114 地方特考三等 水利工程類科 流體力學 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・水利工程類科
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

在穩定不可壓縮的流動條件下，假定速度向量為：

V⃗=ui⃗+vj⃗=−2yi⃗+xj⃗\vec{V}=u\vec{i}+v\vec{j}=-2y\vec{i}+x\vec{j}

試問：

（一）該流場之流線函數？（10 分）

（二）流經點 (1,1)(1,1) 與 (3,2)(3,2) 之二流線間單位深度之體積流率？（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

二維穩定不可壓縮流的流線函數 ψ\psi 定義為

u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x.u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.

此定義可自動滿足不可壓縮連續方程 ∂u/∂x+∂v/∂y=0\partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0。流線上的 ψ\psi 為定值；兩條流線間每單位深度的體積流率，等於兩流線的流線函數值差的絕對值。

（一）流線函數

題給速度分量為

u=−2y,v=x.u=-2y,\qquad v=x.

由 u=∂ψ/∂yu=\partial\psi/\partial y，對 yy 積分：

ψ=∫−2y dy=−y2+f(x),\psi=\int -2y\,dy=-y^2+f(x),

其中 f(x)f(x) 為僅與 xx 有關的函數。再利用 v=−∂ψ/∂x=xv=-\partial\psi/\partial x=x：

−dfdx=x⟹f(x)=−x22+C.-\frac{df}{dx}=x \quad\Longrightarrow\quad f(x)=-\frac{x^2}{2}+C.

因此流線函數為

ψ=−y2−x22+C.\boxed{\psi=-y^2-\frac{x^2}{2}+C}.

流線函數可加任意常數，故也可取 C=0C=0，寫成 ψ=−y2−x2/2\psi=-y^2-x^2/2。代入連續方程驗算：∂u/∂x=0\partial u/\partial x=0、∂v/∂y=0\partial v/\partial y=0，兩者相加為零。

（二）兩流線間每單位深度體積流率

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

參閱圖一之示意圖，該實心圓柱質量 2 kg2\ \mathrm{kg}，直徑 Di=73.8 mmD_i=73.8\ \mathrm{mm}，長 L=200 mmL=200\ \mathrm{mm}，套入一直徑 Do=74 mmD_o=74\ \mathrm{mm} 之垂直圓管並往下滑動。

圓柱與圓管間距為：

Do−Di2=0.1 mm\frac{D_o-D_i}{2}=0.1\ \mathrm{mm}

該間距內有一潤滑油膜，油之黏性係數為：

μ=7×10−3 N⋅s/m2\mu=7\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}

試問圓柱向下滑達到終端速度 VV 為何？（20 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

圓柱達到終端速度時，加速度為零，向下的重力與油膜對圓柱的向上黏滯剪力平衡。油膜很薄，可視為圓柱表面與管壁間的線性庫埃特流（Couette flow）：

τ=μVh\tau=\mu\frac{V}{h}

其中 hh 為油膜間隙，τ\tau 為壁面剪應力。題目未提供油液密度，以下依薄油膜常用模型，忽略浮力與端面效應。

解題方法

油膜間隙為

h=Do−Di2=74−73.82 mm=0.1 mm=1.0×10−4 mh=\frac{D_o-D_i}{2} =\frac{74-73.8}{2}\ \mathrm{mm} =0.1\ \mathrm{mm} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}

油膜作用於圓柱側面的面積為

A=πDiL=π(0.0738)(0.200)=0.04637 m2A=\pi D_iL =\pi(0.0738)(0.200) =0.04637\ \mathrm{m^2}

終端速度時，重力等於油膜黏滯阻力：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題20 分

流體流經固體介面（wall boundary），沿邊界發展形成所謂邊界層流（boundary layer flow）。若給定邊界層流之流速分布：

uU=yδ\frac{u}{U}=\frac{y}{\delta}

式中，δ\delta 為邊界層厚度（boundary layer thickness），UU 為自由流速（free stream velocity）。

試問：

（一）該邊界層流之位移厚度（displacement thickness）為何？（10 分）

（二）邊界動量厚度（momentum thickness）為何？（10 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

位移厚度 δ∗\delta^* 表示邊界層內因流速低於自由流速，所造成的流量缺額等效於將壁面向外位移的距離；動量厚度 θ\theta 則表示邊界層內的動量流率缺額等效厚度。對不可壓縮流，兩者定義為

