111 地方特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡單隨機不放回抽樣（SRSWOR）下之樣本數決定（Sample Size Determination）及多目標估計（Multi-purpose Survey）之樣本配置原則。涉及的核心公式與觀念如下：

1. 信賴區間與誤差界限（Bound on the Error of Estimation）： 在常態近似下，$100(1-\alpha)\%$ 信賴水準之誤差界限為 $B = z_{\alpha/2} \sqrt{V(\hat{\theta})}$。 依題意，在 95% 信賴水準下，標準常態臨界值取 $z_{0.025} = 1.96$（亦有部分文獻習慣以 $z \approx 2$ 近似）。

2. 母體比例 $P$ 估計之樣本數：

• 未修正有限母體之初始樣本數： $n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 P(1-P)}{B^2}$
• 保守原則：變異數項 $P(1-P)$ 在 $P = 0.5$ 時達最大值。當題目給定 $P$ 之先驗區間時，應選取該區間內最接近 $0.5$ 的數值，以確保估計精度在最不利情況下仍能達成。
• 有限母體修正（Finite Population Correction, FPC）： $n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0}{N}}$

3. 母體平均數 $\bar{Y}$ 估計之樣本數：

• 未修正有限母體之初始樣本數： $n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 S^2}{B^2}$ 其中 $S$ 為母體標準差。
• 經有限母體修正後： $n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0}{N}}$

4. 多目標調查之樣本數決定： 同一份問卷同時調查多項指標時，為同時滿足各指標之精確度要求，最終抽樣樣本數必須取各指標所需樣本數的最大值，即 $n = \max(n_1, n_2)$。

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解題方法

已知母體大小 $N = 5,000$。95% 信賴水準下取 $z = 1.96$。

步驟一：計算估計社會住宅需求比例 $P$ 所需之樣本數 $n_1$

1. 確定先驗比例 $P$： 已知 $P \in [0.35, 0.45]$。由於函數 $f(P) = P(1-P)$ 在 $P \in (0, 0.5]$ 上為嚴格遞增函數，為求得保守且足夠的樣本數，取區間內最接近 $0.5$ 之端點值 $P = 0.45$： $P(1-P) = 0.45 \times (1 - 0.45) = 0.45 \times 0.55 = 0.2475$

2. 誤差界限：$B_1 = 0.05$。

3. 計算初始樣本數 $n_{01}$： $n_{01} = \frac{z^2 P(1-P)}{B_1^2} = \frac{(1.96)^2 \times 0.2475}{(0.05)^2} = \frac{3.8416 \times 0.2475}{0.0025} = 380.3184$

4. 進行有限母體修正： $n_1 = \frac{n_{01}}{1 + \frac{n_{01}}{N}} = \frac{380.3184}{1 + \frac{380.3184}{5000}} = \frac{380.3184}{1 + 0.076064} = \frac{380.3184}{1.076064} \approx 353.43$

核心觀念

本題評量抽樣方法中利用輔助變數（auxiliary variable）提升估計精確度的兩大經典方法：比率估計（Ratio Estimation） 與 迴歸估計（Regression Estimation），並與單純隨機抽樣下的 單位均數估計量（Mean per Unit Estimator） 進行精確度與相對效率（Relative Efficiency）之比較。

涉及之核心公式如下：

1. 母體與樣本基本量：

• 母體大小 $N = 120$，樣本大小 $n = 30$；抽樣分率 $f = \frac{n}{N} = \frac{30}{120} = 0.25$。
• 輔助變數母體平均數：$\bar{X} = \frac{X}{N}$。
• 樣本平均數：$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$、$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$。

2. 點估計量公式：

• 比率估計量：$\bar{y}_R = \hat{R}\bar{X} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}\bar{X}$
• 線性迴歸估計量：$\bar{y}_{lr} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})$，其中樣本迴歸斜率 $b = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$。

3. 變異數估計公式（大樣本近似）：

• 單位均數估計量：$\hat{V}(\bar{y}) = (1 - f)\frac{s_y^2}{n}$
• 比率估計量：$\hat{V}(\bar{y}_R) = (1 - f)\frac{1}{n}(s_y^2 + \hat{R}^2 s_x^2 - 2\hat{R}s_{xy})$
• 迴歸估計量：$\hat{V}(\bar{y}_{lr}) = (1 - f)\frac{1}{n}s_y^2(1 - r^2)$，其中相關係數 $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$。

4. 相對效率（Relative Efficiency, RE）：

• 估計量 $\hat{\theta}$ 相對於基準估計量 $\bar{y}$ 之相對效率定義為變異數之反比： $RE(\hat{\theta}, \bar{y}) = \frac{\hat{V}(\bar{y})}{\hat{V}(\hat{\theta})}$ （若值大於 1，代表 $\hat{\theta}$ 較 $\bar{y}$ 更有效率、精確度更高）。

