114 地方特考三等 水利工程類科 水文學 考古題詳解

114 年・地方特考・三等・水利工程類科
試題代碼 水文學

第 一 題25 分

某水庫集水區面積 200 km2200\ \mathrm{km^2}，有效蓄洪容量為 7575 百萬立方公尺。若水位 hh（m）－蓄洪量 SS（百萬立方公尺）關係為：

S=5h+0.25h2S=5h+0.25h^2

其中，hh 為水位超過初始水位的高度（m）。

此次颱風事件的入流歷線如下表：

時間（hr）02468101214161820
入流量（cms）50300550120020003200100060020010080

水位－出流量關係為：

Qo(h)=40hQ_o(h)=40\sqrt{h}

其中，QoQ_o 的單位為 cms；hh 為洪水位超過初始水位之高度，即可假設初始水位 h=0h=0。

試求：

(一) 以洪水演算列出 II、OO、SS 關係表。（10 分）

(二) 洪峰削減量為多少 cms？最大洪水位（超過初始水位）為多少公尺？（15 分）

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核心觀念

本題考水庫洪水演算與洪峰削減。採用 Modified Puls（修正普爾斯）演算法，將水庫的水量連續方程式以每 2 小時為一個演算時段，並利用水位與蓄水量、出流量的關係求出各時刻的水位、蓄水量及出流量。

解題方法

已知 SS 以百萬立方公尺計，OO 以 m3/s\mathrm{m^3/s} 計。時間間隔為 Δt=2 hr=7200 s\Delta t=2\ \mathrm{hr}=7200\ \mathrm{s}，因此：

2SΔt=2S×1067200=277.778S(m3/s)\frac{2S}{\Delta t} =\frac{2S\times10^6}{7200} =277.778S\quad(\mathrm{m^3/s})

定義蓄水指標函數：

F(h)=2SΔt+O=277.778S(h)+O(h)F(h)=\frac{2S}{\Delta t}+O =277.778S(h)+O(h)

由題目所給關係式：

S(h)=5h+0.25h2,O(h)=40hS(h)=5h+0.25h^2,\qquad O(h)=40\sqrt h

故：

F(h)=277.778(5h+0.25h2)+40hF(h)=277.778(5h+0.25h^2)+40\sqrt h

採用梯形入流近似，逐時段演算：

F(hj+1)=Ij+Ij+1+2SjΔt−OjF(h_{j+1}) =I_j+I_{j+1}+\frac{2S_j}{\Delta t}-O_j

每一時段先由已知的 Sj、OjS_j、O_j 算出右側，再反解 F(hj+1)F(h_{j+1}) 求得新水位，最後計算該時刻的 SS 與 OO。

H、S、OH、S、O 關係表

下表另列出 F=2S/Δt+OF=2S/\Delta t+O，供洪水演算查表使用。SS 單位為百萬立方公尺；O、FO、F 單位為 m3/s\mathrm{m^3/s}。

HH（m）SS（百萬立方公尺）OO（cms）F=277.778S+OF=277.778S+O（cms）
00.000.000.00
15.2540.001,498.33
211.0056.573,112.13
317.2569.284,860.95
424.0080.006,746.67
531.2589.448,770.00
639.0097.9810,931.31
747.25105.8313,230.83
856.00113.1415,668.70
965.25120.0018,245.00
1075.00126.4920,959.82

洪水演算結果

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第 二 題25 分

已知某水庫集水區假設符合極端值分布（Extreme Value Type I），已知重現期 50 年之洪峰流量為 5800 cms、重現期 10 年之洪峰流量為 3200 cms。

在颱洪時期，水庫閘門開啟順序為：先啟動排洪隧道；洪水流量超過排洪隧道設計流量時，關閉排洪隧道並啟動溢洪道；若洪水流量超過溢洪道設計流量時，則再開啟排洪隧道。

試求：

(一) 該集水區洪峰流量平均值與標準差。（15 分）

(二) 水庫在未來 20 年內啟動溢洪道之機率小於 20%，則此排洪隧道之設計流量為何？（10 分）

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核心觀念

本題考極端值第一型分布（Extreme Value Type I，又稱 Gumbel 分布）的頻率分析，以及將單次年超越機率換算為多年期風險。

令年洪峰流量為 QTQ_T，重現期為 TT 年，則年超越機率為 1/T1/T。Gumbel 分布的頻率因子式為

QT=Qˉ+KTsQ_T=\bar Q+K_T s

其中 Qˉ\bar Q 為年洪峰流量平均值，ss 為標準差，KTK_T 為重現期 TT 對應的頻率因子：

KT=yT−yˉnSn,yT=−ln⁡ ⁣[−ln⁡ ⁣(1−1T)]K_T=\frac{y_T-\bar y_n}{S_n},\qquad y_T=-\ln\!\left[-\ln\!\left(1-\frac1T\right)\right]

