107 地方特考三等 公職建築師 建築結構系統 考古題詳解

核心觀念

本題為經典的單一度超靜定（1度靜不定）結構分析題，涉及梁構件與桁架／索構件之複合受力系統。解題的核心觀念與相關力學公式如下：

1. 靜不定結構之諧和變形法（力法 / 變形協合條件）：

• 梁 $ABD$ 受向下集中力 $P$ 作用而向下撓曲，同時帶動拉索 $BC$ 伸長；拉索產生之拉力 $T$ 則向上反作用於梁之中點 $B$。
• 於接合點 $B$ 處，簡支梁中點的垂直向下撓度 $\Delta_B$ 必須完全等於拉索 $BC$ 沿軸向的伸長量 $\delta_{BC}$，此即系統的位移協合條件（Compatibility Condition）。

2. Euler-Bernoulli 梁小變形理論之撓度公式：

• 跨度為 $L$、撓曲剛度為 $EI$ 的簡支梁，於跨中受向下集中載重 $F$ 作用時，中點向下撓度為： $\Delta = \frac{F L^3}{48 EI}$

3. 軸向受拉構件之虎克定律變形公式：

• 長度為 $H$、軸向剛度為 $EA_c$ 之均勻斷面拉索，承受拉力 $T$ 時之軸向伸長量為： $\delta = \frac{T H}{EA_c}$
• 題目已知拉索長度 $H = \frac{L}{3}$，故伸長量為 $\delta = \frac{TL}{3EA_c}$。

4. 並聯勁度系統（Stiffness Parallelism）：

• 梁中點之抗撓勁度 $k_b$ 與拉索之抗拉勁度 $k_c$ 在 $B$ 點形成並聯，外力 $P$ 依各構件勁度比例分配給梁與拉索。

解題方法

（一）計算拉索 $BC$ 之內力

1. 定義多餘力（Redundant Force）與節點受力平衡：

• 取拉索 $BC$ 之內力 $T$ 為多餘力，設 $T$ 為拉力（Tension, $T \ge 0$）。
• 對接合點 $B$ 作分離體平衡分析：
• 外載重 $P$ 通過梁斷面形心垂直向下。
• 拉索 $BC$ 施予梁中點 $B$ 一個垂直向上的拉力 $T$。
• 簡支梁 $ABD$ 跨中實際承受之淨向下集中力為 $P_{beam} = P - T$。

2. 計算簡支梁中點 $B$ 之向下撓度 $\Delta_B$：

• 依 Euler-Bernoulli 梁小變形理論，簡支梁在跨中承受合力 $(P - T)$ 作用下，其跨中垂直向下撓度為： $\Delta_B = \frac{(P - T)L^3}{48 EI}$

3. 計算拉索 $BC$ 之軸向伸長量 $\delta_{BC}$：

• 拉索長度 $H = \frac{L}{3}$，斷面軸向剛度為 $EA_c$，在軸向拉力 $T$ 作用下之伸長量為： $\delta_{BC} = \frac{T \cdot H}{EA_c} = \frac{T \cdot (L/3)}{EA_c} = \frac{TL}{3EA_c}$

4. 建立變形協合條件並求解 $T$：

• 拉索頂端 $C$ 為固定點，底端與梁中點 $B$ 相連，故梁中點之向下撓度等於拉索之伸長量： $\Delta_B = \delta_{BC}$ $\frac{(P - T)L^3}{48 EI} = \frac{TL}{3EA_c}$
• 兩邊同除以 $L$（$L \ne 0$）： $\frac{(P - T)L^2}{48 EI} = \frac{T}{3EA_c}$
• 展開並將含未知數 $T$ 之項移至同一側： $\frac{P L^2}{48 EI} = T \left( \frac{L^2}{48 EI} + \frac{1}{3EA_c} \right)$
• 將括號內通分（公分母取 $48 E I A_c$）： $\frac{P L^2}{48 EI} = T \left( \frac{A_c L^2 + 16 I}{48 E I A_c} \right)$
• 兩邊同乘以 $48 EI$： $P L^2 = T \cdot \frac{A_c L^2 + 16 I}{A_c}$
• 解得拉索內力 $T$ 為： $T = \frac{P A_c L^2}{A_c L^2 + 16 I} = \frac{P}{1 + \frac{16 I}{A_c L^2}} \quad \text{（拉力）}$

