114 地方特考三等 水利工程類科 土壤力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查土壤力學常見符號與參數的定義，以及它們代表的物理意義與單位。作答時要分清楚：粒徑與比值通常有長度單位或無因次；水力坡降與土壓力係數為無因次；壓密係數則具有面積除以時間的單位。

解題方法與各名詞說明

（一）$D_{60}$

在土壤粒徑分布曲線上，通過累積重量百分比（或乾土重量百分比）$60\%$ 所對應的土粒粒徑，稱為有效粒徑 $D_{60}$。例如，若 $D_{60}=0.6\ \mathrm{mm}$，表示試樣中有 $60\%$ 的土粒重量比該粒徑細。

其單位為長度，常用 $\mathrm{mm}$ 或 $\mathrm{cm}$。

（二）比重（specific gravity）

土粒比重 $G_s$ 為土粒單位體積的重量（或質量）與同溫度下水的單位體積重量（或質量）之比：

$$G_s=\frac{\gamma_s}{\gamma_w} =\frac{\rho_s}{\rho_w}$$

其中，$\gamma_s$、$\rho_s$ 分別為土粒的單位體積重量與密度；$\gamma_w$、$\rho_w$ 為水的單位體積重量與密度。比重是比值，無單位。一般礦物土的土粒比重約為 $2.6$ 至 $2.8$。

（三）臨界水力坡降（critical hydraulic gradient）

土體向上滲流時，水流對土粒產生的滲流力逐漸抵銷土粒在水中的有效重量。當滲流力恰好使有效應力降至零時所需的水力坡降，稱為臨界水力坡降 $i_c$。此時土體可能呈現沸騰或流砂狀態。

對飽和土而言：

$$i_c=\frac{\gamma'}{\gamma_w} =\frac{G_s-1}{1+e}$$

其中，$\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w$ 為土壤浮單位體積重量，$e$ 為孔隙比。水力坡降是水頭損失與滲流長度之比，因此 $i_c$ 無單位。

（四）壓密係數（coefficient of consolidation）

壓密係數 $c_v$ 描述飽和土中超額孔隙水壓消散及有效應力增加的速度，定義為：

$$c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}$$

其中，$k$ 為滲透係數，$m_v$ 為體積壓縮係數，$\gamma_w$ 為水的單位體積重量。由一維壓密理論，時間因子為：

核心觀念

變水頭試驗是以水頭隨時間變化的方式，測定細粒土壤滲透係數 $k$ 的室內試驗，適用於低滲透性土壤，例如粉土、黏土。試驗時，水自截面積為 $a$ 的直立量管流入試體，試體截面積為 $A$、長度為 $L$；量管水位下降，使試體兩端的水頭差由 $h_1$ 降至 $h_2$，並記錄所需時間 $t$。

其基本原理為達西定律：水頭差為 $h$ 時，通過試體的流量為

$$q=kA\frac{h}{L}$$

量管內水量的減少率為

$$q=-a\frac{dh}{dt}$$

負號表示水頭隨時間下降。令兩式相等，即可建立水頭變化與滲透係數的關係。

試驗目的與適用性

本試驗目的在於測定土壤的滲透係數 $k$，並藉由滲透係數評估土壤排水、滲流及水力行為。與定水頭試驗相比，變水頭試驗適合滲透係數較小、定水頭下流量不易精確量測的土壤。

試驗步驟

1. **製備試體：**量測試體長度 $L$ 與截面積 $A$，將試體裝入滲透儀並妥善密封，避免水流從試體側面旁通。
2. **飽和試體：**使試體充分飽和，排除試體及管路內的空氣，以減少量測誤差。
3. **裝設量管：**將截面積已知的直立量管接至試體進水端，量管截面積記為 $a$。
4. **建立初始水頭：**使量管水位高於出水端，待水流穩定後，記錄相對於出水端的初始水頭 $h_1$。
5. **計時量測：**開始計時，讓水流通過試體；當水頭降至 $h_2$ 時，記錄經過時間 $t$。
6. **重複量測：**重新建立初始水頭並重做量測。若各次所得滲透係數接近，取其代表值；若差異明顯，應檢查飽和、密封及讀值狀況。