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解題方法

基本數據整理

• 母體大小 $N = 120$，樣本大小 $n = 30$，有限母體校正係數： $1 - f = 1 - \frac{30}{120} = 0.75$ $\frac{1 - f}{n} = \frac{0.75}{30} = \frac{1}{40} = 0.025$
• 輔助變數母體總額 $X = 96{,}000$，母體平均數： $\bar{X} = \frac{96{,}000}{120} = 800 \text{（床）}$
• 樣本平均數： $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{22{,}500}{30} = 750 \text{（床）}$ $\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{19{,}500}{30} = 650 \text{（萬元）}$
• 樣本變異數與共變異數： $s_x^2 = 360{,}000 \implies s_x = 600$ $s_y^2 = 250{,}000 \implies s_y = 500$ $s_{xy} = 240{,}000$

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(一) 計算比率估計量 $\bar{y}_R$ 與迴歸估計量 $\bar{y}_{lr}$

1. 比率估計量 $\bar{y}_R$：

• 樣本比率估計值： $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{650}{750} = \frac{13}{15} \approx 0.8667$
• 平均一家醫院之醫療採購金額估計： $\bar{y}_R = \hat{R}\bar{X} = \frac{13}{15} \times 800 = \frac{10{,}400}{15} = \frac{2{,}080}{3} \approx 693.33 \text{（萬元）}$

2. 迴歸估計量 $\bar{y}_{lr}$：

• 樣本迴歸係數 $b$： $b = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{240{,}000}{360{,}000} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$
• 平均一家醫院之醫療採購金額估計： $\bar{y}_{lr} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x}) = 650 + \frac{2}{3}(800 - 750) = 650 + \frac{100}{3} = \frac{2{,}050}{3} \approx 683.33 \text{（萬元）}$

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(二) 計算相對效率並比較分析精確度

1. 各估計量之變異數估計值：

• 單位均數估計量 $\bar{y}$： $\hat{V}(\bar{y}) = \frac{1 - f}{n}s_y^2 = 0.025 \times 250{,}000 = 6{,}250$

• 比率估計量 $\bar{y}_R$： 殘差變異數部分為： $s_e^2 = s_y^2 + \hat{R}^2 s_x^2 - 2\hat{R}s_{xy}$ $\hat{R}^2 s_x^2 = \left(\frac{13}{15}\right)^2 \times 360{,}000 = \frac{169}{225} \times 360{,}000 = 169 \times 1{,}600 = 270{,}400$ $2\hat{R}s_{xy} = 2 \times \frac{13}{15} \times 240{,}000 = 26 \times 16{,}000 = 416{,}000$ $s_e^2 = 250{,}000 + 270{,}400 - 416{,}000 = 104{,}400$ 故其變異數估計為： $\hat{V}(\bar{y}_R) = \frac{1 - f}{n}s_e^2 = 0.025 \times 104{,}400 = 2{,}610$

• 迴歸估計量 $\bar{y}_{lr}$： 樣本相關係數 $r$：

核心觀念

本題評量**分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）**的核心理論與實務計算，主要包含三大主題：

1. 母體參數的點估計與標準誤：

• 分層均數估計量 $\bar{y}_{\mathrm{st}} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$，其變異數估計式為 $\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{y}_{\mathrm{st}}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}$。
• 分層比例估計量 $p_{\mathrm{st}} = \sum_{h=1}^L W_h p_h$，其不偏變異數估計式為 $\widehat{\mathrm{Var}}(p_{\mathrm{st}}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{p_h(1 - p_h)}{n_h - 1}$（大樣本下常近似為 $\frac{p_h(1-p_h)}{n_h}$）。
• 標準誤（Standard Error, $\mathrm{SE}$）為變異數估計量之正平方根。

2. 樣本配置法的比較：

• 原題各層抽樣比皆為 $\frac{n_h}{N_h} = \frac{1}{100} = 0.01$，屬於比例配置法（Proportional Allocation）。
• 當各層的母體標準差（或變異程度）存在明顯差異且調查成本相同時，改採**內曼配置法（Neyman Allocation）**可使估計量變異數最小，從而提高估計精確度。

3. 內曼配置（Neyman Allocation）的樣本分配公式：

• 估計均數時：$n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum_{k=1}^L N_k S_k} = n \cdot \frac{W_h S_h}{\sum_{k=1}^L W_k S_k}$。
• 估計比例時：以 $\sqrt{P_h(1-P_h)}$ 代替 $S_h$，即 $n_h = n \cdot \frac{N_h \sqrt{P_h(1-P_h)}}{\sum_{k=1}^L N_k \sqrt{P_k(1-P_k)}}$。

