95\%$ 信賴區間約為 $44.65\%$ 至 $51.78\%$。

（二）檢定新北市與高雄市的公車偏好比例是否相等

令 $p_N$、$p_K$ 分別代表新北市與高雄市市民偏好公車的母體比例。採雙尾檢定：

新北市的樣本比例為

高雄市樣本總數為 $280+237=517$，其樣本比例為

在虛無假設下，合併估計比例為

檢定統計量為

核心觀念

本題考查迴歸分析的變異數分析表，以及判定係數與調整判定係數。

設模型含截距，三個解釋變數為工作年資、薪資及性別，則：

• 迴歸自由度 $df_R=p=3$，其中 $p$ 為解釋變數個數。
• 誤差自由度 $df_E=n-p-1=20$。
• 總自由度 $df_T=n-1=df_R+df_E$。
• 迴歸殘差標準誤為 $s_e=\sqrt{MS_E}$，因此 $SSE=df_E\times MS_E$。
• 平方和關係為 $SST=SSR+SSE$。
• $R^2=SSR/SST$；調整判定係數為 $\bar R^2=1-\frac{SSE/df_E}{SST/df_T}.$

解題方法

由三個解釋變數可得迴歸自由度：

$C=df_R=3.$

誤差自由度為 $20$，故總自由度：

$D=df_T=df_R+df_E=3+20=23.$

殘差標準誤估計為 $7.0$，而殘差標準誤是誤差均方的平方根，因此：

$F=MS_E=(7.0)^2=49.$

誤差平方和為：

$A=SSE=df_E\times MS_E=20\times49=980.$

總平方和為迴歸平方和加誤差平方和：

$B=SST=SSR+SSE=1818+980=2798.$

迴歸均方為：

核心觀念

型 I 錯誤是「虛無假設 $H_0$ 為真時，卻拒絕 $H_0$」的機率。本題的拒絕規則是：兩次抽取結果為同性別，就拒絕 $H_0$。

依原卷掃描圖，委員會共有 4 位委員，其中 $\delta$ 位女性、$4-\delta$ 位男性；題目文字所述的「12 位、8 位女性、4 位男性」與原卷不符。以下依掃描圖作答。在 $H_0:\delta=2$ 下，女性與男性各有 2 位。

解題方法

型 I 錯誤機率就是在 $H_0$ 為真時，計算抽到同性別的機率。

（一）取出放回

每次抽取後都放回，因此兩次抽取相互獨立。抽到兩位女性或兩位男性都會拒絕 $H_0$：