對母體 Gumbel 分布，則可用下式直接求平均值與標準差：

QT=μ+βyT,Qˉ=μ+γβ,s=π6βQ_T=\mu+\beta y_T,\qquad \bar Q=\mu+\gamma\beta,\qquad s=\frac{\pi}{\sqrt6}\beta

其中 γ≈0.5772\gamma\approx0.5772 為 Euler 常數，μ\mu、β\beta 分別為位置參數與尺度參數。本題已給兩個重現期流量，先由兩點求 β\beta 與 μ\mu，再換算 Qˉ\bar Q、ss。

解題方法

（一）求平均值與標準差

對 T=50T=50 年及 T=10T=10 年，分別計算 Gumbel 約化變量：

y50=−ln⁡[−ln⁡(0.98)]≈3.9019y_{50}=-\ln[-\ln(0.98)]\approx3.9019 y10=−ln⁡[−ln⁡(0.90)]≈2.2504y_{10}=-\ln[-\ln(0.90)]\approx2.2504

由 QT=μ+βyTQ_T=\mu+\beta y_T，已知：

5800=μ+3.9019β5800=\mu+3.9019\beta 3200=μ+2.2504β3200=\mu+2.2504\beta

兩式相減：

β=5800−32003.9019−2.2504≈1574.9 cms\beta=\frac{5800-3200}{3.9019-2.2504} \approx1574.9\ \text{cms}

代回任一式求位置參數：

μ=3200−2.2504(1574.9)≈−346.0 cms\mu=3200-2.2504(1574.9) \approx-346.0\ \text{cms}

因此平均值為

Qˉ=μ+γβ≈−346.0+0.5772(1574.9)≈563.1 cms\bar Q=\mu+\gamma\beta \approx-346.0+0.5772(1574.9) \approx563.1\ \text{cms}

標準差為

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第 三 題25 分

某水庫集水區面積為 700 km2700\ \mathrm{km^2}，平均年降雨量為 2560 mm2560\ \mathrm{mm}，平均年逕流量為 1900 mm1900\ \mathrm{mm}。試求：

(一) 該集水區的平均年蒸發散量（mm）與蒸發散率。（5 分）

(二) 假設未來氣候變遷導致年降雨量減少 15%15\%，但蒸發散量維持不變，年逕流量變為多少 mm？減少百分比為何？（10 分）

(三) 若豐枯比為 6:46:4（即豐水期 6 個月逕流量與枯水期 6 個月的比值），要維持年供水量 1.0×109 m31.0\times10^9\ \mathrm{m^3}，在氣候變遷情境下，規劃水庫於豐水期蓄水供應枯水期所需用水量，則水庫需要的有效容量為何？（豐水期無需調節，枯水期需依賴水庫供水）。（10 分）

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核心觀念

本題考查水量平衡、蒸發散率、降雨量變化對逕流量的影響，以及豐枯季節逕流調節所需的水庫有效容量。

年水量平衡可寫成 P=R+ETP=R+ET，其中 PP 為年降雨量、RR 為年逕流量、ETET 為年蒸發散量；此處假設長期平均下集水區蓄水量變化可忽略。蒸發散率定義為蒸發散量占降雨量的比例，即 ET/PET/P。

解題方法

（一）平均年蒸發散量與蒸發散率

由水量平衡：

ET=P−R=2560−1900=660 mmET=P-R=2560-1900=660\ \mathrm{mm}

蒸發散率為：

ETP×100%=6602560×100%=25.78%\frac{ET}{P}\times100\% =\frac{660}{2560}\times100\% =25.78\%

（二）氣候變遷情境下的年逕流量

年降雨量減少 15%15\%，且蒸發散量維持 660 mm660\ \mathrm{mm}，因此新降雨量為：

P′=2560(1−0.15)=2176 mmP'=2560(1-0.15)=2176\ \mathrm{mm}

依水量平衡，新年逕流量為：

R′=P′−ET=2176−660=1516 mmR'=P'-ET=2176-660=1516\ \mathrm{mm}

逕流量減少量為 1900−1516=384 mm1900-1516=384\ \mathrm{mm}，減少百分比以原年逕流量為基準：

1900−15161900×100%=3841900×100%=20.21%\frac{1900-1516}{1900}\times100\% =\frac{384}{1900}\times100\% =20.21\%