（二）計算 $B$ 點之位移

1. 計算位移量 $\Delta_B$：

• $B$ 點之垂直向下位移即等於拉索之伸長量 $\delta_{BC}$，將上述求得之 $T$ 代入拉索伸長量公式：

核心觀念

法規依據說明：本題以**命題當年（民國 107 年）適用之《建築物耐震設計規範及解說》**為準。 （註：現行《建築物耐震設計規範及解說》已於民國 111 年修正發布，包含調整部分震區參數與耐震圖譜，但等效靜力法之公式架構、物理本質與各項參數之考量要素完全一致。）

本題評量考生對台灣耐震設計規範「等效靜力分析法（Equivalent Static Lateral Force Procedure）」之基本架構、物理意義與工程參數決策之熟悉度。核心觀念包含：

1. 彈性地震力至容許應力設計之轉換哲學：結構在強震下仰賴塑性變形消散能量，耐震設計並非要求結構全程保持彈性，而是透過「結構韌性容量」折減彈性地震力，並藉由「起始降伏超額強度」折算回彈性分析之設計側力。
2. 基底剪力公式推導邏輯：

• 彈性反應基底剪力：$V_e = I \cdot S_{AD} \cdot W$
• 極限強度需求基底剪力：$V_u = \frac{I}{F_u} S_{AD} W$（經非線性修正後為 $\left(\frac{S_{AD}}{F_u}\right)_m$）
• 彈性分析之設計基底剪力：$V = \frac{V_u}{1.4 \alpha_y} = \frac{I}{1.4 \alpha_y} \left( \frac{S_{AD}}{F_u} \right)_m W$

解題方法

一、設計地震力（設計基底剪力 $V$）之列式與計算要領

依據規範第 2.2 節，利用等效靜力法計算建築物之設計基底剪力 $V$，其列式如下：

$V = \frac{I}{1.4 \alpha_y} \left( \frac{S_{AD}}{F_u} \right)_m W$

計算要領與關鍵步驟：

1. 全部靜載重 $W$ 之計算：

• 包含建築物之全部自重（各層梁、柱、版、牆之重量）與固定外加靜載重。
• 特殊活載重計入：倉儲或倉庫載重至少計入 $25\%$；隔間牆載重以每平方公尺不小於 $100\text{ kgf}$ 計入；雪載重超過規範標準時須依比例計入。

2. 基本振動週期 $T$ 之決定與上限限制：

• 週期可由結構動力分析（如特徵值分析）或規範經驗公式 $T_a$ 求得。
• 檢核上限：為防止結構分析時低估側向勁度而求得過長週期、進而低估地震力，設計採用之基本週期 $T$ 不得大於經驗週期 $T_a$ 之 $1.4$ 倍。

3. 加速度比值修正式 $\left(\frac{S_{AD}}{F_u}\right)_m$ 之轉換：

• 考量短週期結構非彈性位移放大、高階振態效應及 P-$\Delta$ 效應，規範將譜加速度比值 $\frac{S_{AD}}{F_u}$ 予以修正：

4. 極限狀態降至工作應力之安全折減（$1.4 \alpha_y$）：

• 規範分析屬於彈性線性分析。係數 $1.4$ 為地震力載重係數（極限強度轉換至工作應力），$\alpha_y$ 則將結構整體形成塑性機構之極限側力回推至「第一構件起始降伏」之側力。

5. 基底剪力之下限檢核：

• 計算所得之 $V$ 不得小於規範規定之最小基底剪力門檻，以保障長週期大樓具有最低限度之抗震剛性與安全性。

6. 地震力之垂直樓層分配：

• 求得基底剪力 $V$ 後，沿建築物高度分配為各樓層橫力 $F_x$： $V = F_t + \sum_{i=1}^n F_i$ 若基本週期 $T > 0.7\text{ sec}$，頂層需外加集中橫力 $F_t = 0.07 T V \le 0.25 V$（考慮鞭打效應與高階振態），其餘剪力 $(V - F_t)$ 則依各樓層重量與高度之乘積比例分配： $F_x = (V - F_t) \frac{w_x h_x}{\sum_{i=1}^n w_i h_i}$