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解題方法

基本資料整理

• 母體總件數 $N = 1{,}000 + 3{,}000 + 4{,}000 + 2{,}000 = 10{,}000$。
• 各層權數 $W_h = \frac{N_h}{N}$：
• $W_1 = \frac{1{,}000}{10{,}000} = 0.1$
• $W_2 = \frac{3{,}000}{10{,}000} = 0.3$
• $W_3 = \frac{4{,}000}{10{,}000} = 0.4$
• $W_4 = \frac{2{,}000}{10{,}000} = 0.2$
• 各層抽樣比例 $f_h = \frac{n_h}{N_h} = \frac{10}{1{,}000} = \frac{30}{3{,}000} = \frac{40}{4{,}000} = \frac{20}{2{,}000} = 0.01$。
• 有限母體校正係數（fpc）為 $1 - f_h = 1 - 0.01 = 0.99$。

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(一) 估計值與標準誤計算

1. 估計平均短漏報金額 $\bar{Y}$ 及該估計量之標準誤

點估計值 $\bar{y}_{\mathrm{st}}$：

$$\bar{y}_{\mathrm{st}} = \sum_{h=1}^4 W_h \bar{y}_h = 0.1(15) + 0.3(10) + 0.4(8) + 0.2(4) = 1.5 + 3.0 + 3.2 + 0.8 = 8.5\text{（萬元）}$$

變異數估計值 $\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{y}_{\mathrm{st}})$：

$$\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{y}_{\mathrm{st}}) = \sum_{h=1}^4 W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h} = (1 - 0.01) \sum_{h=1}^4 W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h}$$

各層項計算：

• 第 1 層：$W_1^2 \frac{s_1^2}{n_1} = (0.1)^2 \cdot \frac{40^2}{10} = 0.01 \cdot \frac{1600}{10} = 1.60$
• 第 2 層：$W_2^2 \frac{s_2^2}{n_2} = (0.3)^2 \cdot \frac{30^2}{30} = 0.09 \cdot \frac{900}{30} = 2.70$
• 第 3 層：$W_3^2 \frac{s_3^2}{n_3} = (0.4)^2 \cdot \frac{50^2}{40} = 0.16 \cdot \frac{2500}{40} = 10.00$
• 第 4 層：$W_4^2 \frac{s_4^2}{n_4} = (0.2)^2 \cdot \frac{10^2}{20} = 0.04 \cdot \frac{100}{20} = 0.20$

加總得：

$$\sum_{h=1}^4 W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} = 1.60 + 2.70 + 10.00 + 0.20 = 14.50$$

計入有限母體校正：

$$\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{y}_{\mathrm{st}}) = 0.99 \times 14.50 = 14.355$$

標準誤 $\widehat{\mathrm{SE}}(\bar{y}_{\mathrm{st}})$：

$$\widehat{\mathrm{SE}}(\bar{y}_{\mathrm{st}}) = \sqrt{14.355} \approx 3.79\text{（萬元）}$$

(註：若忽略有限母體校正係數，則 $\widehat{\mathrm{SE}} = \sqrt{14.50} \approx 3.81$ 萬元)

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2. 估計短漏報比例 $P$ 及該估計量之標準誤

各層樣本比例 $p_h = \frac{a_h}{n_h}$：

• $p_1 = \frac{5}{10} = 0.5$
• $p_2 = \frac{6}{30} = 0.2$
• $p_3 = \frac{8}{40} = 0.2$
• $p_4 = \frac{2}{20} = 0.1$

點估計值 $p_{\mathrm{st}}$：

$$p_{\mathrm{st}} = \sum_{h=1}^4 W_h p_h = 0.1(0.5) + 0.3(0.2) + 0.4(0.2) + 0.2(0.1) = 0.05 + 0.06 + 0.08 + 0.02 = 0.21\text{（即 } 21\%\text{）}$$

變異數估計值 $\widehat{\mathrm{Var}}(p_{\mathrm{st}})$： 採用不偏變異數估計式：

$$\widehat{\mathrm{Var}}(p_{\mathrm{st}}) = \sum_{h=1}^4 W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{p_h(1 - p_h)}{n_h - 1} = 0.99 \times \sum_{h=1}^4 W_h^2 \frac{p_h(1 - p_h)}{n_h - 1}$$

各層項計算：

• 第 1 層：$0.01 \cdot \frac{0.5 \times 0.5}{9} = \frac{0.0025}{9} \approx 0.000278$
• 第 2 層：$0.09 \cdot \frac{0.2 \times 0.8}{29} = \frac{0.0144}{29} \approx 0.000497$
• 第 3 層：$0.16 \cdot \frac{0.2 \times 0.8}{39} = \frac{0.0256}{39} \approx 0.000656$
• 第 4 層：$0.04 \cdot \frac{0.1 \times 0.9}{19} = \frac{0.0036}{19} \approx 0.000189$

