111 地方特考三等 統計 迴歸分析 考古題詳解

111 年・地方特考・三等・統計
試題代碼 迴歸分析

第 一 題

一位統計分析師想瞭解身高 YiY_i（以英寸為單位）是否可以用手掌張開長度 X1X_1（以公分為單位）和性別 X2X_2（男性是 11，女性是 00）來預測？他收集 6666 名大學生為樣本。所配適的線性迴歸模型如下：

Yi=β0+β1X1i+β2X2i+εi,i=1,…,n.Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,n.

請依據表 1 回答下列問題。

表 1：ANOVA

SourceSum of SquaresDFMean squareF test
Regression840.8436840.843622
Error（1）（3）（5）
（Lack of fit）（2）（4）
（Pure error）283.8476283.84764545
Total1220.43941220.43946565

（一）請計算表 1 中（1）至（5）所列的線性迴歸之 ANOVA 相關資訊。（10 分）

（二）在顯著水準 5%5\% 下，請檢定身高是否與手掌張開長度 X1X_1 和性別 X2X_2 有線性關係存在。請列出虛無假設／對立假設、檢定統計量及決策法則。在無需查表之下，你的建議結論為何？（5 分）

（三）在顯著水準 5%5\% 下，請檢定線性迴歸模型是否有顯著的缺適（lack of fit）？以了解線性迴歸模型是否足以描述身高與手掌張開長度 X1X_1 和性別 X2X_2 之間的關係。請列出虛無假設／對立假設、檢定統計量及決策法則。在無需查表之下，你的建議結論為何？請說明缺適檢定所需要之假設。（10 分）

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核心觀念

本題考兩種迴歸 ANOVA 檢定：

  1. 整體迴歸檢定：檢查手掌張開長度 X1X_1 與性別 X2X_2 是否至少有一個與身高 YY 有線性關係。
  2. 缺適檢定（lack-of-fit test）：利用相同解釋變數設定下的重複觀測，將殘差平方和分為「缺適平方和」與「純誤差平方和」，檢查指定的線性模型是否足以描述平均反應。

本題的樣本數為 n=66n=66，迴歸模型包含截距及兩個斜率參數，因此迴歸參數個數為 p=3p=3。

（一）填列 ANOVA 表

解題方法

總平方和可分解為迴歸平方和與誤差平方和：

SST=SSR+SSE.SST=SSR+SSE.

誤差自由度為總自由度扣除迴歸自由度；缺適平方和與自由度則分別由誤差部分扣除純誤差部分。均方等於平方和除以自由度。

計算

誤差平方和：

SSE=SST−SSR=1220.4394−840.8436=379.5958.SSE=SST-SSR =1220.4394-840.8436 =379.5958.

誤差自由度：

dfE=dfT−dfR=65−2=63.df_E=df_T-df_R=65-2=63.

缺適平方和：

SSLOF=SSE−SSPE=379.5958−283.8476=95.7482.SS_{\text{LOF}}=SSE-SS_{\text{PE}} =379.5958-283.8476 =95.7482.

缺適自由度：

dfLOF=dfE−dfPE=63−45=18.df_{\text{LOF}}=df_E-df_{\text{PE}}=63-45=18.

誤差均方：

MSE=SSEdfE=379.595863=6.0253.MSE=\frac{SSE}{df_E} =\frac{379.5958}{63} =6.0253.

因此表中各空格為：

空格數值說明
（1）379.5958379.5958誤差平方和
（2）95.748295.7482缺適平方和
（3）6363誤差自由度
（4）1818缺適自由度
（5）6.02536.0253誤差均方 MSEMSE

（二）整體迴歸檢定

假設

H0:β1=β2=0H_0:\beta_1=\beta_2=0 H1:β1,β2 至少一者不為 0.H_1:\beta_1,\beta_2\text{ 至少一者不為 }0.

檢定統計量與決策

整體迴歸檢定統計量為：

F=MSRMSE.F=\frac{MSR}{MSE}.

其中：

MSR=SSRdfR=840.84362=420.4218.MSR=\frac{SSR}{df_R} =\frac{840.8436}{2} =420.4218.

所以：

F=420.42186.0253≈69.78,df=(2,63).F=\frac{420.4218}{6.0253} \approx 69.78, \qquad df=(2,63).