δ∗=∫0δ(1−uU) dy\delta^*=\int_0^\delta\left(1-\frac{u}{U}\right)\,dy θ=∫0δuU(1−uU) dy\theta=\int_0^\delta\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)\,dy

題目給定線性速度分布 u/U=y/δu/U=y/\delta，且在邊界層外 u=Uu=U，因此積分範圍為 0≤y≤δ0\le y\le\delta。

解題方法

（一）位移厚度

將 u/U=y/δu/U=y/\delta 代入定義：

δ∗=∫0δ(1−yδ) dy=[y−y22δ]0δ=δ−δ2=δ2\begin{aligned} \delta^* &=\int_0^\delta\left(1-\frac{y}{\delta}\right)\,dy\\ &=\left[y-\frac{y^2}{2\delta}\right]_0^\delta\\ &=\delta-\frac{\delta}{2} =\frac{\delta}{2} \end{aligned}

（二）動量厚度

代入動量厚度定義：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

在水利工程或灌溉工程，經常需要簡便之流量量測設施。閘門則是在明渠中一種簡便之流量量測設施，應用柏努力方程式與連續方程式推導，僅需量測渠道上下游高度 z1z_1 與 z2z_2 以及閘門寬度 bb，即可使該簡便設施達到準確之流量量測。

參閱圖二，請推導閘門流量公式：

Q=A2V2=bz22g(z1−z2)1−(z2z1)2Q=A_2V_2=bz_2\sqrt{\frac{2g(z_1-z_2)}{1-\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2}}

（25 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查明渠閘門流量的理想推導，使用連續方程式與伯努力方程式。圖中上游水深為 z1z_1、下游水深為 z2z_2，渠道寬度為 bb；兩斷面的流通面積分別為

A1=bz1,A2=bz2.A_1=bz_1,\qquad A_2=bz_2.

解題方法

假設水流為定常、不可壓縮流，渠道寬度固定，兩斷面水面均受大氣壓，且忽略能量損失與速度分布影響。以渠道底部為共同基準面，分別用 V1V_1、V2V_2 表示上、下游平均流速。

1. 寫出連續方程式

Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2

代入斷面積：

bz1V1=bz2V2⟹V1=z2z1V2.bz_1V_1=bz_2V_2 \quad\Longrightarrow\quad V_1=\frac{z_2}{z_1}V_2.

2. 在上下游自由液面間套用伯努力方程式

兩處壓力皆為大氣壓，壓力水頭相消；以渠道底部為基準，位置水頭分別為 z1z_1、z2z_2：

z1+V122g=z2+V222g.z_1+\frac{V_1^2}{2g} = z_2+\frac{V_2^2}{2g}.

整理得

V22−V12=2g(z1−z2).V_2^2-V_1^2=2g(z_1-z_2).
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五 題15 分

在均勻流狀況下，梯形渠道如圖三，渠道輸水坡度為 305 m305\ \mathrm{m} 高程下降 0.4 m0.4\ \mathrm{m}，渠道表面為加工混凝土（finished concrete），曼寧係數（Manning coefficient）n=0.012n=0.012。試問該渠道水流之福祿數（Froude number）為何？（15 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

均勻流時，渠道底床坡度可作為曼寧公式中的能量坡度，故 S=0.4/305S=0.4/305。先由渠道幾何求出通水面積 AA、濕周 PP 與水力半徑 R=A/PR=A/P，再以曼寧公式求平均流速 VV。福祿數為

Fr=VgD,D=ATFr=\frac{V}{\sqrt{gD}},\qquad D=\frac{A}{T}

其中 DD 為水力深度，TT 為水面寬。

解題方法

圖三的梯形渠道底寬 b=4 mb=4\ \mathrm{m}、水深 y=1.5 my=1.5\ \mathrm{m}；邊坡與水平線夾角為 40∘40^\circ。每側水平投影為 ycot⁡40∘y\cot40^\circ，每側斜邊長為 y/sin⁡40∘y/\sin40^\circ。

通水面積、水面寬與濕周分別為

A=by+y2cot⁡40∘=4(1.5)+(1.5)2cot⁡40∘=8.681 m2A=by+y^2\cot40^\circ =4(1.5)+(1.5)^2\cot40^\circ =8.681\ \mathrm{m^2} T=b+2ycot⁡40∘=4+2(1.5)cot⁡40∘=7.575 mT=b+2y\cot40^\circ =4+2(1.5)\cot40^\circ =7.575\ \mathrm{m}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

水利工程類科《流體力學》其他年度

112