111 地方特考三等 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題評量基礎機率論的三大核心概念：事件的獨立性（Independence）、機率加法定理（Addition Rule） 與 條件機率（Conditional Probability）。

1. 獨立事件（Independent Events）： 若事件 $A$ 與事件 $B$ 互相獨立，則兩事件同時發生的機率滿足乘法公式： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ 且其餘事件（餘事件對）亦互相獨立，即： $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c) = [1 - P(A)][1 - P(B)]$
2. 機率加法定理（排容原理）與笛摩根定律（De Morgan's Laws）： 「至少發生其一」為聯集事件 $A \cup B$： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 由笛摩根定律可知，「兩者皆未發生」與「至少發生其一」互為餘事件： $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \implies P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$
3. 條件機率（Conditional Probability）： 在事件 $B$ 發生的條件下，事件 $A$ 發生的機率定義為： $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 若 $A$ 與 $B$ 為獨立事件，則已知 $B$ 發生並不提供關於 $A$ 的任何資訊，故： $P(A \mid B) = P(A)$

解題方法

定義事件符號與已知條件：

• 令 $A$ 表示隨機抽取的居民「過去 10 年曾有酒駕違規紀錄」之事件，依題意： $P(A) = 1.5\% = 0.015 \implies P(A^c) = 1 - 0.015 = 0.985$
• 令 $B$ 表示隨機抽取的居民「過去 10 年曾有違反號誌管制規定紀錄」之事件，依題意： $P(B) = 1.2\% = 0.012 \implies P(B^c) = 1 - 0.012 = 0.988$
• 已知 $A$ 與 $B$ 為獨立事件，故兩者交集機率為： $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.015 \times 0.012 = 0.00018$

(1) 求居民未曾有酒駕紀錄，也未曾有違反號誌管制紀錄的機率

所求為交集事件 $A^c \cap B^c$ 之機率。 因 $A$ 與 $B$ 獨立，其餘事件 $A^c$ 與 $B^c$ 亦相互獨立，可直接應用獨立事件乘法定理： $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ 代入數值：

核心觀念

同一批 10 位學員在課程前、後各測量一次，兩組成績屬於成對資料，應以「成對樣本 $t$ 檢定」分析。先對每位學員計算課後與課前的差值，再檢定平均差是否為 0。

令 $d_i=\text{課後成績}-\text{課前成績}$。以雙尾檢定檢驗課程前後平均成績是否不同：

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

解題方法

依學員編號計算差值：

差值總和及平方和為：

因此，平均差為：

差值的樣本變異數與樣本標準差為：

核心觀念

本題比較兩組互相獨立、由隨機指派形成的受試者平均成績，且題目假設兩母體變異數相等，因此使用合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。

題目問兩種課程的學習成效「是否有差異」，採雙尾檢定：

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

解題方法

先以兩組樣本變異數計算合併變異數：

代入 $n_1=n_2=10$、$s_1^2=74.544$、$s_2^2=29.122$：

檢定統計量為：

核心觀念

本題考簡單線性迴歸，檢驗「重大違規取締數量」與「重大事故數量」是否有顯著線性關係。令 $x$ 為每月重大違規取締數量，$y$ 為每月重大事故數量，迴歸模式為

要檢驗的斜率假設為 $H_0:\beta_1=0$、$H_1:\beta_1\ne 0$。若斜率檢定未達顯著，表示資料不足以認定兩者存在線性關係。

解題方法

先計算平均數與離均差：

各觀測值的離均差為：

因此，

斜率與截距估計值為