在顯著水準 5%5\% 下，當 F>F0.95(2,63)F>F_{0.95}(2,63) 時拒絕 H0H_0。即使不查表，69.7869.78 仍遠大於此檢定的 5%5\% 臨界值，因此拒絕 H0H_0。

結論

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第 二 題

一位統計分析師分析奧林匹克男子田徑短跑 200200 公尺數據，包含 19001900 年至 20202020 年間舉行的 2828 次男子 200200 公尺奧林匹克短跑比賽獲金牌的秒數，其中第一次和第二次世界大戰期間沒有舉辦奧運會，而 20202020 年奧林匹克運動會因為 COVID-19 疫情實際是 20212021 年在日本東京舉行。因此資料包含 year（以年為單位）和 YY（以秒為單位），其散布圖如下：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖 1：奧林匹克年分和男子田徑短跑 200200 公尺秒數散布圖

這位統計分析師重新定義變數，他把「西元年（year）」平減 19631963，並定義新的解釋變數 XX，也就是 X=year−1963X=\mathrm{year}-1963。樣本相關資訊如下，其中 nn 為樣本數：

Xˉ=−0.1429,Yˉ=20.5582,\bar{X}=-0.1429,\qquad \bar{Y}=20.5582,

SXY=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=−888.2171,S_{XY}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=-888.2171,

SXX=∑i=1n(Xi−Xˉ)2=36859.4286,S_{XX}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2=36859.4286,

SYY=∑i=1n(Yi−Yˉ)2=24.3354.S_{YY}=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2=24.3354.

（一）請計算 (X,Y)(X,Y) 的皮爾森相關係數。（5 分）

（二）該統計分析師配適模型 Yi=β0+β1Xi+εiY_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i，此處 εi\varepsilon_i 是誤差項。請寫出以最小平方法所得到的估計迴歸線，並推導其變異數 β^0\hat{\beta}_0 和 β^1\hat{\beta}_1，也就是 Cov⁡(β^0,β^1)\operatorname{Cov}(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)。（10 分）

（三）在顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 之下，請檢定 H0:β1=0H_0:\beta_1=0 是否顯著？請詳述檢定統計量之值、決策法則和結論。請問年份和獲金牌的秒數之間是否存在線性關係？以此資料是否可以推論人類在田徑短跑越跑越快？tt 分配臨界值，t0.025(26)=−2.0555t_{0.025}(26)=-2.0555，t0.025(27)=−2.0518t_{0.025}(27)=-2.0518。（10 分）

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核心觀念

本題考查皮爾森相關係數、簡單線性迴歸的最小平方法估計、迴歸係數的變異數與共變異數，以及斜率的 tt 檢定。

令 n=28n=28，題目給定的離均差平方和與乘積和為 SXXS_{XX}、SYYS_{YY}、SXYS_{XY}。簡單線性迴歸的斜率估計量為 β^1=SXY/SXX\hat\beta_1=S_{XY}/S_{XX}，截距估計量為 β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X。

（一）皮爾森相關係數

皮爾森相關係數為

rXY=SXYSXXSYY=−888.217136859.4286×24.3354≈−0.9378.r_{XY}=\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}S_{YY}}} =\frac{-888.2171}{\sqrt{36859.4286\times24.3354}} \approx -0.9378.

因此，XX 與 YY 呈高度負相關。

（二）最小平方法迴歸線與係數變異數、共變異數

斜率估計值為

β^1=SXYSXX=−888.217136859.4286≈−0.02410.\hat\beta_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}} =\frac{-888.2171}{36859.4286} \approx -0.02410.

截距估計值為

β^0=Yˉ−β^1Xˉ=20.5582−(−0.0240974)(−0.1429)≈20.55476.\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X =20.5582-(-0.0240974)(-0.1429) \approx 20.55476.

故估計迴歸線為

Y^=20.55476−0.0240974X.\hat Y=20.55476-0.0240974X.