二、參數考量要素詳析

1. 工址設計水平加速度反應係數 $S_{AD}$

$S_{AD}$ 代表回歸期 475 年（50 年超越機率 10%）設計地震下，特定振動週期 $T$ 之工址單自由度彈性加速度反應譜值，考量要素如下：

• 震區地震危害度（地震分區）： 依工址行政區劃分，查閱規範圖表決定短週期震區水平加速度反應係數 $S_S^D$ 與一秒週期震區水平加速度反應係數 $S_1^D$。
• 工址地盤類別與土層放大效應： 地盤依據地表下 30 公尺之平均剪力波速（$V_{s30}$）、標準貫入試驗 N 值（$N_{30}$）或不排水剪力強度（$S_{u30}$）分為第一類（堅硬地盤）、第二類（中等軟弱地盤）、第三類（軟弱地盤）。 分別透過短週期地盤放大係數 $F_a$ 及一秒週期地盤放大係數 $F_v$，計算工址參數： $S_{DS} = F_a S_S^D, \quad S_{D1} = F_v S_1^D$
• 特定地質效應（近斷層效應與盆地效應）：
• 近斷層區域：位於活動斷層特定距離內之工址，須計入近斷層近場放大係數 $N_A$ 及 $N_V$。
• 台北盆地：由於深厚沉積層之盆地共振與陷波效應，須採台北盆地專屬之微震區譜形參數。
• 結構物基本振動週期 $T$ 之譜形分布： 以控制轉角週期 $T_0^D = \frac{S_{D1}}{S_{DS}}$ 建立三段式反應譜曲線：

2. 結構系統地震力折減係數 $F_u$

$F_u$ 代表結構物在強震下進入非彈性大變形階段，藉由塑性鉸之非線性遲滯消能機制，使結構強度需求得以

核心觀念

本題旨在測驗鋼筋混凝土（RC）受彎構件在複合應力下的力學開裂機制與對應的配筋構造原則。解題涉及的核心觀念、力學定義與法規依據如下：

1. 梁內力與應力狀態：

• 簡支梁受二對稱集中力作用，內力分為「純彎曲區」（剪力 $V = 0$、正彎矩 $M = M_{\max}$ 恆定）與「剪跨區」（剪力 $V \neq 0$、彎矩 $M$ 線性變化）。
• 截面正應力 $\sigma = \frac{My}{I}$，剪應力 $\tau = \frac{VQ}{Ib}$。

2. 混凝土開裂機制（破裂模數與主應力）：

• 混凝土抗拉強度極低，其破裂模數依命題當年（民國 107 年）適用之內政部《混凝土結構設計規範》（民國 100 年版）定義為 $f_r = 0.62\sqrt{f'_c}\text{ MPa}$（約 $2.0\sqrt{f'_c}\text{ kgf/cm}^2$）。
• 主拉應力方向依莫爾圓（Mohr's circle）決定： $\tan 2\theta_p = \frac{2\tau}{\sigma}$
• 當主拉應力 $\sigma_1 \ge f_r$ 時，混凝土即開裂；裂縫開展方向恆與主拉應力方向垂直（即順著主壓應力軌跡線發展）。

3. 配筋設計原則：

• 強剪弱彎原則：確保彎曲延性破壞先於脆性剪力破壞。
• 桁架模型與拉力位移效應（Tension Shift）：剪跨段斜裂縫開展後，受拉底筋之拉力會向支承端外移，縱向鋼筋需提供足夠錨定。

解題方法

本題之解答切入點為：先由結構力學求解梁之剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD），再依各區段之複合應力狀態（$\sigma$ 與 $\tau$）推導主拉應力方向以判定開裂型態，最後依據內力需求與開裂控制提出對應的配筋要領。

步驟一：梁內力分析（SFD 與 BMD）

本題圖示為一跨度 $L$ 之簡支矩形鋼筋混凝土梁，兩端為支承 A 與 B，梁頂受二對稱垂直集中載重 $P$ 作用，載重作用點距兩側支承距離為 $a$（剪跨），中央跨間長度為 $b = L - 2a$。