核心觀念

1. 抽樣設計定義與架構：

• 兩階段抽樣（Two-stage Sampling）：母體元素先依自然結構或地理特性集合成若干個「初級抽樣單位」（Primary Sampling Units, PSU，如區域），第一階段先自母體 PSU 中隨機抽出部分單位；第二階段再於抽出的各 PSU 中，隨機抽出若干「次級抽樣單位」（Secondary Sampling Units, SSU，如個別樹木）進行調查。
• 自權抽樣（Self-weighting Sample）：當第一階段採簡單隨機抽樣，且第二階段在各群內採固定比率 $f_{2} = \frac{m_i}{M_i}$ 抽樣時，全體元素之包含機率 $\pi = f_1 \times f_2$ 皆相等，此抽樣設計具備自權特性。

2. 母體比例之估計（各群大小不等）：

• 當各群大小 $M_i$ 不等且母體總大小 $M_0 = \sum_{i=1}^N M_i$ 未知時，母體比例 $P$ 的標準估計量為比率估計量（Ratio Estimator）： $\hat{P} = \hat{R} = \frac{\sum_{i=1}^n \hat{Y}_i}{\sum_{i=1}^n M_i} = \frac{\sum_{i=1}^n M_i \hat{p}_i}{\sum_{i=1}^n M_i}$

3. 兩階段抽樣之變異數估計：

• 兩階段抽樣估計量的變異數包含「群間抽樣變異（第一階段）」與「群內抽樣變異（第二階段）」兩部分： $\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1 - f_1}{n \bar{M}^2} s_r^2 + \frac{1}{n N \bar{M}^2} \sum_{i=1}^n M_i^2 \frac{1 - f_{2i}}{m_i} s_{2i}^2$ 其中 $s_r^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (\hat{Y}_i - \hat{P} M_i)^2$ 為群間殘差變異數，群內變異數 $s_{2i}^2 = \frac{m_i}{m_i - 1} \hat{p}_i (1 - \hat{p}_i)$。

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解題方法

(一) 抽樣設計名稱與抽樣單位說明

1. 抽樣設計名稱： 本抽樣設計為兩階段抽樣（Two-stage Sampling），或稱兩階段集群抽樣（Two-stage Cluster Sampling）。

• 第一階段：自 10 個區域中以簡單隨機抽樣（SRS）抽出 4 個區域。
• 第二階段：於抽出的各區域中，以簡單隨機抽樣（SRS）抽出該區域 5% 的樹木。
• 補充特性：因第二階段抽出比率皆為固定之 $f_2 = 5\% = 0.05$，全體樹木入樣的總機率均為 $\pi = \left(\frac{4}{10}\right) \times 0.05 = 0.02$，故亦屬於自權抽樣設計（Self-weighting Sample Design）。

2. 兩階段抽樣單位：

• 初級抽樣單位（Primary Sampling Units, PSU）：國家公園內的區域（共 10 個區域，樣本抽出 4 個區域）。
• 次級抽樣單位（Secondary Sampling Units, SSU）：各區域內的個別樹木。

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(二) 估計樹感染病蟲害比例 $P$ 與 95% 信賴區間

步驟一：符號定義與樣本數據整理

• 母體初級抽樣單位數：$N = 10$
• 樣本初級抽樣單位數：$n = 4$
• 第一階段抽樣比率：$f_1 = \frac{n}{N} = \frac{4}{10} = 0.4$，有限母體修正係數 $1 - f_1 = 0.6$
• 第二階段抽樣比率：$f_{2i} = \frac{m_i}{M_i} = 0.05$，有限母體修正係數 $1 - f_{2i} = 0.95$
• 各抽出群之平均大小：$\bar{M} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n M_i = \frac{200 + 300 + 300 + 400}{4} = \frac{1200}{4} = 300$

各區域樣本計算表：

區域 $i$	$M_i$	$m_i$	$a_i$	$\hat{p}_i = \frac{a_i}{m_i}$	$\hat{Y}_i = M_i \hat{p}_i$	$d_i = \hat{Y}_i - \hat{P} M_i$	$s_{2i}^2 = \frac{m_i}{m_i-1} \hat{p}_i(1-\hat{p}_i)$
1	200	10	1	$0.10$	20	$-30$	$\frac{10}{9}(0.1)(0.9) = 0.1000$
2	300	15	5	$\frac{1}{3}$	100	$25$	$\frac{15}{14}\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{21} \approx 0.2381$
3	300	15	5	$\frac{1}{3}$	100	$25$	$\frac{15}{14}\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{21} \approx 0.2381$
4	400	20	4	$0.20$	80	$-20$	$\frac{20}{19}(0.2)(0.8) = \frac{16}{95} \approx 0.1684$
合計	1200	60	15	—	300	0	—

步驟二：點估計量 $\hat{P}$ 之計算

由於母體全園樹木總數 $M_0$ 未知，採比率估計量：