因為 X=year−1963X=\mathrm{year}-1963，斜率表示年份每增加一年，奧運男子 200 公尺金牌成績的估計秒數平均減少約 0.024100.02410 秒；截距則是 X=0X=0，即 1963 年時的估計秒數。

在誤差項互相獨立、變異數相同且為 σ2\sigma^2 的假設下，

β^1=β1+∑i=1n(Xi−Xˉ)εiSXX,β^0=β0+εˉ−Xˉ(β^1−β1).\hat\beta_1 =\beta_1+\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)\varepsilon_i}{S_{XX}}, \qquad \hat\beta_0 =\beta_0+\bar\varepsilon-\bar X(\hat\beta_1-\beta_1).

因此，

Var⁡(β^1)=σ2SXX,\operatorname{Var}(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{S_{XX}}, Var⁡(β^0)=σ2(1n+Xˉ2SXX),\operatorname{Var}(\hat\beta_0) =\sigma^2\left(\frac1n+\frac{\bar X^2}{S_{XX}}\right), Cov⁡(β^0,β^1)=−Xˉσ2SXX.\operatorname{Cov}(\hat\beta_0,\hat\beta_1) =-\frac{\bar X\sigma^2}{S_{XX}}.

題目未提供 σ2\sigma^2，以殘差均方 s2=MSEs^2=\mathrm{MSE} 估計。先計算殘差平方和：

SSE=SYY−SXY2SXX=24.3354−(−888.2171)236859.4286≈2.93166.\mathrm{SSE} =S_{YY}-\frac{S_{XY}^2}{S_{XX}} =24.3354-\frac{(-888.2171)^2}{36859.4286} \approx 2.93166.

自由度為 n−2=26n-2=26，所以

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第 三 題

一位統計分析師受託分析 2020 名年齡 40∼6040\sim60 歲高血壓患者的血壓相關數據，以評估可能影響血壓的重要因素，資料描述如下：

  • 血壓 YY：反應變數，以 mm Hg 為單位。
  • 年齡 X1X_1：以年為單位。
  • 重量 X2X_2：以公斤為單位。
  • 體表面積 X3X_3：以平方公尺為單位。
  • 高血壓病史 X4X_4：以年為單位。
  • 基礎脈搏 X5X_5：以每分鐘為單位。
  • 壓力指數 X6X_6：範圍為 00 至 100100。

部分統計套裝軟體輸出結果在表 2 和表 3。

表 2

反應變數5 個解釋變數判定係數 Rj2R_j^2
X1X_1X2X_2–X6X_60.4510.451
X2X_2X1X_1, X3X_3–X6X_60.9250.925
X3X_3X1X_1–X2X_2, X4X_4–X6X_60.9050.905
X4X_4X1X_1–X3X_3, X5X_5–X6X_60.1960.196
X5X_5X1X_1–X4X_4, X6X_60.7540.754
X6X_6X1X_1–X5X_50.4160.416

表 3

解釋變數Type I SS偏判定係數
X1X_1SSR⁡(X1)=243.266\operatorname{SSR}(X_1)=243.266RY,X12=0.4344R^2_{Y,X_1}=0.4344
X2X_2SSR⁡(X2∣X1)=306.886\operatorname{SSR}(X_2\mid X_1)=306.886RY,X2∣X12=0.96891R^2_{Y,X_2\mid X_1}=0.96891
X3X_3SSR⁡(X3∣X1,X2)=0.765\operatorname{SSR}(X_3\mid X_1,X_2)=0.765RY,X3∣X1,X22=0.07763R^2_{Y,X_3\mid X_1,X_2}=0.07763
X4X_4SSR⁡(X4∣X1,X2,X3)=0.250\operatorname{SSR}(X_4\mid X_1,X_2,X_3)=0.250RY,X4∣X1,X2,X32=0.02755R^2_{Y,X_4\mid X_1,X_2,X_3}=0.02755
X5X_5SSR⁡(X5∣X1,X2,X3,X4)=0.965\operatorname{SSR}(X_5\mid X_1,X_2,X_3,X_4)=0.965RY,X5∣X1,X2,X3,X42=0.1092R^2_{Y,X_5\mid X_1,X_2,X_3,X_4}=0.1092
X6X_6SSR⁡(X6∣X1,X2,X3,X4,X5)=1.023E−04\operatorname{SSR}(X_6\mid X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)=1.023\mathrm{E}{-04}RY,X6∣X1,X2,X3,X4,X52=1.3E−05R^2_{Y,X_6\mid X_1,X_2,X_3,X_4,X_5}=1.3\mathrm{E}{-05}

（一）這位分析師一開始採用下列模型 1 的複迴歸分析，他擔心有多重共線性（Multicollinearity）問題。

模型 1：

Yi=β1X1i+β2X2i+β3X3i+β4X4i+β5X5i+β6X6i+εi,i=1,…,n.Y_i=\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i}+\beta_3X_{3i}+\beta_4X_{4i}+\beta_5X_{5i}+\beta_6X_{6i}+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,n.

