109 地方特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查分層簡單隨機不放回抽樣。四棟大樓分別視為四層，各層樣本數均為 50 戶，但各層戶數不同，因此估計全社區比例時，須依各層戶數占全體戶數的比例加權，不能直接平均四棟大樓的樣本比例。

令第 $h$ 棟戶數為 $N_h$、樣本數為 $n_h$、樣本贊成比例為 $\hat p_h$，全體戶數 $N=\sum_h N_h=700$。整體比例的不偏估計量為

$$\hat P_{\mathrm{st}}=\sum_{h=1}^{4}W_h\hat p_h,\qquad W_h=\frac{N_h}{N}.$$

分層抽樣估計量的變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat P_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^{4}W_h^2(1-f_h)\frac{s_h^2}{n_h}, \qquad f_h=\frac{n_h}{N_h},$$

其中對二元變數，以樣本比例估計層內變異數：$s_h^2=\hat p_h(1-\hat p_h)$。

解題方法

（一）整體贊成比例的不偏估計值

各棟權重為

$$W_A=\frac{100}{700},\quad W_B=\frac{300}{700},\quad W_C=\frac{200}{700},\quad W_D=\frac{100}{700}.$$

因此

$$\begin{aligned} \hat P_{\mathrm{st}} &=\frac{100}{700}(0.8)+\frac{300}{700}(0.4) +\frac{200}{700}(0.5)+\frac{100}{700}(0.7)\\ &=\frac{80+120+100+70}{700} =\frac{370}{700} \approx 0.5286. \end{aligned}$$

故全社區贊成禁菸比例的不偏估計值為 0.5286，約 52.86%。

（二）95% 信心水準下的最大估計誤差

各層抽樣比率及樣本變異數估計如下：

大樓	$f_h=n_h/N_h$	$\hat p_h(1-\hat p_h)$
A	$50/100=0.5$	$0.8(0.2)=0.16$
B	$50/300=1/6$	$0.4(0.6)=0.24$
C	$50/200=0.25$	$0.5(0.5)=0.25$
D	$50/100=0.5$	$0.7(0.3)=0.21$

代入分層抽樣變異數估計式：

核心觀念

本題估計的是「全鎮豬農平均每隻豬每季飼料花費」，屬於比率估計問題。令第 $i$ 戶的平均養豬頭數為 $x_i$、飼料花費為 $y_i$，則全鎮平均每隻豬的飼料花費為

$$R=\frac{\sum_{i=1}^{N}y_i}{\sum_{i=1}^{N}x_i}.$$

簡單隨機不放回抽樣下，以樣本總花費除以樣本總頭數估計：

$$\hat R=\frac{\sum_{i\in s}y_i}{\sum_{i\in s}x_i}.$$

這是比率估計量，通常不是嚴格不偏估計量，但在樣本數足夠時常用，且能反映每頭豬平均花費；相較於先計算各戶的 $y_i/x_i$ 再取平均，也避免每戶權重相同而忽略各戶養豬頭數不同。

解題方法

樣本總養豬頭數與總飼料花費分別為

$$\sum x_i=200+400+100+50+250=1{,}000,$$ $$\sum y_i=850+1{,}600+450+300+800=4{,}000\text{ 仟元}.$$

因此比率估計值為

$$\hat R=\frac{4{,}000}{1{,}000} =4\text{ 仟元／頭／季}.$$

為估計比率的變異數，先以 $\hat R=4$ 計算各戶線性化殘差 $e_i=y_i-\hat R x_i$：

戶別	$x_i$	$y_i$（仟元）	$e_i=y_i-4x_i$
1	200	850	50
2	400	1,600	0
5	100	450	50
8	50	300	100
10	250	800	$-200$

殘差平均為 $0$，其樣本變異數為

核心觀念

本題考查兩種簡單隨機抽樣設計下，樣本平均的變異數，以及抽樣效率如何受到重複抽中單元的影響。

設母體有 $N$ 個單元，母體平均為 $\mu$，母體變異數定義為

$$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_i-\mu)^2.$$

以 $n$ 個觀察值計算的樣本平均為 $\bar y$。在不放回抽樣中，每個單元最多抽中一次；在放回抽樣中，同一單元可能重複抽中。

（一）不放回抽樣比放回抽樣有效的原因

在簡單隨機放回抽樣中，每次抽取互相獨立，故樣本平均的變異數為

$$\operatorname{Var}_{WR}(\bar y)=\frac{\sigma^2}{n}.$$

在簡單隨機不放回抽樣中，抽取結果彼此相依；抽中一個單元後，該單元不會再被抽中，因此樣本較能分散涵蓋母體。其樣本平均變異數為

$$\operatorname{Var}_{WOR}(\bar y) =\frac{\sigma^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right) =\frac{\sigma^2}{n}\frac{N-n}{N}.$$