解題方法與公式推導

由達西定律，某一瞬間水頭為 $h$ 時，試體流量為

$$q=kA\frac{h}{L}$$

量管水位下降時，時間 $dt$ 內水頭改變 $dh$，量管流出的流量為

$$q=-a\frac{dh}{dt}$$

兩式相等：

$$-a\frac{dh}{dt}=kA\frac{h}{L}$$

分離變數並積分。當時間由 $0$ 增至 $t$，水頭由 $h_1$ 降至 $h_2$：

核心觀念

USCS（土壤統一分類法）用土壤粒徑分布與細料的塑性特性分類。題目考查的是分類符號各字母的意義，以及判定時使用的篩分析、均勻係數、曲率係數、液性限度與塑性圖等準則。

符號通常由一個或兩個字母組成：

• 首字母指出主要土壤種類，例如礫石、砂、粉土、黏土或有機土。
• 次字母補充級配、塑性或細料特性，例如級配良好、低塑性或高塑性。

常用粒徑界線為 No. 200 篩（0.075 mm）區分粗粒土與細粒土；No. 4 篩（4.75 mm）區分礫石與砂。

解題方法與分類準則

依序掌握三件事即可：

1. 先辨認字母代表的土壤種類或性質。
2. 確認適用的試驗或分類界線。
3. 注意級配符號的判定主要用於乾淨粗粒土；有較多細料時，分類還要考慮細料塑性。

（一）C 及 M

• C：黏土（clay），表示細料呈黏土性。
• M：粉土（silt），表示細料呈粉土性。

細料塑性以液性限度 $LL$、塑性限度 $PL$ 與塑性指數 $PI$ 判斷：

$$PI=LL-PL$$

將 $LL$ 與 $PI$ 標在塑性圖上，以 A 線區分：

$$PI=0.73(LL-20)$$

位於 A 線上方或線上，通常判為黏土性（C）；位於 A 線下方，通常判為粉土性（M）。塑性圖低塑性區中，$PI$ 約為 4 至 7 的過渡範圍，可能使用雙重符號，例如 CL-ML。

（二）L 及 H

• L：低塑性（low plasticity）
• H：高塑性（high plasticity）

以液性限度 $LL=50\%$ 為界：

• $LL<50\%$：低塑性，採 L。
• $LL\ge 50\%$：高塑性，採 H。

例如，CL 表示低塑性黏土；MH 表示高塑性粉土。L、H 說明的是塑性程度，不是土壤粒徑大小。

（三）P 及 W

• P：級配不良（poorly graded）
• W：級配良好（well graded）

此組符號用於粗粒土的級配判定。粒徑分布曲線的特徵粒徑為 $D_{10}$、$D_{30}$、$D_{60}$，並計算：

$$C_u=\frac{D_{60}}{D_{10}}$$ $$C_c=\frac{D_{30}^2}{D_{10}D_{60}}$$

核心觀念

本題考查一維壓密理論中「平均壓密度 $U$」、「時間因數 $T_v$」與壓密係數 $C_v$ 的關係：

$$T_v=\frac{C_vt}{H_{dr}^{\,2}} \qquad\Longrightarrow\qquad C_v=\frac{T_vH_{dr}^{\,2}}{t}$$

其中 $H_{dr}$ 為最大排水距離。雙向排水時，排水距離為試體厚度的一半；單向排水時，排水距離等於黏土層厚度。

本題會用到的標準時間因數為：

$$T_{v,50}=0.197,\qquad T_{v,90}=0.848$$

解題方法

（一）求壓密係數 $C_v$

試體總壓密量為初始厚度減去主要壓密完成後的厚度：

$$\Delta H_{\infty}=2.0-1.8=0.2\ \mathrm{cm}$$

1 小時時的壓密量為：

$$\Delta H_{1\mathrm{hr}}=2.0-1.9=0.1\ \mathrm{cm}$$

故 1 小時時的平均壓密度為：

$$U=\frac{\Delta H_{1\mathrm{hr}}}{\Delta H_{\infty}} =\frac{0.1}{0.2}=0.5$$

也就是 $U=50\%$，因此取 $T_v=0.197$。

試體厚度為 $2\ \mathrm{cm}$，雙向排水的排水距離為：

$$H_{dr}=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{cm}=0.01\ \mathrm{m}$$

代入 $t=1\ \mathrm{hr}=3600\ \mathrm{s}$：

$$C_v=\frac{0.197(0.01)^2}{3600} =5.47\times10^{-9}\ \mathrm{m^2/s}$$

（二）現地壓密達 $50\%$ 所需時間