請協助這位分析師利用表 2 判斷是否有嚴重的多重共線性，並說明模型 1 是否合適？如果不合適，請詳細說明原因和判斷方法。（5 分）

（二）表 3 第二欄的定義，若 SSR⁡(Xi∣Xj)\operatorname{SSR}(X_i\mid X_j) 代表給定 XjX_j 已在模型中，XiX_i 加入模型中的額外平方和（extra sum of squares）。請計算：

SSR⁡(X1,X2,X3,X4,X5,X6)。\operatorname{SSR}(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6)。

最後一欄符號代表偏判定係數（coefficient of partial determination）。請說明偏判定係數 RY,X3∣X1,X22R^2_{Y,X_3\mid X_1,X_2} 的計算式及其意義。請利用表 3 結果，建議分析師採用那些變數，詳細說明理由和判斷方法。（10 分）

（三）請利用表 3 結果及 SST⁡=560\operatorname{SST}=560、SSR⁡(X1,X2,X5)=551.568\operatorname{SSR}(X_1,X_2,X_5)=551.568，計算：

SSR⁡(X5∣X1,X2)\operatorname{SSR}(X_5\mid X_1,X_2)

和偏判定係數：

RY,X5∣X1,X22.R^2_{Y,X_5\mid X_1,X_2}.

（10 分）

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核心觀念

本題考查三個觀念：

  1. 多重共線性：看解釋變數彼此能否被其他解釋變數高度解釋。表 2 的 Rj2R_j^2 是以 XjX_j 為反應變數、其餘五個解釋變數為自變數所得的判定係數，可用來計算變異膨脹因子： VIF⁡j=11−Rj2.\operatorname{VIF}_j=\frac{1}{1-R_j^2}. 常用判斷基準是 VIF⁡≥10\operatorname{VIF}\geq 10，表示有嚴重多重共線性的疑慮。

  2. 額外平方和與偏判定係數：額外平方和衡量在既有變數之外再加入一個變數，使迴歸平方和增加多少；偏判定係數衡量該變數在控制既有變數後，能解釋剩餘變異的比例。

  3. 變數選擇：比較各變數加入模型後的額外平方和及偏判定係數，判斷其在已納入變數之後還提供多少解釋力。Type I SS 會受變數進入順序影響。

（一）利用表 2 判斷多重共線性

依表 2 計算各變數的 VIF：

變數Rj2R_j^2VIF⁡j=1/(1−Rj2)\operatorname{VIF}_j=1/(1-R_j^2)
X1X_10.4511.82
X2X_20.92513.33
X3X_30.90510.53
X4X_40.1961.24
X5X_50.7544.07
X6X_60.4161.71

X2X_2 和 X3X_3 的 VIF 都超過 10，顯示重量與體表面積分別可被其他解釋變數高度解釋，模型有嚴重多重共線性的疑慮。

因此，模型 1 不宜不加處理就直接用來解釋個別迴歸係數。多重共線性會使係數估計的變異變大，造成係數不穩定、標準誤偏大，個別係數的檢定與解釋較不可靠；但它本身不代表模型整體的預測能力必然差。可考慮檢視 X2X_2、X3X_3 的相關性及研究意義，刪除其中一項或採取其他處理，再重新估計模型。

（二）計算全模型 SSR、說明偏判定係數並建議變數

1. 全模型的 SSR⁡(X1,X2,X3,X4,X5,X6)\operatorname{SSR}(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6)