1. 支承反力：由對稱性可知，支承垂直反力為： $R_A = R_B = P$
2. 剪力分佈（SFD）：

• 左剪跨段（$0 \le x < a$）：$V(x) = +P$（剪力為定值）。
• 中央跨段（$a < x < L - a$）：$V(x) = 0$（無剪力，屬純彎曲區）。
• 右剪跨段（$L - a < x \le L$）：$V(x) = -P$（剪力為定值）。

3. 彎矩分佈（BMD）：

• 左剪跨段（$0 \le x \le a$）：彎矩線性增加，$M(x) = P \cdot x$，於載重作用點達最大正彎矩 $M_{\max} = P \cdot a$。
• 中央跨段（$a \le x \le L - a$）：彎矩維持定值（無剪力），$M(x) = M_{\max} = P \cdot a$。
• 右剪跨段（$L - a \le x \le L$）：彎矩由 $P \cdot a$ 線性遞減至支承處之 $0$。

步驟二：依內力說明各區段開裂狀況

1. 中央純彎曲區（兩集中力之間）——純彎曲裂縫（Flexural Cracks）：

• 內力與應力狀態：該區段 $V = 0$，$M = M_{\max}$。斷面上無橫向剪應力（$\tau = 0$），僅存在彎曲正應力 $\sigma$。中性軸下方為純拉應力，方向平行於梁縱軸（水平方向）。
• 開裂特徵：因主拉應力方向為水平向（$\theta_p = 0^\circ$），當梁底拉應力達到 $f_r$ 時，產生垂直於梁底之垂直裂縫。
• 裂縫發展：裂縫由梁底垂直向上延伸，越接近中性軸拉應力越小，裂縫逐漸閉合並止於中性軸受壓區邊界附近。

2. 兩側剪跨區（支承至集中力間）——彎剪斜裂縫（Flexure-Shear Cracks）：

• 內力與應力狀態：該區段同時存在剪力 $V = P$ 與彎矩 $M(x)$。梁底以正應力 $\sigma$ 為主，越往中性軸，正應力 $\sigma$ 遞減而剪應力 $\tau$ 增大。
• 開裂特徵：主拉應力方向發生旋轉（偏轉），主拉應力方向由水平轉為向集中力處傾斜。
• 裂縫發展：梁底邊緣首先出現微小的垂直彎曲裂縫；隨著裂縫向上延伸進入腹部，受剪應力主導，裂縫轉為向載重集中力作用點斜向開展，形成典型的斜向彎剪裂縫（傾角約 $30^\circ \sim 45^\circ$）。

3. 支承端與集中力載重處——局部應力集中開裂（Bearing / Splitting Cracks）：

• 集中力作用點與支承墊板接觸面產生高承壓應力（Bearing stress），若未妥善擴大面積，接觸面下方與上方會產生局部側向劈裂或局部壓碎。

步驟三：配筋要領（結構構造要求）

1. 底層受拉主筋（Longitudinal Tensile Reinforcement）：

• 功能與配置：配置於梁底受拉側，用以承擔最大正彎矩產生的拉力 $T = \frac{M}{jd}$。
• 伸展與錨定（拉力位移效應）：剪跨區因存在斜裂縫，依桁架模式，縱向鋼筋之拉力需求沿梁縱軸向外平移一段距離（約 $d$）。

核心觀念

本題旨在測驗考生對於既有建築物「軟弱底層（Soft/Weak Story）」震害機制的掌握，以及在面臨實際都市集合住宅產權複雜、私領域無法施工等邊界條件下，提出具工程可行性之「階段性耐震補強（弱層補強）」策略。

1. 軟弱底層之破壞機制：

• 剛度不連續（軟層，Soft Story）：二樓以上具有大量外牆與分戶磚牆/RC牆，側向剛度極高；一樓作為開放式停車場（騎樓或柱列開放空間），僅由梁柱構架支撐，使一樓側向剛度顯著小於二樓（依據命題當年民國 107 年《建築物耐震設計規範及解說》，任一層側向剛度小於其上一層之 $70\%$ 或其上三層平均之 $80\%$ 即屬軟層）。
• 強度不連續（弱層，Weak Story）：一樓構架抗側剪力容量顯著低於二樓以上（任一層側向層剪力強度小於其上一層之 $80\%$ 即屬弱層）。
• 局部變形集中與 $P-\Delta$ 效應：地震力誘發塑性鉸率先於一樓柱頂及柱底形成，側向變形（層間變位角）高度集中於一樓，造成梁柱構架發生脆性剪力破壞或因二次彎矩（$P-\Delta$ 效應）失穩而全面崩塌。