其中 $1-\frac{n}{N}$ 是有限母體修正因子。當 $1\le n<N$ 時，

$$\operatorname{Var}_{WOR}(\bar y) < \operatorname{Var}_{WR}(\bar y),$$

所以在相同樣本數下，不放回抽樣的樣本平均變異較小、估計較精確，因而相對較有效。若以「放回相對於不放回」的變異數比表示相對效率，則

$$\frac{\operatorname{Var}_{WR}(\bar y)} {\operatorname{Var}_{WOR}(\bar y)} =\frac{N}{N-n}.$$

此比值隨抽樣率 $n/N$ 增加而增加：樣本數 $n$ 越接近母體數 $N$，不放回抽樣避免重複抽中單元的好處越明顯。當 $n=N$ 時，不放回抽樣已普查，$\bar y=\mu$，變異數為 $0$；放回抽樣仍可能重複抽中單元，變異數仍為 $\sigma^2/N$。反之，當母體數 $N$ 相對於樣本數 $n$ 很大，$n/N$ 接近 $0$，有限母體修正因子接近 $1$，兩種設計的效率差異便很小。

（二）不同單元平均 $\bar y_v$ 為何較有效

放回抽樣中，$\bar y$ 將每次抽取結果都計入，因此重複抽中的單元會被重複加權；$\bar y_v$ 則只計算樣本中不同單元的觀察值。設第 $i$ 個單元在 $n$ 次抽取中出現 $M_i$ 次，則

核心觀念與公式

本題為 $N=500$ 戶中以簡單隨機不放回抽樣（SRSWOR）抽出 $n=50$ 戶。抽樣比為 $f=n/N=0.1$，有限母體修正因子為 $1-f=0.9$。

比例與平均數的 95% 信賴區間採常態近似：

$$\text{估計值}\ \pm\ 1.96\times \text{估計標準誤}.$$

對總數，先以樣本平均數乘母體戶數估計，再以總數估計量的標準誤建立區間。第（四）題則按「有無高齡長者」分層，使用各層母體戶數加權的分層估計量。

（一）家戶養狗比例

50 戶中有 10 戶養狗，樣本比例為

$$\hat p=\frac{10}{50}=0.20.$$

樣本比例是不偏估計量，故養狗家戶比例的不偏估計值為 $0.20$。

樣本比例的變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p) =\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{\hat p(1-\hat p)}{n-1} =0.9\cdot\frac{0.2(0.8)}{49}.$$

因此

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\hat p) =\sqrt{0.9\cdot\frac{0.2(0.8)}{49}} \approx 0.0542.$$

95% 信賴區間為

$$0.20\pm1.96(0.0542) =(0.0938,\ 0.3062).$$

（二）養狗家戶平均養狗隻數

10 戶養狗家戶的犬隻數為 $1,1,1,3,1,1,4,1,1,1$，總數為 15 隻，故平均數估計為

$$\bar y=\frac{15}{10}=1.5\text{ 隻／養狗家戶}.$$

在養狗家戶中以簡單隨機抽樣估計平均數時，樣本平均數是不偏估計量。

樣本變異數為

$$s_y^2=\frac{\sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar y)^2}{10-1} =\frac{8.5}{9} \approx0.9444.$$

其中 $\sum(y_i-\bar y)^2=8.5$。將養狗家戶數以 $0.20\times500=100$ 戶估計，採有限母體修正後，平均數標準誤估計為

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\bar y) =\sqrt{\left(1-\frac{10}{100}\right)\frac{s_y^2}{10}} =\sqrt{0.9\cdot\frac{0.9444}{10}} \approx0.2915.$$

因此 95% 信賴區間為

$$1.5\pm1.96(0.2915) =(0.929,\ 2.071)\text{ 隻／養狗家戶}.$$

（三）全里養狗總隻數

先將養狗家戶比例乘以全里戶數，估計養狗家戶數為 $500(0.20)=100$ 戶；每戶平均養 1.5 隻，因此總隻數估計為

$$\hat T=500(0.20)(1.5)=150\text{ 隻}.$$

總數標準誤須同時反映「養狗家戶比例」與「養狗家戶內犬隻數」的抽樣變異。令每戶犬隻數為 $x_i$，沒有養狗者記為 0。樣本中

$$\bar x=\frac{15}{50}=0.3,\qquad s_x^2=\frac{\sum x_i^2-50\bar x^2}{49} =\frac{35-50(0.3)^2}{49} =\frac{30.5}{49}\approx0.6224.$$

故總數估計量的標準誤為