依序加入各變數時，總迴歸平方和等於各項 Type I SS 的總和：

SSR⁡(X1,…,X6)=SSR⁡(X1)+SSR⁡(X2∣X1)+⋯+SSR⁡(X6∣X1,…,X5)=243.266+306.886+0.765+0.250+0.965+0.0001023=552.1321023≈552.132.\begin{aligned} \operatorname{SSR}(X_1,\ldots,X_6) &=\operatorname{SSR}(X_1) +\operatorname{SSR}(X_2\mid X_1) +\cdots +\operatorname{SSR}(X_6\mid X_1,\ldots,X_5)\\ &=243.266+306.886+0.765+0.250+0.965+0.0001023\\ &=552.1321023\\ &\approx \boxed{552.132}. \end{aligned}

2. 偏判定係數 RY,X3∣X1,X22R^2_{Y,X_3\mid X_1,X_2}

偏判定係數可寫為：

RY,X3∣X1,X22=SSR⁡(X3∣X1,X2)SSR⁡(X3∣X1,X2)+SSE⁡(X1,X2,X3).R^2_{Y,X_3\mid X_1,X_2} =\frac{\operatorname{SSR}(X_3\mid X_1,X_2)} {\operatorname{SSR}(X_3\mid X_1,X_2)+\operatorname{SSE}(X_1,X_2,X_3)}.

等價地，它是加入 X3X_3 前後殘差平方和減少的比例：

RY,X3∣X1,X22=SSE⁡(X1,X2)−SSE⁡(X1,X2,X3)SSE⁡(X1,X2).R^2_{Y,X_3\mid X_1,X_2} =\frac{\operatorname{SSE}(X_1,X_2)-\operatorname{SSE}(X_1,X_2,X_3)} {\operatorname{SSE}(X_1,X_2)}.

表 3 給出 RY,X3∣X1,X22=0.07763R^2_{Y,X_3\mid X_1,X_2}=0.07763，意即在已控制 X1、X2X_1、X_2 後，X3X_3 約能解釋原先剩餘變異的 7.763%7.763\%。

3. 變數建議

依表 3 的 Type I SS 與偏判定係數判讀：

  • 保留 X1、X2X_1、X_2：兩者的額外平方和分別為 243.266243.266、306.886306.886，解釋力明顯；偏判定係數也分別為 0.43440.4344、0.968910.96891。
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第 四 題

一位教師擬瞭解學生的測試表現是否受智商和教學方法所影響，以 6060 名學生為實驗對象，在採用三種教學方法之下，獲得測試成績 YY、智商 XX。前兩種教學方法 M1M_1、M2M_2 變數定義如下：

M1={1,教學法 10,其他M2={1,教學法 20,其他M_1= \begin{cases} 1,&\text{教學法 1}\\ 0,&\text{其他} \end{cases} \qquad M_2= \begin{cases} 1,&\text{教學法 2}\\ 0,&\text{其他} \end{cases}

這位教師分別考慮的模型如下：

模型 1：

Yi=β0+β1Xi+εi,i=1,…,n.Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,n.

模型 2：

Yi=β0+β2M1i+β3M2i+εi,i=1,…,n.Y_i=\beta_0+\beta_2M_{1i}+\beta_3M_{2i}+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,n.

模型 3：

Yi=β0+β1Xi+β2M1i+β3M2i+εi,i=1,…,n.Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\beta_2M_{1i}+\beta_3M_{2i}+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,n.

請使用表 4 部分電腦輸出 3 個模型的變異數分析（ANOVA，Analysis of Variance）報表來回答下列問題。

（一）在考慮模型 3 之下，請檢定智商 XX 該解釋變數對於解釋測試成績是否有顯著的解釋能力。請用顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 檢定並詳述檢定統計量之值、決策法則、結論和所需的假設。tt 分配臨界值，t0.975(56)=2.0032t_{0.975}(56)=2.0032。（10 分）

（二）在考慮模型 3 之下，請檢定教學方法 M1M_1 和 M2M_2 這兩個虛擬變數是否在模型 3 對預測學生測試成績有較佳效果。請在顯著水準 α=0.05\alpha=0.05，檢定 H0:β2=β3=0H_0:\beta_2=\beta_3=0，詳請述檢定統計量之值、決策法則、結論和所需的假設。FF 分配左尾臨界值，F0.95(1,56)=4.0130F_{0.95}(1,56)=4.0130，F0.95(2,56)=3.1619F_{0.95}(2,56)=3.1619。（10 分）

