114 地方特考三等 水利工程類科 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查矩形渠道漸擴段的能量方程與比能圖。渠道底床水平，故兩測點的底床高程相同；過渡段的能量損失等於入口與出口總水頭之差：

$$h_L=E_1-E_2$$

矩形渠道的比能為

$$E=y+\alpha\frac{V^2}{2g} =y+\alpha\frac{Q^2}{2gA^2}$$

其中 $A=by$、$V=Q/A$。題目已指定入口與出口的動能修正係數分別為 $\alpha_1=1.05$、$\alpha_2=1.15$，應分別代入兩段的比能計算。

解題方法

入口較窄段及出口較寬段的斷面積、平均流速如下：

$$A_1=b_1y_1=(2.0)(1.20)=2.40\ \mathrm{m^2}$$ $$V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{7.20}{2.40}=3.00\ \mathrm{m/s}$$ $$A_2=b_2y_2=(3.0)(1.40)=4.20\ \mathrm{m^2}$$ $$V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{7.20}{4.20}=1.7143\ \mathrm{m/s}$$

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，入口比能為

$$E_1 =y_1+\alpha_1\frac{V_1^2}{2g} =1.20+1.05\frac{(3.00)^2}{2(9.81)} =1.6812\ \mathrm{m}$$

出口比能為

$$E_2 =y_2+\alpha_2\frac{V_2^2}{2g} =1.40+1.15\frac{(1.7143)^2}{2(9.81)} =1.5722\ \mathrm{m}$$

因此，過渡段造成的能量損失為

$$h_L=E_1-E_2=1.6812-1.5722 =0.1090\ \mathrm{m}$$

出口水深較大，但渠道加寬使流速水頭顯著降低；扣除動能修正係數的影響後，出口比能仍小於入口比能，其差值即為損失水頭。

比能圖

下圖分別以入口寬度 $b_1=2.0\ \mathrm{m}$、出口寬度 $b_2=3.0\ \mathrm{m}$ 繪製矩形渠道比能曲線。曲線上的實心水深點為題目給定的狀態；虛線表示兩狀態的比能差 $h_L$。由於兩段寬度與 $\alpha$ 不同，兩條比能曲線各自對應其斷面條件。

<svg xmlns=" width="620" height="390" viewBox="0 0 620 390" role="img" aria-label="入口與出口比能圖，標出能量損失"> <rect width="620" height="390" fill="white"/> <text x="245" y="24" font-size="17" font-family="sans-serif" fill="#222">比能圖（示意，縱軸為 E，橫軸為 y）</text> <line x1="76" y1="326" x2="565" y2="326" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <line x1="76" y1="326" x2="76" y2="48" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="570" y="332" font-size="14" font-family="sans-serif">y (m)</text> <text x="38" y="52" font-size="14" font-family="sans-serif">E (m)</text> <line x1="76" y1="250" x2="565" y2="250" stroke="#ddd"/> <line x1="76" y1="174" x2="565" y2="174" stroke="#ddd"/> <line x1="76" y1="98" x2="565" y2="98" stroke="#ddd"/> <text x="38" y="254" font-size="12" font-family="sans-serif">1.5</text>

核心觀念

本題考查三角形渠道的斷面幾何、水力深度、弗勞德數，以及比能。

斷面平均流速為 $V$、水深為 $y$ 時，水力深度定義為

$$D=\frac{A}{T}$$

其中 $A$ 為過水斷面積，$T$ 為水面寬。弗勞德數為

$$Fr=\frac{V}{\sqrt{gD}}$$

其中 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。$Fr<1$ 為亞臨界流，$Fr>1$ 為超臨界流，$Fr=1$ 為臨界流。

比能是相對於渠底的總水頭，忽略速度分布修正時：

$$E=y+\frac{V^2}{2g}$$

解題方法

頂角為 $60^\circ$ 的對稱三角形渠道，半角為 $30^\circ$。水深 $y=1.25\ \mathrm{m}$ 時，水面寬為

$$T=2y\tan 30^\circ =2(1.25)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =1.443\ \mathrm{m}$$

斷面積為三角形面積：

$$A=\frac{1}{2}Ty =\frac{1}{2}(1.443)(1.25) =0.9021\ \mathrm{m^2}$$

因此水力深度為

$$D=\frac{A}{T} =\frac{y}{2} =0.625\ \mathrm{m}$$

代入弗勞德數：

$$Fr=\frac{2.0}{\sqrt{9.81(0.625)}} =\frac{2.0}{2.476} \approx 0.808$$

因為 $Fr<1$，所以此流況為亞臨界流。

臨界流

核心觀念

本題考查矩形明渠的福祿數與正常水深、曼寧公式及渠道坡度的關係。

單寬流量 $q=Q/B$，矩形渠道的水力深度等於水深 $y$，所以福祿數為

$$Fr=\frac{V}{\sqrt{gy}} =\frac{q/y}{\sqrt{gy}} =\frac{q}{\sqrt{g y^3}}$$

求出水深後，再用曼寧公式計算正常流速，並由曼寧公式求出與該水深、流量相符的渠道坡度。寬廣矩形渠道可近似視為水力半徑 $R\approx y$。

解題方法

由福祿數定義解出水深：

$$Fr^2=\frac{q^2}{g y^3} \quad\Longrightarrow\quad y=\left(\frac{q^2}{gFr^2}\right)^{1/3}$$

代入 $q=2.0\ \mathrm{m^2/s}$、$Fr=0.4$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

$$y=\left(\frac{(2.0)^2}{9.81(0.4)^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{4}{1.5696}\right)^{1/3} \approx 1.366\ \mathrm{m}$$

因此正常水深為約 $1.37\ \mathrm{m}$。

接著由單寬流量求平均流速：

$$V=\frac{q}{y} =\frac{2.0}{1.366} \approx 1.464\ \mathrm{m/s}$$

寬廣矩形渠道的水力半徑近似為

核心觀念

水躍前後的水深是共軛水深（持續水深），在水平、等寬矩形渠道中，依動量方程可得水躍前後比力相等。題目給定上游福祿數與水躍能量損失，可先用水躍的能量損失式求兩水深，再由矩形渠道比力式求比力。

採矩形渠道模型，令上游為超臨界流、下游為亞臨界流：

• 福祿數：$Fr_1=V_1/\sqrt{g y_1}$。
• 單位寬流量：$q=V_1y_1$。
• 單位寬比力：$M=y^2/2+q^2/(gy)$。
• 水躍能量損失：$\Delta E=(y_2-y_1)^3/(4y_1y_2)$。

題目沒有明示渠道斷面，以下依水躍標準公式採水平、等寬矩形渠道假設；所求比力為單位寬比力。

解題方法

令水深比$r=y_2/y_1$。矩形渠道水躍能量損失式可改寫為

$$\Delta E =\frac{[y_1(r-1)]^3}{4y_1(ry_1)} =\frac{y_1(r-1)^3}{4r}.$$

上游福祿數與水深比的關係，由水躍前後比力相等可得

$$\frac{y_2}{y_1} =\frac{\sqrt{1+8Fr_1^2}-1}{2}.$$

代入 $Fr_1=8.5$：

$$r =\frac{\sqrt{1+8(8.5)^2}-1}{2} =\frac{\sqrt{579}-1}{2} \approx 11.531.$$

再由能量損失 $\Delta E=5.0\ \mathrm{m}$ 求上游水深：

$$y_1 =\frac{4r\Delta E}{(r-1)^3} =\frac{4(11.531)(5.0)}{(11.531-1)^3} \approx 1.978\ \mathrm{m}.$$

下游水深為