2. 補強目標與法規邊界：

• 耐震目標：以命題當年（民國 107 年）政府推動之「建築物實施耐震能力評估及補強方案」（安家固園計畫階段）為基準，目標為「防止軟弱底層崩塌、確保人命安全（Life Safety / Collapse Prevention）」，消除一樓優先破壞之破壞機構（軟弱層指標改善）。（註：現行法規已將此類型標準化為「既有住宅耐震階段性補強推動手冊」之 A、B 方案）。
• 施工限制：住戶不願配合自家施工，代表補強界面不得侵入二樓至六樓住戶私有空間，所有結構補強作業必須限制於「一樓公有停車空間」、「建築外側周邊（含法定空地）」及「基礎地梁系統」。

解題方法

本題切入點應鎖定「限制施作空間於一樓及建物外部，達到消弭軟弱底層破壞機制」。具體應由「提高一樓側向剛度與強度」、「提升柱構件延性與軸壓承載能力」、「增設消能減震裝置」及「建築外掛補強」四個結構工程層面切入，並兼顧一樓停車動線之使用機能。

1. 一樓內部增設側向力抵抗系統（提高 $K_1$ 與 $V_{y1}$）

• 增設 RC 剪力牆（或翼牆）：
• 在一樓行車動線以外之周邊柱列、各停車格後方之車擋端面，增設局部單片鋼筋混凝土剪力牆或柱兩側加設翼牆（Wing Wall）。
• 藉由增加一樓截面面積與抗側剛度，大幅提升底層降伏剪力容量 $V_{y1}$，直接平衡上部樓層過大的剛度差距。
• 增設鋼構斜撐系統（Steel Braced Frames）：
• 採用倒 V 型（Chevron）、X 型鋼斜撐，或挫屈束制斜撐（BRB, Buckling-Restrained Braces）。
• 鋼構斜撐可在滿足結構開口與行車動線需求下，提供極高的初始剛度與抗側剪力；BRB 則可在中大震下提供穩定對稱的降伏滯洪消能能力，有效減少底層側位移。

2. 一樓既有梁柱構件之圍束與韌性包覆（提升延性比 $\mu$）

• 鋼板包覆補強（Steel Jacketing）：
• 對一樓所有承受高軸力之獨立柱，全面採用厚度 4.5 mm~6 mm 之鋼板全面圍束包覆，柱與鋼板間注入無收縮水泥砂漿或環氧樹脂（Epoxy）。
• 此法可防止一樓短柱剪力破壞，大幅提升核心混凝土之圍束應力，增強垂直承載極限與構件非彈性變形能力（韌性容量）。
• 碳纖維貼片包覆（CFRP Wrapping）：
• 針對空間受限或不易電焊之獨立柱，以多道碳纖維複合材料（CFRP）環向纏繞包覆。
• 重量極輕且不大幅增加柱斷面尺寸，能維持停車淨寬，並顯著提供剪力強度與剪撓圍束。

3. 消能減震系統之導入（控制層間變位角）

• 安裝流體黏滯阻尼器（Viscous Dampers）或摩擦阻尼器：
• 配置於一樓梁柱構架之特定跨間（透過人字型或斜撐桿件連結）。
• 於地震來襲時，利用消能阻尼吸收大量輸入地震能量，大幅降低一樓受力與變位集中現象，保護既有未補強柱免於提早進入塑性變形。

4. 建物周邊外加結構構架（完全不干擾一樓室內動線）

• 外附鋼骨抗彎構架／外加排架（Exoskeleton Frame）：
• 若建物周圍有足夠空地（如法定空地、天井），於建物外圍兩側或後側增設獨立外掛鋼構柱梁或外加剪力牆。
• 利用化學植筋錨栓或預力鋼棒，將外構架與建物一樓（及二樓樓板邊界）之結構邊梁牢固縫合，直接在外側承擔底層地震水平剪力與傾覆力矩。