（三）請使用表 4 說明哪一種教學方法最能提升測試成績，須說明論述。（5 分）

表 4

模型 1 ANOVA 表

SourceDFSum of SquaresMean SquareF valueP-value
Regression11816.928816.928816.928816.92814.7214.720.00030.0003
Error58583219.2553219.25555.50455.504
Total59594036.1834036.183

模型 2 ANOVA 表

SourceDFSum of SquaresMean SquareF valueP-value
Regression222880.0332880.0331440.0171440.0177171P-value
Error57571156.1501156.15020.28320.283
Total59594036.1834036.183

模型 3 ANOVA 表和參數估計

SourceDFSum of SquaresMean SquareF valueP-value
Regression333512.7453512.7451170.9151170.915125.27125.27<.0001<.0001
Error5656523.438523.4389.3479.347
Total59594036.1834036.183

模型 3 參數估計

VariableDFEstimateStandard Errort valueP-value
Intercept1156.02456.0244.3064.30613.0113.01<.0001<.0001
XX110.3500.3500.0430.0438.148.14<.0001<.0001
M1M_111−15.770-15.7700.9670.967−16.3-16.3<.0001<.0001
M2M_211−11.943-11.9430.9720.972−12.28-12.28<.0001<.0001
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核心觀念

本題考查多元線性迴歸中的個別係數檢定、巢狀模型的部分 FF 檢定，以及虛擬變數係數的解讀。

模型 3 以教學法 3 為參照組，因為 M1=M2=0M_1=M_2=0 時代表教學法 3。模型 3 的迴歸式為

Yi=β0+β1Xi+β2M1i+β3M2i+εi.Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\beta_2M_{1i}+\beta_3M_{2i}+\varepsilon_i.

檢定單一係數是否為零，使用 tt 檢定；同時檢定多個係數是否為零，使用部分 FF 檢定。參數檢定的精確推論假設包括：模型形式正確、誤差項獨立且常態分配、變異數固定，以及解釋變數沒有完全共線性。若要將教學方法的差異解釋為因果效果，還需有隨機分派或其他足以控制混淆因素的設計。

解題方法與計算

（一）檢定智商 XX 的解釋能力

在控制教學方法後，檢定智商的迴歸係數是否為零：

H0:β1=0,H1:β1≠0.H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\ne 0.

由模型 3 參數估計表，β^1=0.350\hat{\beta}_1=0.350、標準誤為 0.0430.043，因此

t=β^1SE(β^1)=0.3500.043≈8.14.t=\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{0.350}{0.043} \approx 8.14.

誤差自由度為 5656。雙尾檢定在 α=0.05\alpha=0.05 下，決策法則為

∣t∣>t0.975(56)=2.0032⟹拒絕H0.|t|>t_{0.975}(56)=2.0032 \quad\Longrightarrow\quad 拒絕 H_0.

因為 ∣8.14∣>2.0032|8.14|>2.0032，故拒絕 H0H_0。在控制教學方法後，智商對測試成績有顯著的線性解釋能力；估計係數為正，表示智商每增加一單位，預測測試成績平均增加 0.3500.350 單位。表中 p<0.0001p<0.0001，亦支持此結論。

（二）聯合檢定兩個教學方法虛擬變數

檢定教學方法變數在模型 3 中是否具有聯合解釋能力：

H0:β2=β3=0,H1:β2,β3 不同時為 0.H_0:\beta_2=\beta_3=0,\qquad H_1:\beta_2,\beta_3\text{ 不同時為 }0.

虛無假設下的約化模型是模型 1，只保留智商 XX；完整模型是模型 3。部分 FF 統計量為

F=(SSE約化−SSE完整)/qMSE完整,F= \frac{(SSE_{\text{約化}}-SSE_{\text{完整}})/q} {MSE_{\text{完整}}},

其中 q=2q=2。由表中資料，SSE約化=3219.255SSE_{\text{約化}}=3219.255、SSE完整=523.438SSE_{\text{完整}}=523.438、MSE完整=9.347MSE_{\text{完整}}=9.347，所以

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