（三）維持年供水量所需的有效容量

豐水期 6 個月逕流量與枯水期 6 個月逕流量之比為 6:46:4，故全年逕流量中豐水期占 60%60\%、枯水期占 40%40\%。題目指定豐水期無需調節、枯水期用水須由水庫供應，因此有效容量等於枯水期所需供水量。

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第 四 題25 分

某集水區面積 AA 為 300 km2300\ \mathrm{km^2}，其瞬時單位歷線（Instantaneous Unit Hydrograph, IUH）為二參數 Nash 模式：

u(t)=1K(n−1)!(tK)n−1e−t/Ku(t)=\frac{1}{K(n-1)!}\left(\frac{t}{K}\right)^{n-1}e^{-t/K}

其中，tt 的單位為 hr（小時）、KK 的單位為 hr（小時）、u(t)u(t) 的單位為 1/hr1/\mathrm{hr}。

已知本集水區參數 n=4n=4、K=1.2 hrK=1.2\ \mathrm{hr}。若某延時 3 小時之暴雨事件有效雨量分別為 15 mm15\ \mathrm{mm}、30 mm30\ \mathrm{mm}、20 mm20\ \mathrm{mm}。試求：

(一) t=1,2,3,4,5 hrt=1,2,3,4,5\ \mathrm{hr} 時之 u(t)u(t)（至少保留 3 位有效數字）。（10 分）

(二) 假設基流量忽略不計，求 t=1t=1 至 t=8 hrt=8\ \mathrm{hr} 之直接逕流量歷線 Q(t)Q(t)（m3/s\mathrm{m^3/s}）。（15 分）

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核心觀念

本題考查 Nash 二參數瞬時單位歷線（IUH）及有效雨量歷線與逕流歷線的卷積。

IUH u(t)u(t) 表示單位有效雨量瞬間輸入後的流量反應，其單位為 hr−1\mathrm{hr^{-1}}。對長度為 Δt\Delta t 的有效雨量區間，若區間雨量為 PiP_i，對應的逕流歷線可由「區間雨量乘上 IUH 的時間積分」求得；多個雨量區間的反應再依線性疊加原理相加。

題目未另給計算時間間隔，以下將三筆有效雨量視為依序落在三個連續的 33 小時區間，即 00–33、33–66、66–99 小時；1515、3030、20 mm20\ \mathrm{mm} 為各區間雨量深。

解題方法

（一）計算 IUH

已知 n=4n=4、K=1.2 hrK=1.2\ \mathrm{hr}，且 (n−1)!=3!=6(n-1)!=3!=6。代入 Nash 模式：

u(t)=11.2(6)(t1.2)3e−t/1.2=17.2(t1.2)3e−t/1.2u(t)=\frac{1}{1.2(6)} \left(\frac{t}{1.2}\right)^3 e^{-t/1.2} =\frac{1}{7.2}\left(\frac{t}{1.2}\right)^3 e^{-t/1.2}

逐一代入各時刻：

tt（hr）u(t)u(t)（hr−1\mathrm{hr^{-1}}）
10.0241
20.0801
30.112
40.112
50.0946

（二）求直接逕流量歷線

有效雨量總深為 15+30+20=65 mm15+30+20=65\ \mathrm{mm}。將每筆雨量換算為集水區的體積，再與 IUH 卷積，最後除以時間單位換算為秒。

集水區面積換算為 A=300×106 m2A=300\times10^6\ \mathrm{m^2}。每 1 mm1\ \mathrm{mm} 有效雨量所形成的逕流體積為

V1mm=A(0.001 m)=300,000 m3V_{1\mathrm{mm}} =A(0.001\ \mathrm{m}) =300{,}000\ \mathrm{m^3}

因此，三個區間雨量對應的逕流體積分別為 4.5×1064.5\times10^6、9.0×1069.0\times10^6、6.0×106 m36.0\times10^6\ \mathrm{m^3}。

因 IUH 以小時為時間單位，連續 33 小時區間的流量反應使用 IUH 累積量。令 F(t)=∫0tu(s) dsF(t)=\int_0^t u(s)\,ds，對本題 n=4n=4 的 Nash IUH：

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